导数的计算

导数的计算

-小学英语短文

2023年2月15日发(作者：五子棋棋谱)

1

导数的计算

【学习目标】1.牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。

2.熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。

3.能熟练运用四则运算的求导法则，

4.理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．

【要点梳理】

知识点一：基本初等函数的导数公式

（1）()fxC（C为常数），'()0fx

（2）()nfxx（n为有理数），1'()nfxnx

（3）()sinfxx，'()cosfxx

（4）()cosfxx，'()sinfxx

（5）()xfxe，'()xfxe

（6）()xfxa，'()lnxfxaa

（7）()lnfxx，

1

'()fx

x



（8）

()log

a

fxx，

1

'()log

a

fxe

x

。

要点诠释：

1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线()fxC（C为常数）在任意点

处的切线平行于x轴．

2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即1()'nnxnx（n∈Q）．

特别地

2

11

'

xx









，

1

()'

2

x

x

。

3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sinx）＇=cosx．

4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cosx）＇=－sinx．

5．指数函数的导数：()'lnxxaaa，()'xxee．

6．对数函数的导数：

1

(log)'log

aa

xe

x

，

1

(ln)'x

x

．

有时也把

1

(log)'log

aa

xe

x

记作：

1

(log)'

lna

x

xa



以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．

2

知识点二：函数的和、差、积、商的导数

运算法则：

（1）和差的导数：[()()]''()'()fxgxfxgx

（2）积的导数：[()()]''()()()'()fxgxfxgxfxgx

（3）商的导数：

2

()'()()()'()

[]'

()[()]

fxfxgxfxgx

gxgx



（()0gx）

要点诠释：

1.上述法则也可以简记为：

（ⅰ）和（或差）的导数：()'''uvuv，

推广：

1212

()''''

nn

uuuuuu．

（ⅱ）积的导数：()'''uvuvuv，

特别地：()''cucu（c为常数）．

（ⅲ）商的导数：

2

''

'(0)

uuvuv

v

vv











，

两函数商的求导法则的特例

2

()'()()()'()

'(()0)

()()

fxfxgxfxgx

gx

gxgx











，

当()1fx时，

22

11'()1'()'()

'(()0)

()()()

gxgxgx

gx

gxgxgx











．

这是一个函数倒数的求导法则．

2．两函数积与商求导公式的说明

（1）类比：()'''uvuvuv，

2

''

'

uuvuv

vv











（v≠0），注意差异，加以区分．

（2）注意：

'

'

'

uu

vv









且

2

''

'

uuvuv

vv











（v≠0）．

3．求导运算的技巧

在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可

将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．

3

知识点三：复合函数的求导法则

1．复合函数的概念

对于函数[()]yfx，令()ux，则()yfu是中间变量u的函数，()ux是自变量x的函

数，则函数[()]yfx是自变量x的复合函数．

要点诠释：常把()ux称为“内层”，()yfu称为“外层”。

2．复合函数的导数

设函数()ux在点x处可导，''()

x

ux，函数()yfu在点x的对应点u处也可导''()

u

yfu，

则复合函数[()]yfx在点x处可导，并且'''

xux

yyu，或写作'[()]'()'()

x

fxfux．

3．掌握复合函数的求导方法

（1）分层：将复合函数[()]yfx分出内层、外层。

（2）各层求导：对内层()ux，外层()yfu分别求导。得到'(),'()xfu

（3）求积并回代：求出两导数的积：'()'()fux，然后将()ux用替换，即可得到

[()]yfx的导数。

要点诠释：1.整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，

可以相应地多次用中间变量。

2.选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求

导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

【典型例题】

类型一：求简单初等函数的导数

例1.求下列函数的导数：

(1)3x(2)

