相反向量的定义
-北京稳岗补贴
2023年2月15日发(作者：evar)§5.1平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称定义备注
向量
既有______又有______的量；向量的大
小叫做向量的______(或称______)
平面向量是自由向量
零向量长度为______的向量；其方向是任意的记作______
单位向量长度等于________的向量
非零向量a的单位向量为±
a
|a|
平行向量方向____或____的非零向量
0与任一向量______或共线
共线向量
__________________的非零向量又叫
做共线向量
相等向量长度______且方向______的向量
两向量只有相等或不等，不能
比较大小
相反向量长度______且方向____的向量0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法
求两个向量和的运
算
(1)交换律：a＋b＝
____________.(2)结
合律：(a＋b)＋c＝
____________.
减法
求a与b的相反向
量－b的和的运算
叫做a与b的差
________法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a
的积的运算
(1)|λa|＝________；
(2)当λ>0时，λa的方向与
a的方向________；当λ<0
时，λa的方向与a的方向
________；当λ＝0时，λa
＝______
λ(μa)＝______；(λ＋
μ)a＝________；
λ(a＋b)＝_______
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______.
[难点正本疑点清源]
1.向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有
关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相
等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.
2.向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向
量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
1.化简OP
→
－QP
→
＋MS
→
－MQ
→
的结果为________.
2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB
→
＝a，AD
→
＝b，则BE
→
＝____________.
3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量
的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.
4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA
→
＋BP
→
＋CP
→
＝0，AP
→
＝λPD
→
，则实数
λ的值为________.
5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA
→
＋OB
→
＋OC
→
＝0，那么()
→
＝OD
→
→
＝2OD
→
→
＝3OD
→
D.2AO
→
＝OD
→
题型一平面向量的概念辨析
例1给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB
→
＝DC
→
是四边形ABCD
为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|
且a∥b.
其中正确命题的序号是________.
探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象
移动混为一谈.
(5)非零向量a与
a
|a|
的关系是：
a
|a|
是a方向上的单位向量.
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
(6)若向量AB
→
与向量CD
→
是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(8)任一向量与它的相反向量不相等.
题型二向量的线性运算
例2在△ABC中，D、E分别为BC、AC边
上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，
设AB
→
＝a，AC
→
＝b，试用a，b表示AD
→
，AG
→
.
探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地
找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相
应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
在△ABC中，E、F分别为AC、AB的
中点，BE与CF相交于G点，设AB
→
＝a，AC
→
＝b，
试用a，b表示AG
→
.
题型三平面向量的共线问题
例3设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB
→
＝a＋b，BC
→
＝2a＋8b，CD
→
＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共
线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ
1
，λ
2
，使λ
1
a＋λ
2
b＝0成立，若λ
1
a＋λ
2
b
＝0，当且仅当λ
1
＝λ
2
＝0时成立，则向量a、b不共线.
如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，
使得AN＝
1
3
AC，在AB上取一点M，使得AM＝
1
3
AB，
在BN的延长线上取点P，使得NP＝
1
2
BN，在CM的延长
线上取点Q，使得MQ
→
＝λCM
→
时，AP
→
＝QA
→
，试确定λ的值.
11.用方程思想解决平面向量
的线性运算问题
试题：(14分)如图所示，在△ABO中，OC
→
＝
1
4
OA
→
，
OD
→
＝
1
2
OB
→
，AD与BC相交于点M，设OA
→
＝a，
OB
→
＝b.试用a和b表示向量OM
→
.
审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地
转化到平行四边形或三角形中去.
(2)既然OM
→
能用a、b表示，那我们不妨设出OM
→
＝ma＋nb.
(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.
规范解答
解设OM
→
＝ma＋nb，
则AM
→
＝OM
→
－OA
→
＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
AD
→
＝OD
→
－OA
→
＝
1
2
OB
→
－OA
→
＝－a＋
1
2
b.[3分]
又∵A、M、D三点共线，∴AM
→
与AD
→
共线.
∴存在实数t，使得AM
→
＝tAD
→
，
即(m－1)a＋nb＝t
－a＋
1
2
b
.[5分]
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋
1
2
tb.
∴
m－1＝－t
n＝
t
2
，消去t得，m－1＝－2n，
即m＋2n＝1.①[7分]
又∵CM
→
＝OM
→
－OC
→
＝ma＋nb－
1
4
a＝
m－
1
4
a＋nb，
CB
→
＝OB
→
－OC
→
＝b－
1
4
a＝－
1
4
a＋b.
