高中导数公式
-道路标线涂料
2023年2月15日发(作者：睾酮测定)一、基本初等函数的导数公式
已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝
f(x)＝
1
x
；(5)y＝f(x)＝x.
问题：上述函数的导数是什么？
提示：（1）∵
Δy
Δx
＝
fx＋Δx－fx
Δx
＝
c－c
Δx
＝0，∴y′＝lim
Δx→0
Δy
Δx
＝
0.
2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)
1
x
′＝－
1
x2
，(5)(x)′＝
1
2x
.
函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(x)′＝(x
1
2
)′
＝
1
2
x
1
1
2
－
＝
1
2x
，∴(xα)′＝αxα－1.
基本初等函数的导数公式
原函数导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝axf′(x)＝axlna
f(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
1
xlna
f(x)＝lnx
f′(x)＝
1
x
二、导数运算法则
已知f(x)＝x，g(x)＝
1
x
.
问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？
问题2：试求Q(x)＝x＋
1
x
，H(x)＝x－
1
x
的导数．
提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋
1
x＋Δx
－
x＋
1
x
＝Δx＋
－Δx
xx＋Δx
，
∴
Δy
Δx
＝1－
1
xx＋Δx
，∴Q′(x)＝
lim
Δx→0
Δy
Δx
＝
lim
Δx→0
1－
1
xx＋Δx
＝1－
1
x2
.同理H′(x)＝1＋
1
x2
.
问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，
g(x)导数的差．
导数运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
(g(x)≠0)
题型一利用导数公式直接求导
[例1]求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)xy
2
1
log；
(4)y＝
4
x3；(5)
1
2
cos
2
sin
2
xx
y
.
[解](1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(lgx)′＝
1
xln10
；
(3)y′＝
1
xln
1
2
＝－
1
xln2
；(4)y′＝(
4
x3)′＝
3
4
4
x
；(5)∵y＝
sin
x
2
＋cos
x
2
2－1＝sin2
x
2
＋2sin
x
2
cos
x
2
＋cos2
x
2
－1＝sinx，∴y′＝
(sinx)′＝cosx.
练习求下列函数的导数：
(1)y＝
1
e
x；(2)y＝
1
10
x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg
3
x；(5)y＝2cos2
x
2
－
1.
解：(1)y′＝
1
e
x′＝
1
e
xln
1
e
＝－
1
ex
＝－e－x；(2)y′＝
1
10
x′＝
1
10
xln
1
10
＝
－ln10
10x
＝－10－xln10；(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg
5)′＝0；
(4)∵y＝3lg
3
x＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝
1
xln10
；(5)∵y＝2cos2
x
2
－
1＝cosx，
∴y′＝(cosx)′＝－sinx.
题型二利用导数的运算法则求函数的导数
[例2]求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sin
x
2
cos
x
2
；(3)y＝x2＋log
3
x；(4)y＝
ex＋1
ex－1
.
[解](1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－
1
2
sinx，∴y′＝x′－
1
2
(sinx)′＝1－
1
2
cosx.
(3)y′＝(x2＋log
3
x)′＝(x2)′＋(log
3
x)′＝2x＋
1
xln3
.
(4)y′＝
ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′
ex－12
＝
exex－1－ex＋1ex
ex－12
＝
－2ex
ex－12
.
练习求下列函数的导数：
(1)y＝
cosx
x
；(2)y＝xsinx＋x；(3)y＝
1＋x
1－x
＋
1－x
1＋x
；(4)y＝lgx
－
1
x2
.
解：(1)y′＝
cosx
x
′＝
cosx′·x－cosx·x′
x2
＝
－x·sinx－cosx
x2
＝－
xsinx＋cosx
x2
.
(2)y′＝(xsinx)′＋(x)′＝sinx＋xcosx＋
1
2x
.
(3)∵y＝
1＋x2
1－x
＋
1－x2
1－x
＝
2＋2x
1－x
＝
4
1－x
－2，∴y′＝
4
1－x
－2
′＝
－41－x′
1－x2
＝
4
1－x2
.