2

1

x

(3)x（4）sinyx（5）lnx

【解析】

(1)(x3)′=3x3－1=3x2；

(2)(

2

1

x

)′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3

(3)

x

xxxx

2

1

2

1

2

1

)()(2

1

1

2

1

2

1









（4）'(sin)'cosyxx；

（5）

1

'(ln)'yx

x

；

4

【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化

求导过程，降低运算难度。

（2）准确记忆公式。

（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。

举一反三：

【变式】求下列函数的导数：

(1)y=

3

1

x

(2)y=3x（3）y=2x3―3x2+5x＋4（4）2

22

loglogyxx；

【答案】

(1)y′=(

3

1

x

)′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4

(23

2

1

3

1

3

1

3

3

1

3

1

)()(











xxxxy

（3）322'2()'3()'5()'(4)'665yxxxxx

（4）∵2

222

logloglogyxxx，∴

2

1

'(log)'

ln2

yx

x





.

类型二：求函数的和、差、积、商的导数

例2.求下列函数导数：

(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝

1

x

x

；(3)y＝lgx－ex；（4）y=xetanx.

【解析】

(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝

22

11

(1)(1)

xx

xx







.(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝

1

ln10x

－ex.

(4)'y=xetanx+

x

ex

2cos

.

【点评】

（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。

（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。

举一反三：

【变式1】函数2(1)(1)yxx在1x处的导数等于()

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

法一：22'[(1)]'(1)(1)(1)'yxxxx

222(1)(1)(1)321xxxxx

∴

1

'|4

x

y



.

5

法二：∵22(1)(1)(1)(1)yxxxx321xxx

∴322'()'()''1'321yxxxxx

∴

1

'|4

x

y



.

【变式2】求下列各函数的导函数

（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。（2）y=x2sinx;（3）y=

xx

xx

sin

cos





【答案】

（1）∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y＇=3x2+12x+11。

（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx

（3）

2

(cos)(sin)(cos)(sin)

'

(sin)

xxxxxxxx

y

xx









=

2)sin(

)cos1)(cos()sin)(sin1(

xx

xxxxxx





=

2)sin(

1cossinsincos

xx

xxxxxx





【变式3】求下列函数的导数.

（1）y＝（2x2－5x＋1）ex；

（2）

1

(1)(1)yx

x

；

（3）y＝

xxx

xxx

sincos

cossin





【答案】

（1）y′＝(2x2－5x＋1)′ex＋(2x2－5x＋1)(ex)′

＝（4x－5）ex＋（2x2－5x＋1）ex

＝（2x2－x－4）ex

（2）

11

22

11

(1)

xx

yxxx

xx



，

∴

31

22

11

'

22

yxx.

（3）y′＝

2)sin(cos

1

xxx

[(sinx－xcosx)′(cosx＋xsinx)－(sinx－xcosx)·(cosx＋xsinx)′]

＝

2)sin(cos

1

xxx

[(cosx－cosx＋xsinx)(cosx＋xsinx)－(sinx－xcosx)(xcosx)]

6

＝

2

2222

)sin(cos

coscossinsincossin

xxx

xxxxxxxxxx





＝

xxx

x

sincos

2



类型三：求复合函数的导数

例3求下列函数的导数：

（1）

4)31(

1

x

y



；（2）)

6

3cos(



xy；

（3）2ln(231)yxx；

【解析】

（1）设μ=1-3x，4y，则

5

5

)31(

12

)3(4'''

x

yy

xx





。

（2）设

6

3



x，y=cosμ，则

)

6

3sin(33sin'''







xyy

xx

。

（3）设22231,'43'lnln(231)

u

uxxuxuxx则，y

'''

xux

yyu2(43)ln(231)xxx

【点评】

把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注

意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。

举一反三：

【变式】求下列函数导数.

（1）ln(2)yx；（2）21exy；（3）2cos(21)yx.

【答案】

（1）lnyu，2ux

∴

'''(ln)'(2)'

xux

yyuux

11

1

2ux





（2）

euy，21ux.

∴

'''(e)'(21)'u

xux

yyux212e2eux

（3）cosyu，221ux，

∴2'''(cos)'(21)'

xux

yyuux24sin4sin(21)xuxx.

