韦达定理公式变形6个
-江南大学mba
2023年2月15日发(作者：永久的生命)标准文档
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第三讲判别式与韦达定理
教学内容：判别式与韦达定理
教学目标：
1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况；
2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值范围；
3、理解并掌握韦达定理的定义；
4、熟练掌握一些常用代数式的变形；
5、能利用韦达定理构造一元二次方程；
6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方
程的理解。
教学重点：
1、△与方程根的关系；
2、韦达定理；
3、常用代数式的变形；
教学难点：
1、运用△求方程中参数的值或取值范围；
2、常用代数式的变形；
教学方法：探究法、讲授法；
教学过程：
8:20~8:30:考勤，收发作业
8:30~8:50:进门考
第一课时8:50~9:20
一、讲评作业
二、导入新课
子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起
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来温习一下昨天我们学了什么？
1、引导学生复习一元二次方程：
定义
一元二次方程特点
解直接开方
解法配方
公式
因式分解
2、举例复习四种方法：
（1）x2=25
（2）2x2+4x-2=0
（3）2
123
0
234
xx
（4）2560xx
3、问公式引入判别式
三、探索新知：
1、回顾得出判别式的概念：24bac作用：判别一元二次方程根的个数.
要先化为一般式
2、算出下列一元二次方程的判别式
2
2
2
3720
230
410
xx
xx
xx
3、判别式与方程的根的关系
2
1,2
12
4
0
2
0
2
0
bbac
x
a
b
xx
a
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
4、说出刚刚的几个方程根的情况
5、判别式我们昨天讲了今天又再专门拿出来讲，它到底有什么用呢？
（1）运用判别式，判别方程实数根的个数；
（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围；
（3）通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题。（以后会讲）
(1)已知方程，判断根的情况：求△，判断根的个数
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2
2
2340
2,3,4
3424932230
xx
abc
解：
方程无实根
（2）已知带参数的方程的根的情况，求参数：由根的情况得出△的情况，进
而解出参数
已知一元二次方程220xxm
（1）求m为何值时，方程有两个不相等的实；
（2）求m为何值时，方程有两个相等的实根；
（3）求m为何值时，方程无实根；
（4）求m为何值时，方程有实根。
解：（1）
0
44>0
m<1
m
方程有两个不相等的实根
即：
（2）
0
440
1
m
m
方程有两个相等的实根
即：
（3）
0
440
1
m
m
方程无实根
即：
（4）
0
440
1
m
m
方程有实根
即：
已知一元二次方程220xxm
（1）求m为何值时，方程有两个不相等的实；
（2）求m为何值时，方程有两个相等的实根；
（3）求m为何值时，方程无实根；
（4）求m为何值时，方程有实根。
分析：当m=0时一元一次方程
当m≠0时一元二次方程
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解：（1）
0,0
44>0
10
m
m
mm
方程有两个不相等的实根
且
（2）
0,0
440
1
m
m
m
方程有两个相等的实根
即：
（3）
0,0
440
1
m
m
m
方程无实根
即：
（4）
1
0210,
2
0
0
440
1
1
mxx
m
m
m
m
当时，方程即：
当时，方程为一元二次方程
方程有实根
即：
6、接下来，我们一起来看一段视频，让视频中的老师带着我们一起加深对△的理
解
四、点点精讲
例1、（1）
分析：两个相等的实根△=0
解：
2
.141130
.4441120
.40
.141290
A
B
C
D
(2)
分析：根的情况：
0
0
0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
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解：22414160aa方程有两个不相等的实数根
（3）解：22=3434aacaac无法确定
【小结】
0
0
0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
例2．分析：方程有实数根0
证明：
因为22=2412280mm
所以方程总有实根
例3.分析：方程有两个不相等的实数根
0
证明：22
223469429180mmmmmmmm
所以方程总有两个不相等的实数根
例4、分析：k=-1时方程为一元一次方程
K≠-1时方程为一元二次方程
解：k-1时，方程即-4x-4=0,解得x=1
k≠-1时，△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2≥0
故方程总有实数根
例5、分析：直角三角形三边的关系：222acb
解：由勾股定理得;a2+c2=b2
将原方程化为一般式得：（a+b）x2-2cx+(b-a)=0
△=4c2-4(a+b)(b-a)=0
故方程有两个相等的实数根
【小结】
用△判别方程的根时要先将方程化为一般式
六、归纳总结
1、
0
0
0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
2、算△之前，要先化为一般式
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第二课时：9:30~10:30
上节课我们说判别式的应用很多，可以利用判别式建立等式不等式，求方程中的
参数值或取值范围，这节课我们就来看看到底怎么用的。
例6、分析：
0
0
0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
解：B、D
例7、分析：
0
0
0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
解：
1
1140,
4
1
2140,
4
1
3140,
4
aa
aa
aa
例8、分析：有两个不同的实根是一元二次方程二次项系数不为0
△≥0
解：依题意得：
2
0
21451610
1
16
1
0
16
a
aaaa
a
aa
且
例9、分析：有两个相等实根是一元二次方程二次项系数不为0
△=0
