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2023年2月15日发(作者：英语手抄报初一)第六章理想流体动力学
6-1平面不可压缩流体速度分布为
Vx=4x+1；Vy=-4y.
(1)该流动满足连续性方程否?(2)势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ
解：（1）由于044
y
Vy
x
Vx
，故该流动满足连续性方程
（2）由ω
z
=
2
1
(
y
Vx
x
Vy
)=)44(
2
1
＝0,故流动有势，势函数φ存在，由于该流
动满足连续性方程，流函数ψ存在，.
（3）因Vx
yx
=4x+1
Vy=
y
=-
x
=-4y
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy
φ=dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy
=2x2-2y2+x
dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy
ψ=dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy
=4xy+y
6-2平面不可压缩流体速度分布:
Vx=x2-y2+x;Vy=-(2xy+y).
(1)流动满足连续性方程否?(2)势函数φ、流函数ψ存在否?(3)求φ、ψ.
解：（1）由于
x
Vx
+
x
Vy
=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在.
(2）由ω
z
=
2
1
(
y
Vx
x
Vy
)=))2(2(
2
1
yy＝0,故流动有势，势函数φ存在，由
于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.
（3）因Vx=
x
=
y
=x2-y2+x,Vy=
y
=-
x
=-(2xy+y).
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x)dx+(-(2xy+y).)dy
φ=dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x)dx+(-(2xy+y))dy
=
3
3x
-xy2+(x2-y2)/2
dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy
ψ=dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=(2xy+y)dx+(x2-y2+x)dy
=x2y+xy-y3/3
6-3平面不可压缩流体速度势函数φ=x2-y2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值
及流函数值
解:因Vx=
x
=
y
=2x-1，V
y
＝y
xy
2
，由于
x
Vx
+
x
Vy
＝0，该流动满
足连续性方程，流函数ψ存在
dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy
ψ=dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y
在点(-1,-1)处Vx=-3;Vy=2;ψ=3
在点(2,2)处Vx=3;Vy=-4;ψ=6
6-4已知平面流动速度势函数φ=-
2
q
lnr,写出速度分量Vr,Vθ,q为常数。
解:Vr=
r
=-
r
q
2
,Vθ=
r
==0
6-5已知平面流动速度势函数φ=-mθ+C,写出速度分量Vr、Vθ,m为常数
解:Vr=
r
=0,Vθ=
r
==-
r
m
6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy,求出速度势函数
φ.
解：因Vx=
x
=
y
=1
Vy=
y
=-
x
=-1
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy
φ=dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-y
y
v
x
v
y
yy
x
xx
,
a
x=0
y
Vx
Vy
x
Vx
Vx
t
Vx
dt
dVx
；
a
y
=0
y
Vy
Vy
x
Vy
Vx
t
Vy
dt
dVy
6-7已知平面流动流函数ψ=x2-y2,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.
解：因Vx=
x
=
y
=-2y
Vy=
y
=-
x
=-2x
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy
φ=dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=-2ydx+(-2x)dy=-2xy
a
x=
4
y
Vx
Vy
x
Vx
Vx
t
Vx
dt
dVx
x
a
y
=4
y
Vy
Vy
x
Vy
Vx
t
Vy
dt
dVy
y;
6-8一平面定常流动的流函数为
(,)3xyxy
试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，
3
）两点的流线方程.
解：1xv
y
,3yv
x
平面上任一点处的速度矢量大小都为221(3)2，与x和正向夹角都是
0arctan(3/1)60。
A点处流函数值为
3
•
301
，通过A点的流线方程为33xy。同
样可以求解出通过B点的流线方程也是33xy。
6-9已知流函数ψ=V∞(ycosα-xsinα),计算其速度,加速度,角变形率
(
xy
=
yx
=
2
1
(
x
v
y
+
y
v
x
)),并求速度势函数φ.