(4)y′＝
lgx－
1
x2′＝(lgx)′－
1
x2′＝
1
xln10
＋
2
x3
.
题型三导数几何意义的应用
[例3](1)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在
第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为
________．
[解析](1)y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|
x＝0
＝－5e0＝－
5，
∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
(2)设点P的坐标为(x
0
，y
0
)，因为y′＝3x2－10，所以3x2
0
－10＝2，解
得x
0
＝±2.又点P在第一象限内，所以x
0
＝2，又点P在曲线C上，所以
y
0
＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．(1)5x＋y＋2＝0
(2)(2,1)
练习若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有
公切线，则a＋b＝________.
解析：f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，
∵曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，
∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：1
1.切线方程的求法
[典例]已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)
在点(1，f(1))处的切线方程．
[解]由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，
且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－
1)，
即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.
一、已知斜率，求切线方程．
此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，
进而求出切线方程．
例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．
解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x
0
，y
0
)，则f′(x
0
)＝4x
0
＝4，即x
0
＝1.所以切点坐标为
(1,1)．
故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
二、已知过曲线上一点，求切线方程．
过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该
点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．
例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解：设切点坐标为(x
0
，y
0
)，
因为f′(x)＝3x2－2，
所以f′(x
0
)＝3x2
0
－2，且y
0
＝f(x
0
)＝x3
0
－2x
0
.
所以切线方程为y－y
0
＝(3x2
0
－2)(x－x
0
)，
即y－(x3
0
－2x
0
)＝(3x2
0
－2)(x－x
0
)．
因为切线过点(1，－1)，
故－1－(x3
0
－2x
0
)＝(3x2
0
－2)·(1－x
0
)
即2x3
0
－3x2
0
＋1＝0，
解得x
0
＝1或x
0
＝－
1
2
，
故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
三、已知过曲线外一点，求切线方程．
这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切
点，从而求出切线方程．
例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切
线方程．
解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x
0
，
y
0
)．
则f′(x
0
)＝3x2
0
－3，
故切线方程为y－y
0
＝3(x2
0
－1)(x－x
0
)．
又点A(0,16)在切线上，
所以16－(x3
0
－3x
0
)＝3(x2
0
－1)(0－x
0
)，
化简得x3
0
＝－8，解得x
0
＝－2，即切点为M(－2，－2)，
故切线方程为9x－y＋16＝0.
课后练习
1．给出下列结论：
①(cosx)′＝sinx；②
sin
π
3
′＝cos
π
3
；
③若y＝
1
x2
，则y′＝－
1
x
；④
－
1
x
′＝
1
2xx
.
其中正确的个数是()
A．0B．1C．2D．3
解析：(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin
π
3
＝
3
2
，而
3
2
′＝0，
所以②错误；
1
x2′＝
0－x2′
x4
＝
－2x
x4
＝－2x－3，所以③错误；
－
1
x
′＝－
0－x
1
2
′
x
＝
1
2
x
1
2
－
x
＝
1
2
x
3
2
－
＝
1
2xx
，
所以④正确．答案：B
2．函数y＝sinx·cosx的导数是()
A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx
解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝
cos2x－sin2x.
3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，
∴a＝1.答案：1
4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝
________.
解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所
以y′|
x＝－1
＝－4－2a＝8，解得a＝－6.答案：－6
5．求下列函数的导数：
(1)y＝x
x2＋
1
x
＋
1
x3；
(2)y＝
1＋cosx
x2
；
(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．
解：(1)∵y＝x
x2＋
1
x
＋
1
x3＝x3＋1＋
1
x2
，∴y′＝3x2－
2
x3
.
(2)y′＝
1＋cosx′·x2－1＋cosxx2′
x4
＝
－xsinx－2cosx－2
x3
.
(3)法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝(4xex＋4x－
xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝
ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.
法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)(ex＋1)
＋(4x－x)ex＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.