功是标量还是矢量

功是标量还是矢量

-氨基酸表

2023年2月15日发(作者：光传输技术)

专题9功和功率（教师版）

一、目标要求

目标要求重、难点

功的基本概念重点

恒力做功重点

变力做功难点

功率的基本概念重点

机车启动问题重难点

二、知识点解析

1．功的定义

我们把恒力作用下，物体所受的力F和它在力的方向上的位移l的乘积，叫做这个力对物体做的功．用

W表示功，若F和l的夹角是α，则上述定义可表示为：

cosWFl

2．功的说明

(1)做功的两个必要因素：一是力，二是在这个力方向上的位移．

(2)式中的F一定是恒力(大小、方向都不变)，即此式是求恒力做功的公式．若是变力，则无法直接使用

此式，需要借助微积分或者图像计算．

(3)功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J．1J等于1N的力使物体在力的

方向上发生1m的位移时所做的功．

(4)功是过程量，反映力对位移的累积效果．

(5)功是标量，虽有正负之分，但却无方向．

3．正功和负功

继续对公式

cosWFl

讨论有：

(1)当0≤α<

π

2

时，

cos0

，

0W

，表示力对物体做正功；

(2)当

π

2



时，

cos0

，

0W

，表示力对物体不做功；

(3)当

π

2

<α≤π时，

cos0

，

0W

，表示力对物体做负功．

可见，一个力作用于物体，可以对物体做正功，做负功，也可能不做功．

4．恒力做功的计算

当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功通常可以用下述两种方法

求解：

(1)根据公式

cosWFl

，先分别求出各个力F

1

、F

2

、…对物体所做的功W

1

、W

2

、…，再求各力所

做的功的代数和，即W

总

=W

1

+W

2

+…(注意代入时应注意功正负问题，即带入W时的正负号)．

(2)由力的矢量合成方法先求出这几个力的合力，再根据功的公式

cosWFl

总合

，其中α是合力

F

合

方

向与位移方向之间的夹角．

5．变力做功的计算

（1）平均值法

基本依据：当力F的大小发生变化，且F、l成线性关系时，F的平均值12

2

FF

F



，可用

F

表示力F

做的功．

基本方法：先判断变力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力

1

F和末状态的力

2

F，

再求出每段平均力和每段过程位移，然后由

cosWFl

求其功．

（2）图像法

原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F－l图象，图象与位移

轴所围的“面积”即为变力做的功．

方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面

积”，就求出了变力所做的功．

如图所示，变力的功可用F-l图线与l轴所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做了多少正

功，l轴下方的面积表示力对物体做了多少负功．

（3）等效变换法

基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，然后用

cosWFl

求解．

F

l

O

l

l

0

基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解．

（4）微元求和法

基本思路：当物体在变力的作用下作曲线运动时，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段

可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和．

基本方法：求出力在每小段位移方向上的分量，求出曲线总长度，总功即为各个小段做功的代数和．

6．功率的定义

功跟完成这些功所用时间的比值．定义式：

W

P

t



．

7．功率的说明

(1)物理意义：描述做功快慢的物理量．

(2)单位：瓦特，简称瓦，用W表示．1W=1J/s．

(3)功率是标量．

(4)额定功率指机器长时间正常工作时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值；实际功率指机器

工作时实际输出的功率．

8．功率的两种表达式

功率

W

P

t



①，将

cosWFl

带入之后，可得到功率的另一种表达式：

cosPFv

②

公式①、②分别为平均功率和瞬时功率的计算式．

(1)平均功率描述力在一段时间内做功的快慢．

W

P

t



是平均功率的定义式，反映时间t内做功的快慢；我们也可以用

cosPFv

来计算平均功率，

此时，v表示的是平均速度．

(2)瞬时功率是表示某个时刻做功快慢的物理量．

cosPFv

是瞬时功率的表达式，其中v为所求时刻的瞬时速度．同样，

W

P

t



在

0t

时，也可以表

示瞬时功率．

9．恒定的功率P启动

机车以恒定的功率P启动后，若运动过程中所受的阻力f不变，由于牵引力

P

F

v

，

根据牛顿第二定律：Ffma，有：

Pf

a

mvm

．

可知，当速度v增大时，加速度a减小．当加速度a＝0时，机车的速度达到最大，此时有：

m

P

P

v

Ff

额

m．

此后，机车保持速度为v

m

做匀速直线运动．

综上：恒定功率启动过程中，整个过程变化可表示为：

用v－t图表示这一过程为(最大速度之前是一段曲线)：

10．恒定的加速度a启动

由公式

PFv

和

Ffma