解：因Vx=
x
=
y
=V∞cosα
Vy=
y
=-
x
=V∞sisα
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy
φ=dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=V∞cosαdx+sisαdy
=V∞(cosαx+sisαy)
a
x
=0
y
Vx
Vy
x
Vx
Vx
t
Vx
dt
dVx
a
y
=0
y
Vy
Vy
x
Vy
Vx
t
Vy
dt
dVy
;
xy
=
yx
=
2
1
(
x
v
y
+
y
v
x
)=0
6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。
解:不可压缩三维流动的连续性方程为
0xyzvvv
xyz
将关系xyzvvv
xyz
，，代入上式得到
()()()0
xxyyzz
或
222
222
0
xyz
可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。
6-11什么样的平面流动有流函数?
答:不可压缩平面流动在满足连续性方程
0xyvv
xy
或
xyvv
xy
（-）
的情况下平面流动有流函数.
6-12什么样的空间流动有势函数?
答:在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量
=x
i+yj+z
k都是零矢量，即
0xyz，或关系
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
x
y
zx
y
z
,,成立,这样的空间流动有势函
数.
6-13已知流函数ψ=-
2
q
,计算流场速度.
解:Vr=
r
=-
r
q
2
Vθ=-
r
=0
6-14平面不可压缩流体速度势函数φ=ax(x2-3y2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接
A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.
解：因Vx=
x
y
=a(3x2-3y2)
Vy=
y
=-
x
=-6axy
dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dy
ψ=dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy
=6axydx+a(3x2-3y2)dy=3ax2y-ay3
在A(0,0)点ψA=0；B（1,1）点ψB=2a，q=ψA-ψB=-2a.
6-15平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x2+y2),试确定该流动的势函数φ.
解：因Vx=
x
=
y
=
22
2
yx
y
Vy=
y
=-
x
=-
22
2
yx
x
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=
22
2
yx
y
dx-
22
2
yx
x
dy
Vxdx+Vydy=22
2
yx
y
dx-
22
2
yx
x
dy=-2)arctan(
x
y
6-16两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?
解:设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为
1
，
2
,流函数分别为
12，。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有
两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数可由下式求出：
21
同样，合成流动的流函数等于
12
6-17在平面直角系下,平面有势流动的势函数和流函数与速度分量
yx
vv,有什么关
系?
解:在平面直角系下,平面有势流动的势函数和流函数与速度分量
yx
vv,有如下关系.
,
x
v
yx
y
v
xy
6-18什么是平面定常有势流动的等势线?它们与平面流线有什么关系?
解:在平面定常有势流动中，势函数只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程
代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。
6-19试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=V∞)的速度势函数φ，流函数ψ.
解：因Vx=
x
=
y
=0
Vy=
y
=-
x
=V∞
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=0dx+V∞dyφ=V∞y
dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=-V∞dx-V∞x
6-20平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y；Vy=-y-4x试证：
（1）该流动满足连续性方程，(2)该流动是有势的，求φ,(3)求ψ，
解：（1）由于
y
Vy
x
Vx
1-1=0，故该流动满足连续性方程,流函数ψ存在
(2）由于ω
z
=
2
1
(
y
Vx
x
Vy
)=0,故流动有势,势函数φ存在.
3）因Vx=
yx
=x-4y
Vy=
y
=-
x
=-y-4x
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=(x-4y)dx+(-y-4x)dy
φ=dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=(x-4y)dx+(-y-4x)dy
=xy
yx
4
2
22
dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy
ψ=dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy
=xy+2(x2-y2)
6-21已知平面流动流函数ψ=arctg
x
y
，试确定该流动的势函数φ.
解：因Vx=
x
=
y
=
22yx
x
Vy=
y
=-
x
=
22yx
y
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=
22yx
x
dx+
22yx
y
dy
φ=dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=22yx
x
dx+
22yx
y
dy
=22lnyx
6-22证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x2+x-y2,(Ⅱ)ψ=2xy+y.
