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同角的补角相等
-南口镇
2023年2月15日发(作者：lzw压缩)可编辑
精品
1、基本事实：经过两点有且只有一条直线。（两点确定一条直线）
2、基本事实：两点之间线段最短。
3、补角性质：同角或等角的补角相等。
几何语言：∵∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°
∴∠B=∠C（同角的补角相等）
∵∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C
∴∠B=∠D（等角的补角相等）
4、余角性质：同角或等角的余角相等。
几何语言：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°
∴∠B=∠C（同角的余角相等）
∵∠A+∠B=90°，∠C+∠D=90°，∠A=∠C
∴∠B=∠D（等角的余角相等）
5、对顶角性质：对顶角相等。
∠1=∠2
6、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短）
8、（基本事实）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
9、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
几何语言：∵a∥b，a∥c∴b∥c
10、两条直线平行的判定方法：
几何语言：如图所示
（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。
∵∠1=∠2∴a∥b∵∠3=∠4∴a∥b
（3）同旁内角互补，两直线平行。
∵∠5+∠6=180°
∴a∥b
11、平行线性质：
几何语言：如图所示
（1）两直线平行，同位角相等。
∵a∥b∴∠1=∠2
（2）两直线平行，内错角相等。
∵a∥b∴∠3=∠4
（3）两直线平行，同旁内角互补。
可编辑
精品
∵a∥b∴∠5+∠6=180°
12、平移：
（1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图
形的形状和大小完全相同。
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对
应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
13、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边。
a+b>c
a+c>b
b+c>a
14、三角形三边关系推论：三角形中任意两边之差小于第三边。
a-b a-c b-c 15、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 几何语言： 在三角形ABC中， ∠A+∠B+∠C=180° 16、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 几何语言： 在三角形ABC中， ∠1=∠A+∠C 17、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 几何语言： 在三角形ABC中， ∠1>∠A,∠1>∠C 18、多边形内角和：n边形的内角的和等于（n-2）×180°。 19、多边形的外角和等于360°。 20、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。 F E D A B C 21、全等三角形的判定方法： （1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 几何语言：如图所示 B 几何语言：如图所示 ∵△ABC≌△DEF ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， AB=DE，BC=EF，AC=DF B A C A C 可编辑 精品 几何语言：如图所示 ∵AB=DE，BC=EF（AB=DE，AC=DF） ∴△ABC≌△DEF ∵AB=DE，BC=EF，AC=DF∴△ABC≌△DEF （2）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） E F D A BC 几何语言：如图所示 ∵AB=DE，∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≌△DEF （3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA） 几何语言：如图所示 ∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E∴△ABC≌△DEF （4）角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 几何语言：如图所示 ∵∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF ∴△ABC≌△DEF （4）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL） 22、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 23、推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 24、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对 应点连线的垂直平分线。 E F P A B C D （性质）几何语言： 如图所示 ∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF）， EC⊥PA于C，ED⊥PB于D ∴EC=ED （推论）几何语言：如图所示 ∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED ∴点E在∠APB的平分线上 可编辑 精品 25、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距 离相等。 26、推论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 27、轴对称： （1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图 形的形状、大小完全相同； （2）新图形式的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点； （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 28、用坐标表示轴对称： 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)。 29、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 几何语言： 如图所示，在△ABC中 ∵AB＝AC ∴∠B＝∠C（等边对等角） （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 30、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等 N M A B C D （性质）几何语言： 如图所示 ∵MN是线段AB的垂直平 分线（或MN⊥AB于D，AD ＝BD） ∴CA=CB （推论）几何语言： 如图所示 ∵CA=CB ∴点C在线段AB的垂直 平分线MN上 C B A 2 1 D C B A几何语言： 如图所示，在△ABC中 ①∵AB＝AC，BD＝DC∴∠1＝∠2，AD⊥BC ②∵AB＝AC，∠1＝∠2∴AD⊥BC，BD＝DC ③∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠1＝∠2，BD＝DC 可编辑 精品 C B A 。（等角对等边） 几何语言： 如图所示，在△ABC中 ∵∠B＝∠C ∴AB＝AC（等角对等边） 31、等边三角形的性质定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 32、等边三角形的判定定理： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 33、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半。 