可导的条件
-刀库
2023年2月15日发(作者：歌曲在线免费听)高考中数学导数的解法
1、导数的背景：
（1）切线的斜率；（2）瞬时速度.
如一物体的运动方程是s1tt
2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t3
时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
2、导函数的概念：如果函数f(x)在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一
个x
0
，都对应着一个导数fx
0
，这样f(x)在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新
的函数叫做f(x)在开区间（a,b）内的导函数，
记作f
x
导函数也简称为导数。
提醒：导数的另一种形式
yxx
0
f
(x
0
)lim
f(x)
f(x
0
)
xx
0
x
x
0
如（1）*
y
f(x)
x2x1
在x1处可导，则a
axbx1
解：
x
2x1
在x1处可导，必连续lim
f(x)
yf(x)
axbx1
x1
y
ylim
x0x
b
1
limfxx
fx，
x
0x
limf(x)abf(1)1
x1
∴a
b1
lim
y
2lim
y
x
a
x0x0
x
∴a
2b1
（2）*已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
（1）lim
f(a3h)
f(ah)
；
h0
2h
（2）lim
f(a
h
2)
f(a)
h0
h
分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须
选择相对应的形式。利用函数f(x)在
xa
处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形
转化为导数定义的结构形式。
f(a3h)f(ah)
解：（1）lim
h02h
1/7
limf(a3h)f(a)limf(a)f(a
h)
f(a3h)f(a)f(a)f(ah)
h02hh02h
lim
3f(a3h)f(a)1f(ah)f(a)
h0
2hlimlim
2h
03h2h0h
31
f'(a)f'(a)2b
22
f(ah2)f(a)f(ah2)f(a)
（2）
lim
h
lim
h2h
h0h0
limf(a
h2)
f(a)limhf'(a)00
h0h2h0
说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价
变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
可以证明：可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数
3、求y
f(x)在x
0
处的导数的步骤：（1）求函数的改变量
y
fx
0
xf
x
0
；（2）
求平均变化率
yfx0x
fx
0；（3）取极限，得导数f
x
0
lim
y
。
xxxx0
也可（1）求f(x)，（2）f
(x
0
).
4、导数的几何意义
：函数f(x)在点x
0
处的导数的几何意义，就是曲线
yf(x)在点
Px0,fx0处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点Px0,fx0处的切线的斜率是f
x
0
，相
应地切线的方程是yy
0
fx
0
xx
0
。
特别提醒：
（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点
在曲线上时，此点处的切线的斜率才是f(x
0
))，还是过某点的切线：曲线上某点处
的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只
有一条切线，也未必和曲线只有一个交点；
（2）求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。
如（1）P在曲线y
x
3x
2
上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围
是
[
3
3
______（答：[0,
)
,)）；
24
（2）直线y
3x
1是曲线y
x3a的一条切线,则实数a的值为（答：－3或1）；
（4）曲线y
x3x1
在点(1,3)处的切线方程是______________（答：4xy10）；
2/7
（5）已知函数f(x)
2x3ax24x，又导函数y
f'(x)的图象与x轴交于
3
(k,0),(2k,0),k
0。①求a的值；②求过点(0,0)的曲线yf(x)的切线方程（答：①1；②y4x
或y
35
x）。
8
5、导数的运算法则：
(uv)uv;(uv)
uuvuv
;
6.常见函数的导数公式:
uvuv;(v)
v2
（1）常数函数的导数为0，即C
0
（C为常数）；
（2）x
nnxn1nQ，
与此有关的如下：
1
x1
1
2
,
1
1
；
x
x2
xx2x
(sinx)cosx
(cosx)
-sinx;(ex)ex;(ax)axlna;(lnx)
1
;(log
a
x)
1
log
a
e;
xx
7.（理科）复合函数的导数：
y
x
y
u
u
x
;
一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后
将已知函数对中间变量求导(y')，中间变量对自变量求导('
x
)；最后求y''x，并将中间
变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略
中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
如（1）已知函数f(x)mxmn的导数为f(x)8x3，则mn_____（答：
1
）；
4
（2）函数y(x1)(x1)2的导数为__________（答：y3x22x1）；
（3）若对任意xR，f(x)4x3,f(1)1，则f(x)是______（答：f(x)x42）
8、函数的单调性：
（1）函数的单调性与导数的关系
①若f(x)0,则f(x)为增函数；若f(x)0,则f(x)为减函数；若f(x)0恒成立,
则f(x)为常数函数；若f(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数。可导函数y＝f（x）
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在某个区间内f
(x)
0是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件
②若函数yf(x)在区间（a,b）上单调递增，则f(x)0，反之等号不成立（等号不
恒成立时，反过来就成立）；若函数yf(x)在区间（a,b）上单调递减，则
f(x)0
，反之
等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。
