平面的法向量

平面的法向量

-学茶艺

2023年2月15日发(作者：长相思教案)

快速求平面的法向量

用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量

而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。

结论：向量a＝(x

1

，y

1

，z

1

)，b＝(x

2

，y

2

，z

2

)是平面内的两个不共线向量，则向量

n＝(y

1

z

2

－y

2

z

1

，－(x

1

z

2

－x

2

z

1

)，x

1

y

2

－x

2

y

1

)是平面的一个法向量.

如果用二阶行列式表示，则

n＝(11

22

yz

yz

，－11

22

xz

xz

，11

22

xy

xy

)，这更便

于记忆和计算.

结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处

略去），但你可以验证n一定满足

0

0

ma

mb



•





•







111

222

0

0

xxyyzz

xxyyzz











；

而且∵a、b不共线，∴n一定不是0.

怎样用该结论求平面的法向量呢举例说明.

例、向量a＝(1，2，3)，b＝(4，5，6)是平

面



内的两个不共线向量，求平面



的法向量

解：设平面



的法向量为n＝(x，y，z)，

则

0

0

na

nb



•





•







230

4560

xyz

xyz











令z＝1，得n＝(1，－2，1).

注意：

①一定按上述格式书写，否则易被扣分.

②n的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.

草稿纸上演算过程

求x时，a、b的横坐标就不参与运算，

a＝(1，2，3)，

b＝(4，5，6)

交叉相乘的差就是x＝2×6－5×3=－3.

求y时，a、b的纵坐标就不参与运算，

a＝(1，2，3)，

b＝(4，5，6)

交叉相乘的差的相反数就是

y＝－(1×6－4×3)=6.

求z时，a、b的竖坐标就不参与运算，

a＝(1，2，3)，

b＝(4，5，6)

交叉相乘的差就是z＝1×5－4×2=－3.

∴n＝(－3，6，－3)，化简即得.