梯形定义
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1
中考数学专题复习第二十二讲梯形
【基础知识回顾】
一、梯形的定义、分类、和面积：
1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯
形。其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的
2、分类：梯形
3、梯形的面积：梯形=（上底+下底）X高
【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有
一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相
等】
二、等腰梯形的性质和判定：
1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等
⑵等腰梯形的对角线
⑶等腰梯形是对称图形
一般梯形
特殊梯形
等腰梯形：两腰的梯形叫做等腰梯形
直角梯形：一腰与底的梯形叫做直角梯形
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2
2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰
相等
⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形
⑶对角线的梯形是等腰梯形
【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角
相等“不被成”两底角相等
2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯
形
3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将
梯形转化为形式常见的辅助线作法有
要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】
【重点考点例析】
考点一：梯形的基本概念和性质
例1（2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且
BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD=9．
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3
思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B
作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，
继而利用梯形的面积公式即可求解．
解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B
作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC
且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可
得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．
点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到
的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟
练等腰直角三角形的性质，难度一般．
对应训练
1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，
BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED
的周长等于（）
A．17B．18C．19D．20
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4
1．考点：；．
分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线
的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为
AB+BC+AD，继而求得答案．
解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，
AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：
AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，
注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．
考点二：等腰梯形的性质
例2（2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）
A．25B．50C．25D．
思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC
于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根
据等腰三角形性质推出BF=DF=EF=BE，求出DF，根据梯形
的面积公式求出即可．
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解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC
（已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE
（等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等
腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=
（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．
点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质
和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解
和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．
对应训练
2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对
角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC=3．
2．3
考点：．
分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，
再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角
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形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可
得出OB=OC=3．
解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，
在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，
∴OB=OC=3．故答案为：3．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与
性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．
考点三：等腰梯形的判定
例3（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为
BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求
证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置
关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱
形AECD的面积．
考点：；；．
分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，
∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得
∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，
即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，
可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由
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AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE
于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，
继而求得菱形AECD的面积．
解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）
当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，
BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边
形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱
形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边
三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
点评：此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性
质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性
较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
对应训练
4．（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N
分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件
①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任
选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），
使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是①DM=CN．（2）
添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．
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考点：；；；．
分析：（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为
①．（2）先根据SAS证明△AMD≌△BCN，所以可得AM=BN，
有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，
根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD∥AB，且MN≠AB，
即四边形ABNM是等腰梯形．
解答：解：（1）可以选择①DM=CN；（2）证明：∵AD=BC，
∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AMD≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC
知OM=ON，∴，∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是
等腰梯形．
点评：本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵
活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线
段成比例的关系．
考点四：梯形的综合应用
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例4（2012•黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，
连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE
交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE
是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM=S梯形ABCD，正
确的个数有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
考点：；；；；．
专题：．
分析：连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC
的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利
用SAS可得出△ABF与△CBE全等，由确定三角形的对应角
相等得到一对角相等，再由AE=FC，对顶角相等，利用AAS
可得出△AME与△CMF全等，由全等三角形的对应边相等可
得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM与△BFM
全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN，
选项①正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直
角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，
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由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根
据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；由
AD=AE=AB=BC，且CF=BC，得到AD=FC，又AD与FC平行，根
据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADCF为
平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，
即△DCE为等腰三角形，选项③正确；由EF为△ABC的中位
线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平
行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相
似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：
MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，
根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股
定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE
的比值，即可判断选项④正确与否；由E为AB的中点，利
用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME
与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相
等都为△ABF面积的，由E为AB的中点，且EP平行于BM，
得到P为AM的中点，可得出△AEP的面积等于△PEM的面积，
得到△PEM的面积为△ABF面积的，由ABFD为矩形得到△ABF
与△ADF全等，面积相等，由△ADF与△CFD全等得到面积相
等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的，综上得到
△PEM的面积为梯形面积的，可得出选项⑤错误，综上，得
到正确的个数．
解答：解：连接DF，AC，EF，如图所示：∵E、F分别为AB、
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BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC，在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，在△AME
和△CMF中，，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM=FM，在△BEM
和△BFM中，，∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；∵AE=AD，
∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，