提醒：导数求单调性可用于求函数值域，证明不等式（不等式一端化为
0）
如（1）函数f
x
x3ax2bx
c，其中
a,b,c
为实数，当
a
2
3b0
时，
f(x)
的单调
()
性是______（答：增函数）；
（2）设
a0
函数f
xx3ax
在
[1,)
上单调函数，则实数
a
的取值范围
______（答：
()
0a3）；
（3）已知函数f(x)x3bx(b为常数）在区间(0,1)上单调递增，且方程f(x)0的根
都在区间[2,2]内，则b的取值范围是____________（答：[3,4]）；
（4）已知f(x)
x21，g(x)
x42x22，设(x)
g(x)
f(x)，试问是否存在实数
，使
(x)在(,1)上是减函数，并且在(1,0)上是增函数？（答：4）
（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求（注意定义域）；（2）求方程
f(x)0f(x)
的根，设根为x
1
,x
2
,x
n
；（3）x
1
,x
2
,x
n
将给定区间分成
n+1个子区间（在此有一个比较根
的大小问题），再在每一个子区间内判断f(x)的符号，由此确定每一子区间的单调性。
如设函数f(x)ax3bx2cx在x1,1处有极值，且f(2)2，求f(x)的单调区间。
（答：递增区间（－1,1），递减区间,1,(1,)）
（3）利用导数函数的单调性确定参变数（已知函数f(x)的单调性）转
化为f(x)0或f(x)0恒成立
7、函数的极值：
（1）定义：设函数f(x)在点x
0
附近有定义，如果对x
0
附近所有的点，都有f(x)f(x
0
)，
就说是f(x
0
)函数f(x)的一个极大值。记作y极大值
＝f(x
0
)，如果对x
0
附近所有的点，都有
f(x)f(x
0
)，就说是f(x
0
)函数f(x)的一个极小值。记作y极小值＝f(x
0
)。极大值和极小值统
4/7
称为极值。
（2）求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数f(x)；（ii）求方程f(x)0
的根x
0
；（iii）检查f(x)在方程f(x)0的根x
0
的
左右的符号：“左正右负”f(x)在x
0
处
取极大值；“左负右正”f(x)在x
0
处取极小值。
注：导数为零的点未必是极值点，
特别提醒：
（1）x
0
是极值点的充要条件是x
0
点两侧导数异号，而不仅是fx
0
＝0，fx
0
＝0是x
0
为极值点的必要而不充分条件。
（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x
0
)0，又要考虑检验“左正右负”
(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！（3）第二步中蕴含着比
较根的大小问题，第三步中通常总结成表.
如（1）函数y
(x21)31的极值点
A.极大值点x
1
B.极大值点x
0
C.极小值点x
0
D.极小值点x1（答：C）；
（2）已知函数f(x)x3ax2(a6)x
1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
_____（答：a6或a3）；
（3）函数fx
x3ax2bx
a2在x
1
处有极小值，则
10a+b的值为____（答：－7）；
（4）已知函数f(x)x3bx2cxd在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c有最___值___
（答：大，
15
）
2
8、函数的最大值和最小值：
（1）定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值
中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值
中的“最小值”。
（2）求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数yf(x)在（a,b）内的极值（极大值或极小值）；
（2）将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个
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为最小值。
注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函
数必有最值
如（1）函数y2x33x212x5在[0，3]上的最大值、最小值分别是______
（答：5；15）；
（2）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另
一边长0.5m。那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（答：高为1.2米时，
容积最大为
9
cm3）
5
y
特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要
yf(x)
注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，
研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。O
a
bx
如（1）f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是
(答：D)
y
yy
y
O
a
Oa
bx
O
a
bx
Oabxbx
A、
C、D、
B、
（2）方程x
36x29x
100的实根的个数为______（答：1）；
（3）已知函数f(x)
x3ax2x，抛物线C:x2y，当x(1,2)时，函数f(x)的图象在抛
物线C:x2y的上方，求a的取值范围（答：a1）。
9.定积分
(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限
b
n
f(x)dx=limf(
i
)x
i
an
i=1
(2)定积分几何意义：
①b(f(x)0)
表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积
f(x)dx
a
b(f(x)0)
表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数②
f(x)dx
a
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(3)定积分的基本性质：
bkf(x)dx=kb
①f(x)dx
aa
bb
f
1
(x)dx
b
②[f
1
(x)f
2
(x)]dx=f
2
(x)dx
aaa
bcf(x)dx+b
③f(x)dx=f(x)dx
aac
(4)求定积分的方法：
①定义法：分割—近似代替—求和—取极限
②利用定积分几何意义
③微积分基本定理a’）=()
f(x)其中（x
b
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