数学求导公式
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2023年2月15日发(作者：鼎和财产保险股份有限公司)高等数学求导公式打印
版
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2
I.基本函数的导数
01.
0C
；
02.1xx
；
03.
sincosxx
；
04.
cossinxx
；
05.
2tansecxx
；
06.
2cotcscxx
；
07.
secsectanxxx
；
08.
csccsccotxxx
；
09.lnxxaaa
；
10.xxee
；
11.
1
log
lna
x
xa
；
12.
1
lnx
x
；
13.
2
1
arcsin
1
x
x
；
14.
2
1
arccos
1
x
x
；
15.
2
1
arctan
1
x
x
；
16.
2
1
arccot
1
x
x
。
II.和、差、积、商的导数
01.
uvuv
；
02.
CuCu
；
03.
uvuvuv
；
04.2
(0)
uuvuv
v
vv
。
III复合函数的导数
若,yfuux
，则
dydydu
dxdudx
或yxfux
。
-3-
计算极限时常用的等价无穷小
0
limsin
x
xx
0
limtan
x
xx
2
0
1
lim1cos
2x
xx
0
lim1x
x
ex
0
limln1
x
xx
0
1
lim11n
x
xx
n
两个重要极限:
0
sin
lim1
x
x
x
1
lim1
x
x
e
x
若lim0,limfxAgxB
，则
limgx
BfxA
罗尔定理：0Fx
若fx在,ab上连续，在,ab内可导，且fafb，则存在一
,ab，使0f
。
拉格朗日中值定理：若fx在,ab上连续，在,ab内可导，则存在一,ab，使得
fbfafba
。
柯西中值定理：若fx、Fx在,ab上连续，在,ab内可导，且0Fx
则存在一
,ab，使得
0
xx，则
fbfaf
FbFaF
。
罗必达法则：若（1）
()()
limlim0()
xaxa
fxFx
或或
或，（2）fx
及Fx
在
0
0xx（或xX）处存在，且0Fx
，（3）
()
lim
()xa
fx
Fx
或
存在（或），则
()()
limlim
()()xaxa
fxfx
FxFx
或或
。
泰勒公式：
2
000
00001!2!!
n
n
n
fxfxfx
fxfxxxxxxxRx
n
其中：
1
1
01!
n
n
n
f
Rxxx
n
,0
,xx。
马克劳林公式：
2
000
0
1!2!!
n
n
n
fff
fxfxxxRx
n
其中：
1
1
1!
n
n
n
f
Rxx
n
,0,x。
-4-
1.
23
1101
2!3!!1!
nx
xn
xxxe
exx
nn
x
2.
35721
1sin1
3!5!7!21!
m
mxxxx
xx
m
x
3.
2462
cos11
2!4!6!2!
n
nxxxx
xx
n
4.
23
1
111
1
nxxxxx
x
5.
242
2
1
1111
1
n
nxxxx
x
6.
2341
ln11
2341
n
nxxxx
xx
n
11x
驻点：导数为零的点
拐点：
12
12
22
fxfx
xx
f
，则称fx在,ab上是凸的，
12
12
22
fxfx
xx
f
，则称fx在,ab上是凹的，
若曲线在
0
x两旁改变凹凸性，则称00
,xfx为曲线的拐点。
凹凸性判断（充分条件）：设fx
存在，若axb时0fx
，则曲线是为凸的，
若axb时0fx
，则曲线是为凹的。
设曲线方程yfx，fx具有二阶导数，则函数yfx在,xy的曲率K为：
2/3
21
y
K
y
（工程中，若1y
时，Ky
）。
基本积分公式：
kdxkxC1
1
x
xdxC
1
lndxxC
x
2
1
arctan
1
dxxC
x
2
1
arcsin
1
dxxC
x
cossinxdxxCsincosxdxxC；
-5-
2
2
1
sectan
cos
dxxdxxC
x
2
2
1
csccot
sin
dxxdxxC
x
sectansecxxdxxCcsccotcscxxxC
xxedxeC
ln
x
x
a
adxC
a
shxdxchxCchxdxshxC
*tanlncosdxxC*cotlnsinxdxxC