又∵C、M、B三点共线，∴CM
→
与CB
→
共线.[10分]
∴存在实数t
1
，使得CM
→
＝t1
CB
→
，
∴
m－
1
4
a＋nb＝t
1
－
1
4
a＋b
，
∴
m－
1
4
＝－
1
4
t
1
n＝t
1
，消去t1
得，4m＋n＝1.②[12分]
由①②得m＝
1
7
，n＝
3
7
，∴OM
→
＝
1
7
a＋
3
7
b.[14分]
批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定
的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)
数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，
因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面
向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几
何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.
方法与技巧
1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式
的基础.
2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB
→
∥CD
→
且AB与CD不共线，则
AB∥CD；若AB
→
∥BC
→
，则A、B、C三点共线.
失误与防范
1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向
量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
§5.1平面向量的概念及线性运算
(时间：60分钟)
A组专项基础训练题组
一、选择题
1.给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.
其中错误命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
2.设P是△ABC所在平面内的一点，BC
→
＋BA
→
＝2BP
→
，则()
→
＋PB
→
＝0
→
＋PA
→
＝0
→
＋PC
→
＝0
→
＋PB
→
＋PC
→
＝0
3.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()
A.k＝1且c与d同向
B.k＝1且c与d反向
C.k＝－1且c与d同向
D.k＝－1且c与d反向
二、填空题
4.设a、b是两个不共线向量，AB
→
＝2a＋pb，BC
→
＝a＋b，CD
→
＝a－2b，若A、B、D三
点共线，则实数p的值为________.
5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC
→
＝λAE
→
＋μAF
→
，其
中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
6.如图，在△ABC中，AN
→
＝
1
3
NC
→
，P是BN上的一点，
若AP
→
＝mAB
→
＋
2
11
AC
→
，则实数m的值为________.
三、解答题
7.如图，以向量OA
→
＝a，OB
→
＝b为边作▱OADB，
BM
→
＝
1
3
BC
→
，CN
→
＝
1
3
CD
→
，用a、b表示OM
→
、ON
→
、
MN
→
.
8.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，
1
3
(a＋
b)三向量的终点在同一条直线上？
B组专项能力提升题组
一、选择题
1.已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB
→
＝λPA
→
＋PB
→
，其中λ∈R，则点P一定在()
A.△ABC的内部
边所在直线上
边所在直线上
边所在直线上
2.已知△ABC和点M满足MA
→
＋MB
→
＋MC
→
＝0，若存在实数m使得AB
→
＋AC
→
＝mAM
→
成立，
则m等于()
A.2B.3
C.4D.5
3.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP
→
＝OA
→
＋λ
AB
→
|AB
→
|
＋
AC
→
|AC
→
|
，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()
A.外心B.内心
C.重心D.垂心
二、填空题
4.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是
__________(将正确的序号填在横线上).
①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；
③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；
④若四边形ABCD是梯形，则AB
→
与CD
→
共线.
5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.
过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的
两点M、N，若AB
→
＝mAM
→
，AC
→
＝nAN
→
，则
m＋n的值为______.
6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD
→
＝2DB
→
，CD
→
＝
1
3
CA
→
＋λCB
→
，则λ＝________.
7.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA
→
＋OB
→
|＝|OA
→
－OB
→
|，其中O
为坐标原点，则实数a的值为________.
三、解答题
8.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.
(1)求GA
→
＋GB
→
＋GO
→
；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA
→
＝a，OB
→
＝b，OP
→
＝ma，OQ
→
＝nb，求证：
1
m
＋
1
n
＝
3.
答案
要点梳理
1.大小方向长度模零01个单位
相同相反方向相同或相反平行相等
相同相等相反
2.三角形平行四边形(1)b＋a
(2)a＋(b＋c)三角形
(1)|λ||a|(2)相同相反0λμa
λa＋μaλa＋λb
3.b＝λa
基础自测
→
2.b－
1
2
a3.①②③4.－25.A
题型分类·深度剖析
例1②③
变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正
确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向
量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为
AB
→
与CD
→
共线，而AB与CD可以不共线即AB∥CD.(7)正确.(8)不正确，因为零向量可
以与它的相反向量相等.