证明:对(Ⅰ)φ=x2+x-y2
Vx=
x
=2x+1
Vy=
y
=-2y
对(Ⅱ)ψ=2xy+y
Vx
y
=2x+1
Vy=-
x
=-2y
可见与代表同一流动.
6-23已知两个点源布置在x轴上相距为a的两点，第一个强度为2q的点源在原点，第二
个强度为q的点源位于（a,0）处，求流动的速度分布（q0）。
解:两个流动的势函数分别为2/122)ln(
2
2
yx
q
及2/122))ln(
2
yax
q
,合成流动的势函
数为2/122)ln(
2
2
yx
q
+2/122))ln((
2
yax
q
,
(
xx
v
x
2/122)ln(
2
2
yx
q
+2/122))ln((
2
yax
q
)=
2222)(2yax
axq
yx
xq
yy
v
y
(2/122)ln(
2
2
yx
q
+2/122))ln((
2
yax
q
)=
2222)(2yax
yq
yx
yq
6-24如图所示，平面上有一对等强度为)0(的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），
（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流
v，试求合成速度在原点
的值。
y
x
o
Γ
Γ
v
0
解:平面上无穷远平行于x轴的来流
v,上,下两点涡的势函数分别为xv
，
)/)arctan((
2
xhy
,)/)arctan((
2
xhy
,因而平面流动的势函数为
xv
)/)arctan((
2
xhy
+)/)arctan((
2
xhy
,
22)(2hyx
hy
v
x
v
x
22)(2hyx
hy
,
y
v
y
22)(2hyx
x
+
22)(2hyx
x
,将原点坐标(0,0)
代入后可得
h
vv
x
,0
y
v.
6-25如图，将速度为v的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流
场中驻点位置。
x
y
∞
v
v
∞
v
q
o
θ
解:均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为xv
及22ln
2
yx
q
,因而平面流动的
势函数为xv
+22ln
2
yx
q
,
222yx
xq
v
x
v
x
,
y
v
y
222yx
yq
,令
0,0
yx
vv
,得到
v
q
x
2
,0y.
6-26如图，将速度为
v的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流
场中驻点位置,及经过驻点的流线方程.
x
y
∞
v
v
∞
v
q
o
θ
解:先计算流场中驻点位置.
均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为xv
及22ln
2
yx
q
,因而平面流动的势
函数为xv
+22ln
2
yx
q
,
222yx
xq
v
x
v
x
,
y
v
y
222yx
yq
,
令
0,0
yx
vv,得到
v
q
x
2
,0y.此即流场中驻点位置.
均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为yv
,)arctan(
2x
yq
,因而平面流动的流函数
为yv
+)arctan(
2x
yq
,在驻点0,因而经过驻点的流线方程为
yv
+)arctan(
2x
yq
=0
6-27一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1，0）和（-1，0），并与速度为
25的沿x轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。
解:均匀流,点源与点汇的势函数分别为-x25,5.022))1ln((
2
10
yx
,
5.022))1ln((
2
10
yx
,因而平面流动的势函数为
x25+22)1(ln
2
10
yx
-22)1(ln
2
10
yx
22)1(
1
2
10
25
yx
x
x
v
x
22)1(
1
2
10
yx
x
,
y
v
y
22)1(2
10
yx
y
22)1(2
10
yx
y
令
0,0
yx
vv
,得到
15/2x
,0y.此即流场中驻点位置.
6-28一平面均匀流速度大小为
v，速度方向与x轴正向夹角为，求流动的势函数和流
函数。
解:
yx
vvv,cossin
v,
dφ=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy
φ=dφ
=
x
dx+
y
dy=Vxdx+Vydy=cos
vdx+sin
vdy=cos
vx+
sin
vy
dψ=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy
ψ=dψ
=
x
dx+
y
dy=-Vydx+Vxdy=-sin
vdx+dyvcos
=-sin
vx+
yvcos