*seclnsectanxdxxxC*csclncsccotxdxxxC
*22
11
arctan
x
dxC
xaaa
*22
11
ln
2
xa
dxC
xaaxa
*
22
arcsin
dxx
C
a
ax
*
22
22
ln
dx
xxaC
xa
*22
22
ln
dx
xxaC
xa
基本积分方法
1换元法：（1）设fu具有原函数Fu，而ux可导，则有：
fxxdxfuduFxC
；
（2）设xt在区间,上单调可导，且0t
，又设fxx
具有原函数
Ft，则有：1fxdxfttdtFtC
。
2分布积分法：udvuvvdu
3.有理函数积分：①
n
A
dx
xa
②
2
n
MxN
dx
xPxq
4.万能代换（三角函数的有理式的积分）：设tan
2
x
u，则
2
2
1
dxdu
u
，
2
2
sin
1
u
x
u
，2
2
1
cos
1
u
x
u
。
2222
1
123121
6
nnnn
。
-6-
定积分中值定理：
b
a
fxdxfbaab。
定理：如果函数fx在区间,ab上连续，则积分上限的函数
x
a
xftdt
在,ab上具有导数，并且它的导数是
x
a
d
xftdtfxaxb
dx
定积分换元公式：,ab，
b
a
fxdxfttdt
。
22
00
sincosfxdxfxdx
00
sinsin
2
xfxdxfxdx
定积分的分步积分：
bb
b
a
aa
udvuvvdu
2
0
1331
,
2422
sin
1342
,
253
n
n
nn
n
nn
Ixdx
nn
n
nn
为正偶数
为大于1的奇数
弧长计算公式：①21b
a
sydx
;
②
t
xt
yt
，
22sttdt
;
③
cos
sin
xr
yr
，
22srrd
。
向量代数
-7-
定比分点公式：121212,,
111
xxyyzz
xyz
。
数量积：
cosabab，
xxyyzz
abababab。
222222
cosxxyyzz
xyzxyz
ababab
ab
ab
aaabbb
。
向量积：xyz
xyz
ijk
abaaa
bbb
。
平面
➢平面的一般方程：
0AxByCzD（向量,,nABC为平面法向量）。
➢平面点法式方程：
000
0AxxByyCzz。
➢平面的截距式方程：
1
xyz
abc
（,,abc为平面在三个坐标轴上的截距）。
➢两个平面的夹角：两个平面方程为：
1
平面：
111
0AxByCzD，
2
平面：
222
0AxByCzD，则两平面的夹角
的余弦为：
121212
222222
111222
cos
AABBCC
ABBABB
。
➢两平面平行的条件：1111
2222
ABCD
ABCD
。
➢两平面垂直的条件：
121212
0AABBCC。
➢点到平面的距离：平面：0AxByCzD，平面外一点：
111
,,Mxyz，则点M到平
面的距离：111
222
AxByCzD
d
ABC
。
空间直线
➢两个平面的交线：111
222
0
0
AxByCzD
AxByCzD
。
-8-
➢点向式方程：直线上的一点
0000
,,Mxyz，直线的一个向量,,Smnp，则直线方程
为：000
xxyyzz
mnp
，参数方程为：
0
0
0
xxmt
yynt
zzpt
➢两直线的夹角：010101
1
111
:
xxyyzz
L
mnp
，020202
2
222
:
xxyyzz
L
mnp
，则两直线的夹角
余弦为：121212
222222
111222
cos
mmnnpp
mnpmnp
。
两直线平行：111
222
mnp
mnp
，
两直线垂直：
121212
0mmnnpp，
➢两直线共面（平行或相交）：
两直线：
010101
1
111
020202
2
222
:
:
xxyyzz
L
mnp
xxyyzz
L
mnp
，共面的条件：212121
111
222
0
xxyyzz
mnp
mnp
。
➢直线与平面的夹角
平面：:0AxByCzD，直线：000:
xxyyzz
L
mnp
①若直线与平面相交，夹角：
222222
sin
AmBnCp
ABCmnp
；
②若直线与平面平行：0AmBnCp；
③若直线与平面垂直：ABC
mnp
。
多元函数微积分
1.方向导数：
sin
fff
cos
lxy
（
为
x
轴到方向
l
的转角）
2.梯度：
,,
fff
gradfxyzijk
xyz
-9-
3.二元函数的极值：,zfxy，00
