最小正周期怎么求

最小正周期怎么求

-外交战略

2023年2月15日发(作者：台签模板)

ｙ

ｘ

Ｏ

２



－

－２



ｙ

ｘ

Ｏ



２



－



－２



三角函数周期的常用求法

河南陈长松

三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的

几种常用方法，供参考．

一、公式法

例1函数)

23

sin(

x

y



的最小正周期是（）

Ａ．Ｂ．２Ｃ．－４Ｄ．４

解：由公式，得



4

2

1

2





T，故选Ｄ．

评注：对于函数)sin(xAy或)cos(xAy可直接利用公式



2

T

求得；对于

)tan(xAy或)cot(xAy可直接利用公式





T

求得。

二、图像法

例２求下列函数的最小正周期

①xysin②xysin

解：分别作出两个函数的图像知

①xysin的周期T②xysin不是周期函数

评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决．

三、定义法

例３求函数xxycossin的最小正周期

解：∵

2

cos()

2

sin(

k

x

k

x＝xxcossin（Zk）

∴

2

k

是函数xxycossin的周期．显然

2

k

中最小者是

2



下面证明

2



是最小正周期

假设

2



不是xxycossin的最小正周期，则存在T0

2



，使得：

)(Txf)cos()sin(TxTx＝xxcossin对Rx恒成立，

令0x，则)0(TfTTcossin＝10cos0sincossinTT①

但T0

2



，∴1cossinTT②

∴①与②矛盾，∴假设不成立，∴

2



是xxycossin最小正周期．

评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(xfTxf出发，设法找出周期T中的最小正数

（须用反证法证明）．

四、转化法

例４求函数xxy66cossin的最小正周期

解：∵y＝)cossin3cossin3()cos(sin4224322xxxxxx

＝)4cos1(

8

3

1)cos(sin)cos(sin31222xxxxx

＝x4cos

8

3

8

5



∴函数

xxy66cossin的最小正周期是

24

2

T

评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常

见的求周期题型，也是高考考察的热点．

五、最小公倍数法

例５求函数ysin3xcos5x=+的最小整周期

解：设sin3x、cos5x的最小整周期分别为

1

T、

2

T，

则

1

2

T

3



，

2

2

T

5



，

2

T

1



＝2

∴ysin3xcos5x=+的最小整周期为2

评注：设()fx与()gx是定义在公共集合上的两个三角周期函数，

1

T、

2

T分别是它们的周期，且

1

T

2

T，则()fx()gx的最小整周期是

1

T、

2

T的最小公倍数．

分数的最小公倍数＝

分子的最小公倍数

分母的最小公倍数