整数m
解：依题意得：
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2
12
0
2420
2520
2
2,
5
2
m
mmm
mm
mm
m
不合题意舍去
例10、分析：有两个相等实根是一元二次方程二次项系数不为0
△=0
解：
2
22
2
22
2
0
40
44
4
4444
24
a
bac
abaaa
aaaa
ab
例11、分析：等腰三角形（1）a=b方程有两个相等的实根,(2)a≠b，a,b中必有
一个等于2,2为方程的解，三角形边的关系
解：（1）当a=b时，△=36-4（n-1）=0
n=10,a=b=3满足提题意
（2）当a≠b时，4-12+n-1=0
N=9,方程为x2-6x+8=0
x
1
=2,x
2
=4
2,2,4不能构成三角形舍去
所以n=10
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
24
2
bbac
x
a
不仅表示方程的系数a、
b、c决定根的值，而且反映了根与系数的关系。那么一元二次方程根与系数的关
系还有其他表示方式吗？
2
2
2
2
1320
2560
32750
43840
xx
xx
xx
xx
方程X
1
X
2
X
1+
X
2
X
1
X
2
21320xx
-1-2-32
22560xx
2356
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232750xx
5
2
-1
7
2
5
2
243840xx
2
3
2
8
3
4
3
归纳方程根与系数的关系：
（1）20xpxq12
12
xxp
xxq
（2）20axbxc
12
12
b
xx
a
c
xx
a
这是我们在特殊情况下的两根之和、两根之积与系数的关系，能不能证明呢？
22
12
22
12
22
12
44
,
22
44
22
44
22
bbacbbac
xx
aa
bbacbbacb
xx
aaa
bbacbbacc
xx
aaa
刚刚同学们得到的两根之和与两根之积与系数的关系就是我们今天要学习的
第二大块内容，韦达定理。因为它最早是被韦达发现的，所以用他的名字来命名，
以示纪念，韦达是法国数学家，被尊称为“现代数学之父”，主要工作——《方程
论》，最早系统引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达定理表示的是一元二次
方程根与系数的关系，推导也不难，我们都能推出来，可惜我们生得晚，不然，
说不定这个定理就以我们的名字命名了。韦达因韦达定理而出名了，那么韦达定
理到底有什么用呢？
应用1、计算两根之和、两根之积：
2
2
2340
2950
xx
xx
12
12
12,3,4
9320
22,9,5
81200
9
2
5
2
abc
abc
xx
xx
解：
方程无实根
解：
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韦达定理很简单就是
12
12
b
xx
a
c
xx
a
，表示的就是根与系数之间的关系，那么他
就有一根前提，那就是方程必须有什么？也就是△怎么样？
应用2、已知方程的一个根，求另一根
2
12
2402,xmxxx已知方程的一个根求另一个根
12
2
2
2
1
2
xx
x
解：由韦达定理得：
这就之前简单了很多，大大节省了我们的计算量，也为我们节省了很多时间。
有人说时间就是生命，时间就是金钱，所以说能为我们节省时间的韦达定理
是很重要的，接下来我们一起来观看一段视频，看看别人是怎么理解韦达定理的
例12、例13、例14、韦达定理
归纳小结：利用△建立等式、不等式求方程中的参数值或取值范围
韦达定理12
12
b
xx
a
c
xx
a
（△≥0）
应用：(1)计算两根之和、两根之积：
(2)已知方程的一个根，求另一根
第三课时：10:40~11:30
上一节课我们一起学习了韦达定理，它表示了方程两根之和、两根之
积与系数的关系，但预习了的同学也许会告诉我，我遇到的大多不是
求两根之和、两根之积，而是像
1
22
2
xx这样一些其他形式，二这就涉及
到我们韦达定理的一些常用变形了，请同学们把以下式子化成用两根
之和、两根之积表示的形式。
应用3、常用代数式的变形：
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2
22
121212
12
1212
3
33
12121212
2
22
1212
2112
121212
22
121212
2
121212
22
12121212
2
1212
222
121
12
11
2
33
2
4
54
6
74
2
11
8
xxxxxx
xx
xxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xmxmxxmxxm
xxxxxxxx
xxxx
xxx
2
2
x
例15、16、
应用4、利用韦达定理构造一元二次方程：若a,b满足a+b=p,ab=q,则
a、b分别为关于一元二次方程x2-px+q=0
例17、18、
归纳总结
1、24bac
2、
2
1,2
12
4
0
2
0
2
0
bbac
x
a
b
xx
a
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
3、（1）运用判别式，判别方程实数根的个数；
（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围；
4、
12
12
b
xx
a
c
xx
a
（△≥0）
5、应用1、计算两根之和、两根之积：
应用2、已知方程的一个根，求另一根
应用3、常用代数式的变形：
应用4、利用韦达定理构造一元二次方程：
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出门测试：11:40~12:00
课后辅导：12:00~12:30
教学反思：
板书设计：
一、判别式
1、△=b2-4ac
2、
0
0
0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
3
（1）运用判别式，判别方程实数根的
个数；
（2）利用判别式建立等式、不等式，
求方程中的参数值或取值范围；
二、韦达定理
1、
12
12
b
xx
a
c
xx
a
（△≥0）
2应用：
（1）求
1212
,xxxx
（2）已知
12
xx求
（3）常用变形
（4）构造方程
定义
一元二次方法特点
解直接开方
解法配方
公式
因式分解
2
22
121212
12
1212
3
33
12121212
2
22
1212
2112
121212
22
121212
2
121212
22
12121212
2
1212
222
121
12
11
2
33
2
4
54
6
74
2
11
8
xxxxxx
xx
xxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xmxmxxmxxm
xxxxxxxx
xxxx
xxx
2
2
x