定积分和不定积分区别

定积分和不定积分区别

-雪三七

1

习题5-1

1．(1)xf在区间ba,上的定积分b

a

dxxf与xf在ba,上的不定积分



dxxf有什么区别？

(2)dxxf

dx

d

，











b

a

dxxf

dx

d

的值各等于什么？

2.物体以速度

25tv

作直线运动，把该物体在2,0内所经过的路程s用定积分

表示，并利用定积分几何意义计算s的值.

3．用定积分的几何意义说明下列各式成立．











2

2

0sin1xdx















2

2

2

2

cos2cos2xdxxdx.

4．用定积分表示如图5-10各图形阴影部分的面积.

图5-10

5．画出由下列各定积分表示的曲边梯形面积的图形．



2

0

;11dxx;2122

1

2dxxx



1

0

2;13dxxdxxx1

0

2244.

6．利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正还是负（不准计算）．

2

0

;cos1



xdx

0

2

;cossin2



xdxx





1

4

2;3dxx



2

1

4dxex.

习题二

1从定积分的几何意义说明定积分的性质3（如图）．

2

2计算下列定积分:

（1）3

1

3dxx；（2）dx

x

xx











9

4

1

1；

（3）dx

x





3

3

3

21

1

；（4）dx

x





2

2

31

1

；

（5）dteett

2

1

0

1；（6）

xdx4

0

2tan



；

（7）dt

t

2

0

2

2

cos；（8）2

0

3sin



xdx

；

3计算下列定积分：

（1）dxx3

0

2；;2cos1)2(2

0

dxx



（3）设

10

01

,1

,12

















x

x

x

x

xf，求





2

1

2

1

dxxf．

4求下列所给曲线（或直线）围成图形的面积：

（1）0,cosyxy，

4

,

4







xx；

（2）0,1,2,2yxxxy．

5求下列函数的导数：

（1）dtexf

x

t

0

2)(；

(2)1

21)(

x

dttxf.

6设)(xg是连续函数,且1

0

2)(xxdttg，求)3(g．

７求下列极限：

(1)

x

tdttx

xcos1

cos2

lim0

0





(2)

1

)(arctan

lim

2

0

2





x

dttx

x

习题5-3

1.计算下列定积分.

（1）



1

2

249x

dx

；（2）

dx

x

xe



1

ln1

；

（3）dtte

t



0

1

2

2

；（4）



a

aaxx

dx

3

3

222

0a；

3

（5）

2

1

1

dx

x

x

；（6）dx

x

x





1

0

6

2

1

；

（7）





0

2sindtt

（、为常数）；

（8）dxxax

a

0

220a.

2.计算下列定积分.

（1）dxxex

1

0

；（2）dx

x

x

4

1

ln

；

（3）dx

x

x

3

4

2sin





；（4）1

0

arctanxdx；

（5）1

0

dxex；（6）dxx

e

2

1

ln。

3.计算下列定积分.

（1）dx

x

ex



2

1

2

1

；（2）

dx

x

x



2

2

21

sin

；

（3）

3

3

4231

cos

dx

xx

xx

；（4）



1

0

22xx

dx

.

习题5-4

1.计算由下列曲线所围成的图形的面积．

（1）0,12yxy；

（2）xyxy,3；

（3）

4

,0,1,sin



xxyxy；

（4）xyxy1,12；

（5）

2,0,,

1

xyxy

x

y；

（6）xyxyxy2,,2；

（7）1

2

2

2

2



b

y

a

x

．

2.求由摆线ttaxsin，taycos1的一拱20t与横坐标轴围成的图

形面积．

3.求下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积.

4

（1）0,12yxy；绕x轴；

(2)0,4,2xyxy；绕x轴；

（3）xyxy,2；绕x轴；绕

y

轴；

（4）1

2

2

2

2



b

y

a

x

；绕

y

轴；

（5）2,0,,

1

xyxy

x

y；绕x轴；

（6）xyxyxy2,,2；绕x轴；

（7）122

2yx；绕x轴；

（8）xyxycos,sin及x轴上线段













2

,0



；绕x轴．

4.飞机副油箱的头部是抛物线绕其对称轴旋转而成的旋转体，中部是圆柱，尾部是圆

锥，设副油箱的尺寸（单位：毫米）如图5-28所示，求它的体积．

图5-28

*5.求下列各曲线上指定两点间的一段弧的长度．

（1）21lnxy，自0,0至











4

3

ln,

2

1

；

（2）半立方抛物线,1

9

4

3

2xy自0,1至











2

3

32

,9；

（3）摆线ttaxsin，taycos1的一拱20t的长度．

6.计算阿基米德螺线)0(aa上，相应于



从0到

2

的一段弧，与极轴所围

成图形的面积.

习题5-5

1.设把一金属杆的长度从a拉长到xa时所需的力为

x

a

k

，其中

k

为常量．试求金属杆由

5

长度a拉长到长度

b

时所做的功．

2.半径为2米的圆柱形水池中充满了水，现要从池中将水抽出，使水面降低5米，问需做

多少功？（水的密度1000千克/米）

3.一块高为a米，底为

b

米的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相

齐．计算薄板每面所承受的压力．如果把它垂直倒放在水中，使它的顶与水面相齐，而底与

水面平行，则薄板每面所受的压力为多大？

4.一抛物线弓形薄片直立的沉于水中，顶点恰于水面相齐，而底平行于水面，又知薄片的

底为

15

厘米，高为

3

厘米，试求它的每面所承受的压力．

5.一物体以速度1232ttv（米/秒）作直线运动，计算在

0t

到

3t

秒一段时间内

该物体的平均速度．

6.求函数xxxfcos3sin210在区间2,0上的平均值．

7.某产品产量为Q单位时，边际成本为80)(



QC（元／单位），固定成本为500)0(C

元，求生产100个单位产品时的总成本和平均成本.

8.某产品的边际成本2)(



QC，固定成本为0，边际收益为QQR02.020)(



，求

(1)生产量为多少时，总利润最大?

(2)从利润最大的产量基础上，又生产了50个单位的产品，这时总利润是多少？

9.某投资总额为100万元，在10元中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求

(1)该投资的纯收入贴现值；

(2)收回该项投资的时间．