导数

导数

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2023年2月15日发(作者：吉利问诊系统登录)

专题四导数

一．导数概念与应用

1．导数的概念与几何意义

1．1导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x

0

处有增量x，那么函数y相应地

有增量y=f（x

0

+x）－f（x

0

），比值

x

y





叫做函数y=f（x）在

x

0

到x

0

+x之间的平均变化率

即

x

y





=

x

xfxxf



)()(

00。

如果当0x时，

x

y





有极限，这个极限叫做f（x）在点x

0

处的

导数，记作f’（x

0

）或y’|

0

xx

。

即f’（x

0

）=

0

lim

xx

y





=

0

lim

xx

xfxxf



)()(

00。

求函数y=f（x）在点x

0

处的导数的步骤：

①求函数的增量y=f（x

0

+x）－f（x

0

）；

②求平均变化率

x

y





=

x

xfxxf



)()(

00；

③取极限，得导数f’(x

0

)=

x

y

x



0

lim。

1.2导数的几何意义

函数y=f（x）在点x

0

处的导数的几何意义是曲线y=f（x）

在点p（x

0

，f（x

0

））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f（x）在点p（x

0

，f（x

0

））处的切线的

斜率是f’（x

0

）。相应地，

切线方程：y－y

0

=f/（x

0

）（x－x

0

）。

1.3几种常见函数的导数:

①0;C



②1;nnxnx



③(sin)cosxx



;④(cos)sinxx



;

⑤();xxee



⑥()lnxxaaa



;

⑦

1

lnx

x



;⑧

1

lglog

aa

oxe

x



.

1.4两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的

和(或差)。

(.)'''vuvu

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二

个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，

.)('''uvvuuv

特别的：

若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的

导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减

去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：













v

u

’=

2

''

v

uvvu

（v0）。

练习一

导数的基本概念

1已知f(x)=x2+2f’(1)x，则f’(0)=()

A2B-2C-4D0

2若函数f(x)=x3-f’(1)x2+x+5，则f’（1）的值是()

3已知函数f(x)的图像在点p（5，f(5)）处的切线方程是

y＝-x＋8，则

f(5)＋f‘（5）＝（）

A-2B2C－3D3

4已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是

1

2

2

yx，则(1)(1)ff



_____________

5设f(x)和g(x)是R上的可导函数，f’(x)和g’(x)分别为f(x)、

g(x)的导函数，且满足f’(x)g(x)+f(x)g’(x)<0，则当

a

Af(x)g(b)>f(b)g(x)Bf(x)g(a)>f(a)g(x)

Cf(x)g(x)>f(b)g(b)Df(x)g(x)>f(b)g(a)

6已知函数y=(xR)满足f’(x)>f(x)，则f(1)与ef(0)的大小

关系式()

Af(1)ef(0)Cf(1)=ef(0)D无法

确定