,0
x
fxy，
00
,0
y
fxy。令
00
,
xx
fxyA，
00
,
xy
fxyB，
00
,
yy
fxyC。①当20ACB时具有极值，且当0A时具有极大值，当
0A具有极小值；②当20ACB时没有极值；③当20ACB时可能有极值，也可能没
有极值，还需令作讨论。
3.二重积分的计算
22
11
,,,bxdy
axcy
D
fxyddxfxydydyfxydx
,cos,sin
DD
fxydfrrrdrd
2
1
2
1
cos,sincos,sin
cos,sin
D
frrrdrdfrrrdrd
dfrrrdr
4.曲面的面积计算：
2
2
221,,1
xy
DD
zz
Afxyfxyddxdy
xy
平面薄片的重心：
,,
,
,,
DD
DD
xxydyxyd
MM
xy
MM
xydxyd
平面薄片的转动惯量：
22,,,
xy
DD
IyxydIxxyd
5.三重积分的计算：
22
11
,
,
,,,,byxzxy
ayxzxy
D
fxyzdvdxdyfxyzdz
曲线积分和曲面积分
1.对弧长的曲线积分：
xt
t
yt
22,,
L
fxydsfttttdt
-10-
222,,,,fxyzdsfttttttdt
2.对坐标的曲线积分：,xtyt
22,,,,
L
PxydxQxydyPtttQtttdt
3.对曲面的积分：
22,,,,,1,,
xy
xy
D
fxyzdSfxyzxyzxyzxydxdy
4.对坐标的曲面积分：
无穷级数
➢收敛级数的基本性质：
1.如果级数
1
n
n
u
收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数
1
n
n
ku
也收敛，且
其和为ks。
2.如果级数s、
1
n
n
v
分别收敛于和s、，则级数
1
nn
n
uv
也收敛，且其和为s。
3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。
4.如果级数
1
n
n
u
收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数
1122
111
k
nnnnn
uuuuuu
仍收敛，且其和不变。
5.（级数收敛的必要条件）如果级数
1
n
n
u
收敛，则它的一般项趋于零，即lim0
n
n
u
。
-11-
➢常数项级数的审敛法：
定理1.正项级数
1
n
n
u
收敛的充分必要条件是：它的部分和数列n
s有界。
定理2（比较审敛法）.设
1
n
n
u
和
1
n
n
v
都是正项级数，且1,2,
nn
uvn。若级数
1
n
n
v
收
敛，则级数
1
n
n
u
收敛；反之，若级数
1
n
n
u
发散，则级数
1
n
n
v
发散。
推论1.设
1
n
n
u
和
1
n
n
v
都是正项级数，如果级数
1
n
n
v
收敛，且存在自然数N，使当nN
时有0
nn
ukvk成立，则级数
1
n
n
u
收敛；如果级数
1
n
n
u
发散，且当nN时有
0
nn
ukvk成立，则级数
1
n
n
v
发散。
推论2.设
1
n
n
u
为正项级数，如果有1p，使1
1,2,
n
p
un
n
，则级数
1
n
n
u
收敛；如果
1
1,2,
n
un
n
，则级数
1
n
n
u
发散。
定理3（比较审敛法的极限形式）.设
1
n
n
u
和
1
n
n
v
都是正项级数，如果
lim0n
n
n
u
ll
v
，则级数
1
n
n
u
和级数
1
n
n
v
同时收敛或同时发散。
定理4（比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert）判别法）.若正项级数
1
n
n
u
的后项于前项
之比值的极限等于：1limn
n
n
u
u
，则当1时级数收敛；1（或1limn
n
n
u
u
）时级数
发散；1时级数可能收敛也可能发散。
-12-
定理5（根值审敛法，柯西判别法）.设
1
n
n
u
为正项级数，如果它的一般项
n
u的n次根的
极限等于：limn
n
n
u
，则当1时级数收敛；1（或limn
n
n
u
）时级数发散；
1时级数可能收敛也可能发散。
定理6（莱布尼茨定理）.如果交错级数1
1
1n
n
n
u
满足条件：（1）
1
1,2,3
nn
uun
，（2）lim0
n
n
u
，则级数收敛，且其和
1