例2解AD
→
＝
1
2
(AB
→
＋AC
→
)＝
1
2
a＋
1
2
b；
AG
→
＝AB
→
＋BG
→
＝AB
→
＋
2
3
BE
→
＝AB
→
＋
1
3
(BA
→
＋BC
→
)＝
2
3
AB
→
＋
1
3
(AC
→
－AB
→
)
＝
1
3
AB
→
＋
1
3
AC
→
＝
1
3
a＋
1
3
b.
变式训练2解AG
→
＝AB
→
＋BG
→
＝AB
→
＋λBE
→
＝AB
→
＋
λ
2
(BA
→
＋BC
→
)
＝
1－
λ
2
AB
→
＋
λ
2
(AC
→
－AB
→
)
＝(1－λ)AB
→
＋
λ
2
AC
→
＝(1－λ)a＋
λ
2
b.
又AG
→
＝AC
→
＋CG
→
＝AC
→
＋mCF
→
＝AC
→
＋
m
2
(CA
→
＋CB
→
)
＝(1－m)AC
→
＋
m
2
AB
→
＝
m
2
a＋(1－m)b，
∴
1－λ＝
m
2
1－m＝
λ
2
，解得λ＝m＝
2
3
，
∴AG
→
＝
1
3
a＋
1
3
b.
例3(1)证明∵AB
→
＝a＋b，BC
→
＝2a＋8b，CD
→
＝3(a－b)，
∴BD
→
＝BC
→
＋CD
→
＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB
→
.
∴AB
→
、BD
→
共线，又∵它们有公共点B，
∴A、B、D三点共线.
(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
变式训练3
1
2
课时规范训练
A组
1.C2.B3.D4.－1
5.
4
3
6.
3
11
7.解∵BA
→
＝OA
→
－OB
→
＝a－b，
BM
→
＝
1
6
BA
→
＝
1
6
a－
1
6
b，
∴OM
→
＝OB
→
＋BM
→
＝
1
6
a＋
5
6
b.又OD
→
＝a＋b，
∴ON
→
＝OC
→
＋
1
3
CD
→
＝
1
2
OD
→
＋
1
6
OD
→
＝
2
3
OD
→
＝
2
3
(a＋b).
∴MN
→
＝ON
→
－OM
→
＝
2
3
a＋
2
3
b－
1
6
a－
5
6
b＝
1
2
a－
1
6
b.
即OM
→
＝
1
6
a＋
5
6
b，ON
→
＝
2
3
a＋
2
3
b，
MN
→
＝
1
2
a－
1
6
b.
8.解设OA
→
＝a，OB
→
＝tb，OC
→
＝
1
3
(a＋b)，
∴AC
→
＝OC
→
－OA
→
＝－
2
3
a＋
1
3
b，
AB
→
＝OB
→
－OA
→
＝tb－a.
要使A、B、C三点共线，只需AC
→
＝λAB
→
.
即－
2
3
a＋
1
3
b＝λtb－λa.
∴有
－
2
3
＝－λ，
1
3
＝λt，
⇒
λ＝
2
3
，
t＝
1
2
.
∴当t＝
1
2
时，三向量终点在同一直线上.
B组
1.B2.B3.B
4.①②
5.2
6.
2
3
7.±2
8.(1)解∵GA
→
＋GB
→
＝2GM
→
，
又2GM
→
＝－GO
→
，
∴GA
→
＋GB
→
＋GO
→
＝－GO
→
＋GO
→
＝0.
(2)证明显然OM
→
＝
1
2
(a＋b).
因为G是△ABO的重心，
所以OG
→
＝
2
3
OM
→
＝
1
3
(a＋b).
由P、G、Q三点共线，得PG
→
∥GQ
→
，
所以，有且只有一个实数λ，使PG
→
＝λGQ
→
.
而PG
→
＝OG
→
－OP
→
＝
1
3
(a＋b)－ma
＝
1
3
－m
a＋
1
3
b，
GQ
→
＝OQ
→
－OG
→
＝nb－
1
3
(a＋b)
＝－
1
3
a＋
n－
1
3
b，
所以
1
3
－m
a＋
1
3
b
＝λ
－
1
3
a＋
n－
1
3
b
.
又因为a、b不共线，
所以
1
3
－m＝－
1
3
λ
1
3
＝λ
n－
1
3
，
消去λ，整理得3mn＝m＋n，
故
1
m
＋
1
n
＝3.