等差数列定义
-诺贝尔生物学奖
2023年2月15日发(作者：点灯笼)______________________________________________________________________________________________________________
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等差数列的定义及通项公式（第1课时）
高级中学数学组杨跃
一、教学目标
1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．
2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概
念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力．
3．情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩
证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．
二、学情分析
我所教学的学生是我校相对较好的班级，经过快一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰
富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学
生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启
发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．
三、教学重点，难点
重点：①等差数列的概念；②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程。
四、教学过程
一．问题情境
（一）情境：观察下列问题中涉及到的数列
1、研究发现我国儿童年龄在2-12周岁之间，其标准的身高、体重大致成规律性变化：
年龄23456
…
1112
身高（cm）849198105112
…
147（154）
体重（kg）1214161820
…
30（32）
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你能预测12岁儿童的身高和体重吗？
（1）84，91，98，105，112，…，147，（154）
（2）12，14，16，18，20，…，30，（32）
2、1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。你能预测出第
31届奥运会的时间吗？
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016）
3、姚明刚进ＮＢＡ一周前六天训练罚球的个数是：6000、6500、7000、7500、8000、8500、…、你能
预测姚明第七天罚球的个数吗？（9000）
（二）问题：上面这些数列有何共同特征？
二．学生活动
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于7；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于2；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于500；
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相
等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
三．建构课堂教学
（一）等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为
1
(2)
nn
aadn
或
1
(1)
nn
aadn
．
【注】
1、一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，
此数列不是等差数列.
如：（1）1，3，4，5，6，……（2）－1，0，12，14，16，18，20，……
2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等差数
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列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义中“同一个常数”中“同一个”十分
重要，切记不可丢掉。
3、求公差d时，可d=a
n
—a
n－1
,也可以用d=a
n＋1
－a
n
【思考】
1、你能再举出一些等差数列的例子吗？
2、下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项
1
a和公差d,如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，…；（2）9，6，3，0，-3…；（3）-8，-6，-4，-2，0，…；（4）3，3，3，3，…
（5）
5
1
4
1
3
1
2
1
1、、、、；（6）15，12，10，8，6，…。
（二）等差数列通项公式
【探究1】请试着找规律填空：1，4，7，10，13，16，(19),(22)……
思考：在这个数列中，a20=？如何求解？
n
a
？
58,3)1(1
34131013
3313710
321347
314
20
5
4
3
2
ana
a
a
a
a
n
该问题要是有通项公式多好呀!
【探究2】等差数列通项公式推导一：
如果一个数列
n
aaaa,,,
321
是等差数列，它的公差是d，那么
dnaa
dadaadaa
dadaadaa
daadaa
n
)1(
3
2
1
13434
12323
1212
归纳得：
【注】这种方法称为不完全归纳法
【探究3】等差数列通项公式推到推导二：
daa
daa
daa
daa
daa
n
nn
nn
1
21
34
23
12
)1(
个相加得
dnaa
n
)1(
1
【叠加法】
四、例题讲解
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例1：第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届
数照算。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，
∴*18964(1)18924()
n
annnN
（2）假设2008,
n
a则200818924n，得29n
假设2050
n
a，205018924n无正整数解。
答：所求的通项公式是*18924()
n
annN，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥
运会。
例2．在等差数列
n
a中，已知
3
10a，
9
28a，求
12
a。
解：由题意可知：1
1
210
828
ad
ad
，解得
1
4a，3d，
∴
12
4(121)337a
例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，
分别求中间四个滑轮的直径。
解：用
n
a表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得
16
15,25aa，6n
由通项公式得：
61
(61)aad，即25155d，∴2d，
所以，
2
17a，
3
19a，
4
21a，
5
23a，．
答：中间四个滑轮的直径为17cm，19cm，21cm，23cm。
例4．已知数列的通项公式为
n
apnq，其中p，q是常数，且0p，那么这个数列是否一定是等差
数列？若是，求它的首项与公差。
解：取数列
n
a中的任意相邻两项
1n
a
与
n
a（2n），
1
()[(1)]
nn
aapnqpnq
p，
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∵p是一个与n无关的常数，故
n
a是等差数列，且公差是p，
所以，这个等差数列的首项是
1
apq，公差是p．
五、课堂练习
1、按下面要求分别求解。
（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10。
（2）求等差数列10，8，6，…的第20项。
（3）100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
（4）—20是不是等差数列0，
2
1
3，—7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
2、在等差数列{
n
a
}中，（1）已知daaa与求
174
,19,10=10,（2）已知
1293
,3,9aaa求
。
六、课堂小结（主要由学生总结，教师进行适当的补充）
本节课首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式a
n+1
－a
n
=d(n∈N
+
)。其次，要会推导等差数列
的通项公式：a
n
=a
1
＋(n－1)d(n≥1)，并掌握其基本应用。
七、作业
1、143219组；、、组BAP
2、（课外作业）已知等差数列
n
a满足
37
12aa，
46
4aa，求数列
n
a的通项公式。
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