知，F恒定，所以a恒定，机车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不

断增大，直到P达到额定功率P额，功率不能再增大了．这时匀加速运动结束，其最大速度为

1

PP

v

Ff

额额，此后机车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了．

综上：恒定加速度启动过程中，整个过程变化可表示为：

这一启动过程的v-t关系如图所示：

图象中的v

1

为机车以恒定加速度启动时，匀加速运动的末速度，但并非是加速过程的最大速度，因为

此后还有一个变加速运动过程．而

m

P

v

f

额为机车以额定功率运动时所能达到的最大速度．

三、考查方向

变加速直线运动匀速直线运动

匀速直线运动

变加速直线运动

匀加速直线运动





Ff

a

m

fF

一定

不变，不变





v

PFv

启动后

0





PP

a

额







P

F

v

Ff

a

m

额



P

v

额

一定

0





Ff

a

m

v达到最大速度

保持匀速运动

v

P

F

v





启动后

P功率

一定F

牵引力

a

加速度

f

Ff

a

m





阻力不变

0





Ff

a

m

v速度达到最大速度

保持匀速运动

题型1：恒力做功的计算

典例一：用

40.0N

与水平成

60°

角向上的力作用在质量是

10.0kg

的物体上，使它在水平地面上由静止

开始做匀加速直线运动．物体与地面间的动摩擦因数为

0.10

．当物体通过

2.0m

位移时

求：

(1)

物体所受各力对它做的功；

(2)

物体所受合力对它做的功．

题型2：变力做功——微元法

典例二：(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A

点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是()

A．重力做功为mgL

B．绳的拉力做功为0

C．空气阻力F阻做功为-mgL

D．空气阻力F阻做功为

1

2

F阻πL

题型3：变力做功——平均值法

典例三：一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进

的距离变化关系为F=103x+f

0

，f

0

是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？

题型4：功率的基本概念和功率的计算

典例四：如图，质量为m=2kg的木块在倾角θ=37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦

因数为0.5(sin37=0.6，cos37=0.8，g=10m/s2)求：(斜面足够长)

(1)前3s内重力做多少功？

(2)前3s内重力的平均功率？

(3)3s末重力的瞬时功率？

题型5：以恒定功率启动

F

典例五：一辆质量为2.0×103kg的汽车以额定功率为6.0×104W在水平公路上行驶，汽车受到的阻力为

一定值，在某时刻汽车的速度为20m/s，加速度为0.50m/s2，(g取10m/s2)求：

(1)汽车受到的阻力是多大？

(2)汽车所能达到的最大速度是多大？

(3)当汽车的速度为10m/s时的加速度是多大？

题型6：以恒定加速度启动

典例六：一质量为4.0×103kg，发动机额定功率为60kW的汽车从静止开始以a=0.5m/s2的加速度做匀

加速直线运动，它在水平面上运动时所受的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，求

(1)启动2s末发动机的输出功率；

(2)它以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动所能行驶的时间；

(3)汽车在此路面上所能行驶的最大速度．

四、模拟训练

一、基础练习

1.

关于功的概念，以下说法正确的是

()

A

．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量

B

．功有正、负之分，所以功可能有方向性

C

．功是标量

D

．

-10J

的功小于

+5J

的功

2.(多选)一同学穿着旱冰鞋处于静止状态,推一下竖直墙壁后有了向后的速度。关于该同学推墙的过程中,

下列说法正确的是()

A.墙壁对该同学做正功B.墙壁对该同学没有做功

C.该同学对墙壁做正功D.该同学对墙壁没有做功

3.(多选)把一个物体竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻

力大小恒为f，则在从物体被抛出到落回抛出点的全过程中()

A．重力所做的功为零B．重力所做的功为2mgh

C．空气阻力做的功为零D．空气阻力做的功为﹣2fh

4.在光滑水平面上推物块和在粗糙水平面上推物块相比较，如果所用的水平推力相同，物块在推力作用

下通过的位移相同，则推力对物块所做的功()

A．一样大

B．在光滑水平面上推力所做的功较多

C．在粗糙水平面上推力所做的功较多

D．要由物块通过这段位移的时间决定

5.如图所示,一物体分别沿AO、BO轨道由静止滑到底端,物体与轨道间的动摩擦因数相同,物体克服摩擦

力做功分别为W

1

和W

2

。则()

A.W

1

>W

2

B.W

1

=W

2

C.W

1

2

D.无法比较

6.如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持

与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：()

A、0JB、20πJC、10JD、20J

7.(

多选

)

