如何求基础解系

如何求基础解系

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2023年2月15日发(作者：中国考古通论)

齐次线性方程组的基础解系及其应用

齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有:

（1)齐次线性方程组AX=0一定有解,解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解

不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R（A）〈n；

(2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间,向量

空间的极大线性无关组，叫基础解系;

（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n时,存在基础解

系,并且基础解系中含有n-r（A）个解向量；

（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r（A）〈n，则任意n-r(A)个线性无关的解都是

基础解系。

定理1：设A是nm的矩阵，B是sn的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)

n

分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关.同学们还要掌握本定理的证明方法.

证：设

s

BBBB,,,

21

的列向量为，则),,,(

21s

BBBB，AB=0，即

0),,,(

21



s

BBBA所以sjAB

j

,,2,1,0

所以，

s

BBB,,,

21

都是齐次线性方程组AB=0的解

r(B)=秩)(),,,(

21

ArnBBB

s



所以r(A)+r(B)

n

评论：AB=0,对B依列分块,时处理此类问题的惯用方法.

例1:要使

,

1

1

0

,

2

0

1

21













































都是线性方程组

0AX

的解，只要系数矩阵

A

为

(A)［-211］(B)













110

102

(C）















110

201

(D）

























110

224

110

解:由答案之未知量的个数是3。

,

1

1

0

,

2

0

1

21













































都是线性方程组

0AX

的解，并且

21

,线性无关，

所以1)(2)(3ArAr，从而，。只有（A）是正确的。

例2：设n阶方阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n—1，则线性方程组AX=0的通解

为。

解:记































1

1

1



，由于n阶方阵A的各行元素之和均为零，所以0A,0

且A的秩为n-1，所以就是七次线性方程组AX=0的基础解系，

所以，线性方程组AX=0的通解为





























1

1

1



k

例3:已知Q=





















963

42

321

t,P为3阶非零方阵,且满足PQ=0,则

（A)t=6时P的秩必为1（B)t=6时P的秩必为2

(C）t6时P的秩必为1(D）t6时P的秩必为2

解:记























963

42

321

),,(

321

tQQQQ,因为所以,0PQ

321

,,QQQ都是齐次线性方程组，

0PX

的解，当

6t

时，

31

,QQ线性无关，所以1)(,2)(3PrPr即

P为非零方阵，所以1)(Pr

因而:t6时P的秩必为1，选(C）

另解:因为所以,0PQ3)()(QrPr，当

6t

时，1)(,2)(PrQr

P为非零方阵，所以1)(Pr

因而：t6时P的秩必为1，选(C）

例4：设A是n（

2

）阶方阵，*A是的伴随矩阵，那么：



















nArn

nAr

nAr

Ar

)(

1)(1

1)(0

)(*

当

当

当

证明：1)(nAr当时，由伴随矩阵的定义知，伴随矩阵是零矩阵,0)(*Ar；

nAr)(当时，A时可逆矩阵，0A,而EAAA*，

0*,*AAAAn

nAr)(*

1)(nAr当时，A存在不为0的n-1阶子式，所以1)(*Ar

此时，0A,

0*AA

，所以,)()(*nArAr1)(*Ar

从而1)(*Ar