导数的几何意义是什么

导数的几何意义是什么

-数据同化

导数的几何意义（说课）

郑伟和

一.教材分析

（一）教材的地位和作用

导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何意

义是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学

生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工

具，是本章的关键内容。

（二）重点与难点

教学重点：导数的几何意义的理解与应用

教学难点：导数几何意义的推导思路

（三）课时安排

导数的几何意义可安排两课时。本节作为第一课时，重在探求曲线上某点处切线的斜

率和导数的关系，理解导数的几何意义，体会几何意义在研究函数性质应用中的作用。

二.教法分析

（一）学情分析

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬

时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于

导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学

生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数

就是曲线上某点的斜率等等。

（二）教学方法

1、多媒体辅助教学

借助多媒体教学手段引导学生发现切线斜率与该点导数值之间的关系，使问题变得

直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示导数就是切线斜率的过程，体会逼近的思想

方法。

2、探究发现法教学

让学生通过动手操作课件经历“实验、探索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一

般的认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会，增强参与意识，

教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。

(三)学法分析

借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调

动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作课

件，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤

于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

三.教学目标

知识与技能：通过实验探求和理解导数的几何意义，理解导数在研究函数性质中的作

用，培养学生分析、抽象、概括等思维能力。

过程与方法：在寻找切线新定义的过程中，使学生通过有限认识无限，发现数学的美；

通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思维方法。

情感态度与价值观：在导数几何意义的推导过程中，渗透逼近和以直代曲的思想，使学生

了解近似与精确间的辨证关系，激发学生勇于探索、勤于思考的精神；

通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣；培养学生合作学习和

数学交流的能力。

四.教学过程

（一）教学流程图

教学程序及设计意图

教学过程设计意图

（一）创设情景铺垫导入

提出问题：先来复习导数的概念

定义：一般的，函数在)(xfy在

0

xx处的

瞬时变化率是

我们称它为函数)(xfy在

0

xx处的导数记

作)(

0

'xf即：

提出问题，由学生回顾导数的概念以

及求法，达到固旧引新的目的

（二）合作学习探索新知

问题1.由平均变化率00

0

()()

()

fxxfx

xxx





表达式的

形式，你联想到什么？请在函数图像中画出来.

问题2.当

0x

时，点Q的位置怎么变

化？割线PQ有什么变化？请在函数图像中画出

来

问题3：比较圆的切线的定义与此处切线的定义

有什么不同

教师用实物投影仪展示学生成果：

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线

PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

（1）类比平均变化率的几何意义，联

想，探索发现.

（2）结合图像直观突破平均变化率的

几何意义.

（3）动手实践，通过逼近方法，将割

线趋于确定位置的直线定义为切线，

适用于各种曲线，这种定义才真正反

映了切线的本质。

(4)借助多媒体教学手段引导学生发

现导数就是切线斜率，使问题变得直

观，易于突破难点；最后的证明环节，

能够同时从数与形两个角度强化学生

对导数概念的理解。

即:

'

00

0

00

()()

()limlim

xx

fxxfx

y

kfx

xx







切线

)2('),1('),(',)(12ffxfxxf求：设例

00

()()

()limlim

xx

yfxxfx

fxy

xx









00

()()

()limlim

xx

yfxxfx

fxy

xx









（三）例题分析随堂演练

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方

程.

例2已知曲线,求:

点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.

通过例1例2使学生理解和掌握

函数)(xf在

0

xx处的导数



0

/xf的几何意义就是函数)(xf

的图像在

0

xx处的切线的斜率

（四）归纳小结反思建构

归纳:求切线方程的步骤

①求出函数)(xfy在点

0

x处的导数)(

0

xf



②得切线方程))(()(

00

xxxfxfy





作业:

2.求2)(xxf在

2x

处的斜率，并求出过

该点的切线方程.

启发学生自主小结，知识性内容的小

结，可把课堂所学知识尽快化为学生

的素质；数学思想方法的小结，可使

学生更清晰地梳理数学思想方法，并

且逐渐养成科学的思维习惯。

五.评价与反思

本节课我设计为一节“科学探究—合作学习”的活动课，在整个教学过程中学生以研究

者的身份学习，在问题解决的过程中，通过自身的体验对知识的认识从模糊到清晰，从直

观感悟到精确掌握。力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精确的统一，运动和

静止的统一，感受量变到质变的转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。教师在这

个过程中始终扮演学生学习的协作者和指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的形

成知识结构，转化为数学能力。

2010.4.19

)

3

8

,2(

3

1

3Pxy上一点

处的导数。在求函数1

1

.1x

x

y