关于功率下列说法中正确的是

()

A

．功率大说明物体做的功多

B

．功率小说明物体做功慢

C．由P=

W

t

可知，机器做功越多，其功率越大

D．单位时间机器做功越多，其功率越大

8.关于功率，下列认识正确的是()

A

．由

W

P

t



，可知功率越大的机器做的功越多

B

．由

P=Fv

，可知汽车发动机功率越大，汽车的速率越大

C

．由

W

P

t



，可知单位时间内做功越多则功率越大

D

．由

P=Fv

，可知做功的力越大其功率越大

9.下列关于功率的说法中正确的是()

A．功率越大，做功越快

B．瞬时功率始终大于平均功率

C．实际功率一定等于额定功率

D．功率越大，做功越多

10.如图所示，分别用力F

1

、F

2

、F

3

将质量为m的物体，由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度，从斜

面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力F

1

、F

2

、F

3

的平均功率关系为()

A．P

1

=P

2

=P

3

B．P

1

＞P

2

=P

3

C．P

3

＞P

2

＞P

1

D．P

1

＞P

2

＞P

3

11.(多选)如图甲所示，一可视为质点的物块静止在倾角θ=37°的粗糙固定斜面的顶端，现对物块施加一

个沿斜面向下的推力F，力F的大小随时间t的变化情况如图乙所示，物块的速率v随时间t的变化规律如

图丙所示，4s末物块恰好运动到斜面底端，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2．下列说法

正确的是()

A．第2s末，力的瞬时功率为0.32W

B．第4s内，力做功的平均功率为0.24W

C．前4s内，力的平均功率为0.24W

D．0～4s时间内，力的最大功率为0.32W

12.(多选)质量为2×103kg，发动机额定功率为80kW的汽车在平直公路上行驶，若汽车所受阻力大小

恒为4×103N，则下列判断中正确的有()

A．汽车的最大速度是20m/s

B．若汽车以加速度2m/s2匀加速启动，启动后第2s末时发动机实际功率为32kW

C．若汽车以加速度2m/s2匀加速启动，达到最大速度时阻力做功为1×105J

D．若汽车保持额定功率启动，则当汽车速度为5m/s时，其加速度为6m/s2

13.用F=100N的水平恒力拉质量m=20kg的小木箱，使木箱在水平地面上由静止开始做匀加速直线运

动，如图所示．已知木箱与地面之间的动摩擦因数μ=0.40，重力加速度g=10m/s2．求：

(1)木箱的加速度a的大小；

(2)木箱运动2.0s时，它的速度v的大小；

(3)从静止开始到木箱运动2.0s的过程中，水平恒力F对木箱做的功W．

14.汽车的质量为2×103kg，其发动机的额定功率为80kW，汽车在水平路面上行驶时，运动过程中阻

力大小不变，阻力是车重的0.2倍(g=10m/s2)求：

(1)汽车从静止启动时能达到的最大速度是多少？

(2)若汽车以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求这一过程能维持的时间及牵引力所做的功？

(3)4s末汽车牵引力做功的瞬时功率．

二、提升练习

1.（2017·新课标Ⅱ卷）如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环。

小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力()

A.一直不做功B.一直做正功

C.始终指向大圆环圆心D.始终背离大圆环圆心

2.

质量为

m

的物体静止在倾角为

θ

的斜面上，当斜面沿水平方向向右匀速移动了距离

s

时，如图所示，

物体

m

相对斜面静止，则下列说法中不正确的是

()

A

．摩擦力对物体

m

做功为零

B

．合力对物体

m

做功为零

C

．摩擦力对物体

m

做负功

D

．弹力对物体

m

做正功

3.如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为

2

R

和R的两个半圆构成，现用大

小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一

致，则此过程中拉力所做的功为()

A．0

B．FR

C．

3

2

πFR

D．2πFR

4.

（

2018·

新课标全国

III

卷

·

多选）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井

中矿车提升的速度大小

v

随时间

t

的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们

变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于

第①次和第②次提升过程（）

A

．矿车上升所用的时间之比为

4:5

B

．电机的最大牵引力之比为

2:1

C

．电机输出的最大功率之比为

2:1

D

．电机所做的功之比为

4:5

5.(多选)某汽车从静止开始以加速度a匀加速启动，最后做匀速运动．已知汽车的质量为m，额定功率

为p，匀加速运动的末速度为v

1

，匀速运动的速度为v

m

，所受阻力为f．下图是反映汽车的速度随时间及加

速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是()

A．B．C．D．