向量的运算法则
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2023年2月15日发(作者：环保公益广告语)A
B
a
O
b
b
a
aa
bb
OBa+b
OABOAB
OBa+b
向量的运算:加法
教学目标：
1.理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和;
2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,表
述两个运算律的几何意义,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法；培养数形结合解决
问题的能力；
3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
重点：如何作两个向量的和向量
难点：对向量加法定义的理解.
教学过程：
一、创设情景,揭示课题
复习：1.向量的概念
2.平行向量、相等向量的概念;
情景设置：利用向量的表示,从景点O到景点A的位移为
OA,从景点A到景点B的位移为
AB,
那么经过这两次位移后游艇的合位移是
OB
●这里,向量
OA,
OB,
OC三者之间有什么关系
二、研探新知
1.向量的加法
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法;表示：
AB
BC=
AC．
规定：零向量与任一向量a,都有00aaa．
注意：两个向量的和仍旧是向量简称和向量
作法：在平面内任意取一点O,作
OA=a,
AB=a,则
OB=
OA+
AB=a+b
2.向量的加法法则
1共线向量的加法
同向向量反向向量
2不共线向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的,一般有两种方法,即向量加法的三角形法则“首尾相接,
首尾连”和平行四边形法则对于两个向量共线不适应;
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则;表示：
AB
BC=
AC．
平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD,则以A
为起点的对角线
AC就是a与b的和,这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则;
如图,已知向量a、b在平面内任取一点A,作
AB=a,
BCb,则向量
AC叫做a与b的和,记
作a+b,即a+b
AB
BC
AC
说明：教材中采用了三角形法则来定义,这种定义,对两向量共线时同样适用,当向量不共线时,向
量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
特殊情况：
探究：1两相向量的和仍是一个向量；
2当向量a与b不共线时,a+b的方向不同向,且|a+b|
|a|+|b|;
3当a与b同向时,则a+b、a、b同向,且|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时,若
|a|
|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|；若|a|
|b|,则a+b的方向与b相
同,且|a+b|=|b|-|a|.
4“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到
n
个向量连加
3.向量加法的运算律
1向量加法的交换律：a+b=b+a
a
a
ab
b
b
a+b
a+b
A
B
C
A
B
C
D
三角形法则
平行四边形法则
2向量加法的结合律：a+b+c=a+b+c
证明：如图：使
ABa,
BCb,
CDc则
a+b+c=
AC+
CD
AD,a+b+c=
AB
BD
AD
,∴a+b+c=a+b+c
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如：
()()()()abcdbdac
；
[()]()abcdedacbe
．
数学应用：
例1：如图,O为正六边形的中心,作出下列向量：
1OAOC；2BCFE；3OAFE
练习：
1．如图,已知向量,ab,作出ab
（1）2
2．如图,在三角形ABC中,作出下列向量：
1CACB；2CAAB3CABA
3．在平行四边形ABCD中,
1ABAD,2ACCDDO
3ABADCD,
A
B
C
D
E
F
O
a
b
a
b
4ACBADA
4．化简：
ABMBBOBCOM
5．已知正三角形ABC中,下列等式成立的有
1||||ABBCBCCA2||||ACCBBCBA
3||||ABACCBCA4||||ABBCACCBBACA
例2．在长江南岸某渡口处,江水以hkm/5.12的速度向东流,渡般的速度为hkm/25,渡般要垂直
地渡过长江,其航向应如何确定
例3已知矩形ABCD中,宽为2,长为
23
,
ABa,
BC=b,
AC=c,试作出向量abc,
并求出其模的大小;
练习：1一架飞机向北飞行200千米后,改变航向向东飞行200千米,则飞行的路程为_____；
两次位移的和的方向为北偏东45,大小为__________千米．
2如图,一艘船从A点出发以
hkm/32
的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为
hkm/2,求船实际航行的速度的大小与方向;
B
C
A