su，其余项
n
r的绝对值
1nn
ru
。
定理7.如果级数
1
n
n
u
绝对收敛，则级数
1
n
n
u
必定收敛。
➢幂级数
定理1（阿贝尔（Abel）定理）.如果级数
1
n
n
ax
当00
0xxx时收敛，则适合不等式
0
xx的一切x使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数
1
n
n
ax
当
0
xx时发散，则适合不等
式
0
xx的一切x使这幂级数发散。
推论：如果幂级数
1
n
n
ax
不是仅在0x一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有
一个完全确定的正数R存在，使得：当xR时，幂级数绝对收敛；当xR时，幂级数
发散；当xR与xR时，幂级数可能收敛也可能发散。
定理2.如果1limn
n
n
a
a
，其中
1n
a
、
n
a是幂级数
1
n
n
ax
的相邻两项的系数，则这幂级数的
收敛半径
1
0
0
0
R
性质1.设幂级数
1
n
n
ax
的收敛半径0RR，则其和函数sx在区间,RR内连续。如果
幂级数在xR（或xR）也收敛，则和函数sx在,RR（或,RR）连续。
-13-
性质2.设幂级数
1
n
n
ax
的收敛半径0RR，则其和函数sx在区间,RR内是可导的，
且有逐项求导公式1
111
nnn
nnn
nnn
sxaxaxnax
，其中xR，逐项求导后得到的
幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质3.设幂级数
1
n
n
ax
的收敛半径0RR，则其和函数sx在区间,RR内是可积的，
且有逐项积分公式1
000
111
1
xxx
nnn
n
nn
nnn
a
sxdxaxdxaxdxx
n
,其中xR，逐项积分后
得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
欧拉公式：
cossinixexix
傅立叶级数
cos0n=1,2,3,nxdx
sin0n=1,2,3,nxdx
sincos0n=1,2,3,kxnxdx
sinsin0n=1,2,3,,kxnxdxkn
coscos0n=1,2,3,,kxnxdxkn
➢函数展开成傅里叶级数（fx
是周期为2的周期函数）
0
1
cossin
2kk
k
a
fxakxbkx
-14-
其中：
0
1
1
cosn=0,1,2,
1
sinn=1,2,3,
n
n
afxdx
afxnxdx
bfxnxdx
定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设fx
是周期为2的周期函数，
如果它满足：
（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，
则fx
的傅里叶级数收敛，并且：
当
x
是fx
的连续点时，级数收敛于fx
；
当
x
是fx
的间断点时，级数收敛于
1
00
2
fxfx
。
定理.设fx
是周期为2的函数，在一个周期上可积，则
（1）当fx为奇函数时，它的傅里叶系数为：
0
0n=0,1,2,3,
2
sinn=1,2,3,
n
n
a
bfxnxdx
（2）当fx为偶函数时，它的傅里叶系数为：
0
2
cosn=0,1,2,3,
0n=1,2,3,
n
n
afxnxdx
b
➢周期为
2l
的周期函数的傅里叶级数
定理：设周期为
2l
的周期函数fx
满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式
为：
0
1
cossin
2kk
k
a
fxakxbkx
-15-
其中系数
,
nn
ab
为：
1
cosn=0,1,2,
1
sinn=1,2,3,
l
n
l
l
n
l
nx
afxdx
ll
nx
bfxdx
ll
当fx
为奇函数时，
1
sin
n
n
nx
fxb
l
其中系数
n
b
为：
0
2
sinn=1,2,3,l
n
nx
bfxdx
ll
当fx
为偶函数时，
0
1
cos
2n
n
a
nx
fxa
l
其中系数
n
a
为：
0
2
cosn=0,1,2,l
n
nx
afxdx
ll
微分方程：
➢齐次方程：
dyy
dxx
ydydu
uyuxux
xdxdx
dydudx
u
ydu
uuxu
dxxduxx
➢