7

例4求下列函数导数.

(1)82)21(xy；（2）21xxy；（3）)

3

2(sin2



xy

【解析】

(1)令212ux,8uy,

.)21(3248)21()(72728xxxuxuuyy

xux



















（2）)'1(1')'1('222xxxxxxy

222

22

222

(1)'12

11

2111

xxx

xxx

xxx







。

（3）设2y，μ=sinv，

3

2



xv，则

2cos2''''vvyy

xVx





)

3

2

4sin(2

2)

3

2cos()

3

2sin(2









x

xx

在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：

')

3

2sin()

3

2sin(2')

3

2(sin'2































xxxy

)

3

2

4sin(2

)'

3

2()

3

2cos()

3

2sin(2









x

xxx

【点评】

（1）复合函数求导数的步骤是：

①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；

②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；

③将中间变量代回为自变量的函数。

简记为分解——求导——回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，

即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。

（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。

举一反三：

【变式1】求y＝sin4x＋cos4x的导数．

【答案】

解法一y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－

2

1

sin22x

8

＝1－

4

1

（1－cos4x）＝

4

3

＋

4

1

cos4x．y′＝－sin4x．

解法二y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′

＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)

＝－2sin2xcos2x＝－sin4x

【变式2】求下列函数导数：

（1）

2

122

22

12

yx

x













；

（2）．求函数

2

2

cos

sin

x

y

x









的导数（sin0x）。

【答案】（1）设u=1－2x2，则

1

2yu。

∴

3

2

1

'''(4)

2xux

yyuux







33

22

22

22

12

(12)(4)2(12)

2

(12)12

x

xxxx

xx





。

（2）．方法一：

22

2226

coscos2cos(cos)'sincos(sin)'

'2'

sinsinsinsin

xxxxxxx

y

xxxx











323

35

2cos(sin2cossin)2cos4cos

sin6sinsin

xxxxxx

xxx



。

方法二：∵

2

4

cos

sin

x

y

x

，∴

2424

8

(cos)'sincos(sin)'

'

sin

xxxx

y

x





4233

835

2cos(sin)sincos4sincos2cos4cos

sinsinsin

xxxxxxxx

xxx



。

类型四：利用导数求函数式中的参数

例5（1）32()32fxaxx，若'(1)4f，则a的值为（）

A．

10

3

B．

13

3

C．

16

3

D．

19

3

（2）设函数

()cos(3)(0)fxx

，若()'()fxfx是奇函数，

则=________。

【解析】（1）∵2'()36fxaxx，

∴'(1)364fa，∴

10

3

a，故选A。

9

（2）由于'()3sin(3)fxx，

∴

5

()'()cos(3)3sin(3)2sin3

6

fxfxxxx













，

若()'()fxfx是奇函数，则(0)'(0)0ff，即

5

02sin

6













，

所以

5

()

6

kkZ



。

又因为0，所以

6



。

【点评】求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导

数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。

举一反三：

【变式1】

已知函数32()fxaxbxcx过点（1，5），其导函数'()yfx的图象

如图3-2-1所示，求()fx的解析式。

【答案】∵2'()32fxaxbxc，

由'(1)0f，'(2)0f，(1)5f，得

320

1240

5

abc

abc

abc

















，解得

2

9

12

a

b

c

















，

∴函数()yfx的解析式为32()2912fxxxx。

【变式2】已知

()fx

是关于

x

的多项式函数，

（1）若2()2(1)fxxxf



，求(0)f



；

（2）若2()36fxxx



且(0)4f，解不等式()0fx.

【解析】显然(1)f



是一个常数，所以'()22(1)fxxf





所以'(1)212(1)ff





，

即'(1)2f

所以'(0)202(1)4ff





∵2()36fxxx





，

∴可设32()3fxxxc

10

∵(0)4fc∴322()34(1)(2)fxxxxx

由()0fx

，

解得|12xxx且