几何语言：如图所示 ∵∠C＝90°，∠B＝30° ∴AC＝ 2 1 AB（或者AB＝2AC） 34、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。 35、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形。 C B A （性质定理）几何语言： 如图所示， ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC， ∠A=∠B=∠C=60° （判定定理）几何语言： 如图所示，在△ABC中 （1）∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 （2）∵∠A=∠B，∠A=60° ∴△ABC是等边三角形 B A C B A C （定理）几何语言： 如图所示， 在Rt△ABC中， AC2+BC2=AB2 （逆定理）几何语言： 如图所示，在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2 ∴△ABC是直角三角形 可编辑 精品 E A BC D 36、平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行。 （2）平行四边形的对边相等。 （3）平行四边形的对角相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 37、平行四边形的判定方法： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义） （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 38、三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：如图所示，在△ABC中 ∵D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE= 2 1 BC 39、两条平行线间的任何一组平行线段相等。 40、矩形的性质：（平行四边形具有的性质都具有） （1）矩形的四个角都是直角。 （2）矩形的对角线相等。 （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BC （2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC （3）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD （4）∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD O D C B A O D C B A （判定）几何语言：如图所示， （1）∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 （2）∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 （3）∵OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵ABCD（或ADBC）∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD∴四边形ABCD是平行四边形 A B C D （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠BCD＝∠CDA=∠DAB＝90° （2）∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD 可编辑 精品 41、直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 42、矩形的判定方法： （1）有一个是直角的平行四边形是矩形。（定义） （2）有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 43、菱形的性质：（平行四边形具有的性质都具有） （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 44、菱形的判定方法： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义） （2）四边相等的四边形是菱形。 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 D A C B （性质）几何语言：如图所示， （1）∵△ABC是直角三角形，D是AB的中点 ∴CD= 2 1 AB（或AB=2CD） （2）∵△ABC是直角三角形∴∠A+∠B=90° A B C D （判定）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形 （2）∵∠ABC=∠BCD＝∠CDA＝90°∴四边形ABCD是矩形 （3）∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴四边形ABCD是矩形 A B C D （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC＝CD=DA （2）∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB A B C D （判定）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 （2）∵AB=BC＝CD=DA∴四边形ABCD是菱形 （3）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 可编辑 精品 45、菱形的面积=对角线（AC、BD）乘积的一半，即S= 2 1 （AC×BD）。 46、正方形的性质：（矩形、菱形具有的性质都具有） （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 （2）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角。 47、正方形的判定：（方法很多，只举三例） （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个内角是直角的菱形是正方形。 （3）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 48、等腰梯形的性质： （1）等腰梯形在同一底上的两个角相等。 （2）等腰梯形的两条对角线相等。 49、等腰梯形的判定方法： （1）两腰相等的梯形是等腰梯形。 （2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（教材中没有） 50、重心： （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC＝CD=DA，∠ABC=∠BCD＝∠CDA＝90° （2）∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ABD=∠CBD＝∠ADB=∠CDB＝ ∠BAC=∠DAC＝∠BCA=∠DCA＝45° A B D C O A B D C O （判定）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是矩形，AB=BC∴四边形ABCD是正方形 （2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°∴四边形ABCD是正方形 （3）∵AC⊥BD，OA=OB=OC=OD∴四边形ABCD是矩形 D C B A （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴∠ABC=∠DCB，∠DAB＝∠ADC （2）∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD D C B A （判定）几何语言：如图所示，在梯形ABCD中， （1）∵AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形 （2）∵∠ABC=∠DCB（或∠DAB＝∠ADC）∴四边形ABCD是等腰梯形 （3）∵AC=BD∴四边形ABCD是等腰梯形 可编辑 精品 线段的重心是它的中点； 三角形的重心是三条中线的交点； 平行四边形的重心是对角线的交点。 .