∴ED∥BN，选项②正确；∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，
又AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF=DC，又AF=CE，
∴DC=EC，则△CED为等腰三角形，选项③正确；∵EF为△ABC
的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC，∴∠MEF=∠MCA，
∠EFM=∠MAC，∴△EFM∽△CAM，∴EM：MC=EF：AC=1：2，
设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC==y，∴3x=y，即x：y=：
3，∴EM：BE=：3，选项④正确；∵E为AB的中点，EP∥BM，
∴P为AM的中点，∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，又
S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，
∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，∵四边形ABFD为矩形，
∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，
∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，∴S△EPM=S梯形
ABCD，选项⑤错误．则正确的个数有4个．故选B
点评：此题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性
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质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定
与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定
理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
对应训练
4．（2012•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上
取点F，使得∠DEF=120°．（1）当点E是AB的中点时，线
段DF的长度是6；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是2
或5．
4．考点：；；．
专题：．
分析：（1）过E点作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG=3，
再根据∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由tan60°=即可求出
GF的长，进而得出结论；（2）过点B作BH⊥DC，延长AB至
点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=，再由锐角三角函数
的定义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6-x，利用勾股
定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由
相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x
的值即可．
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解答：解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，∵E是AB的中点，
∴DG=3，∴EG=AD=，∴∠DEG=60°，∵∠DEF=120°，
∴tan60°=，解得GF=3，∴DF=6；（2）如图2所示：过点B
作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，∴∠BCH=60°，∴CH===1，BC===2，
设AE=x，则BE=6-x，在Rt△ADE中，DE==，在Rt△EFM中，
EF==，∵AB∥CD，∴∠EFD=∠BEC，∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，∴，即，解得x=2或5．故答案为：2或5．
点评：本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，
勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意
画出图形，利用数形结合求解．
【聚焦山东中考】
1．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD
的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），
则AC长为（）
A．4B．5C．6D．不能确定
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考点：；；．
专题：．
分析：根据题意可得OB=4，OD=3，从而利用勾股定理可求出
BD，再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值．
解答：解：如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，故可得
BD=5，又ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5．故选B．
点评：此题考查了等腰梯形的性质及勾股定理，解答本题的
关键是熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质，难度一般．
2．（2012•临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对
角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）
A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD
考点：．
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分析：由四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的两条对
角线相等，即可得AC=BD；易证得△ABC≌△DCB，即可得
OB=OC；由∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，即可得
∠ABD=∠ACD．注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：A、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本
选项正确；B、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，
∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，∵，∴△ABC≌△DCB
（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，故本选项正确；C、∵
无法判定BC=BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错
误；D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．故
本选项正确．故选C．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性
质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形
结合思想的应用．
【备考真题过关】
一、选择题
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1．（2012•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD
的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的
周长为（）
A．22B．24C．26D．28
1．
考点：；．
专题：．
分析：先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB=DC，然后代入数
据即可求出梯形ABCD的周长．
解答：解：∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又
∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB，∴∠AMB=∠DMC，在△AMB和△DMC
中，∵，∴可得△AMB≌△DMC，∴AB=DC，四边形ABCD的周
长=AB+BC+CD+AD=24．故选B．
点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定与性质，属于基
础题，解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC，得出AB=DC，
难度一般．
2．（2012•漳州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∠B=80°，则∠D的度数是（）
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A．120°B．110°C．100°D．80°
2．考点：．
专题：．
分析：先根据AB∥CD求出∠A的度数，再由等腰梯形的性质
求出∠D的度数即可．
解答：解：∵AD∥BC，
∠B=80°∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°，∵四边形
ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°．故选C．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质，即等腰梯形同一底上
的两个角相等．
3.（2012•乐山）下列命题是假命题的是（）
A．平行四边形的对边相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的两条对角线互相垂直
D．等腰梯形的两条对角线相等
考点：；；；；．
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分析：根据等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性
质、矩形的性质及菱形的判定方法做出判断即可．
解答：解：A、平行四边形的两组对边平行，正确，是真命
题；B、四条边都相等的四边形是菱形，正确，是真命题；C、
矩形的对角线相等但不一定垂直，错误，是假命题；D、等
腰梯形的两条对角线相等，正确，是真命题；故选C．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱
形的性质、矩形的性质及菱形的判定方法，属于基本定义，
必须掌握．
4．（2012•广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，
DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是
（）
A．26B．25C．21D．20
考点：；．
分析：由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边
形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而
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19
求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得
梯形ABCD的周长．
解答：解：∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边
形，∴BE=AD=5，∵EC=3，∴BC=BE+EC=8，∵四边形ABCD是
等腰梯形，∴AB=DC=4，∴梯形ABCD的周长为：
AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．故选C．
点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性
质．此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形
是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．
二、填空题
5．（2012•南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，
AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=2cm．
5．2
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20
考点：；．
分析：作DE∥BC于E点，得到四边形CDEB是平行四边形，
根据∠A+∠B=90°，得到三角形ADE是直角三角形，利用勾
股定理求得AE的长后即可求得线段CD的长．
解答：解：作DE∥BC于E点，则
∠DEA=∠B∵∠A+∠B=90°∴∠A+∠DEA=90°∴ED⊥AD∵BC
=3cm，AD=4cm，∴EA=5∴CD=BE=AB-AE=7-5=2cm，故答案为2．
点评：本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识，解题的关
键是正确的作出辅助线．
6．（2012•丹东）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD
的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若
AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为13．
6．13
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21
考点：；；．
分析：由在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，易证得
△ADE≌△FCE，即可得EF=AE=6，CF=AD，又由AB⊥AE，AB=5，
AE=6，由勾股定理即可求得BF的长，继而可求得梯形上下
底之和．
解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠F=∠DAE，
∠ECF=∠D，∵E是CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE
中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF=AD，EF=AE=6，
∴AF=AE+EF=12，∵AB⊥AE，∴∠BAF=90°，∵AB=5，
∴BF==13，∴AD+BC=BC+CF=BF=13．故答案为：13．
点评：此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以
及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化
思想的应用．
7．（2012•钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，
∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为40．
7．40
考点：．
专题：．
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22
分析：根据等腰梯形的性质判断出AD=DC，在RT△ABC中解
出AB，继而可求出等腰梯形ABCD的周长．
解答：解：∵∠B=60°，DC∥AB，AC⊥BC，
∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°，∴AD=DC=BC=8，在
RT△ABC中，AB==16，故可得等腰梯形ABCD的周长
=AD+DC+BC+AB=40．故答案为：40．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，属于基础题，解答本题
的关键在于判断出AD=DC，难度一般．
8．（2012•长沙）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，
∠B=60°，则BC的长为4．
8．4
考点：．
分析：首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E，根据
等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形，根据平
行四边形的对边相等，即可得AE=CD=2，AD=EC=2，易得△ABE
是等边三角形，即可求得BC的长．
解答：解：过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四
边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=2，AD=EC=2，∵∠B=60°，
∴BE=AB=AE=2，∴BC=BE+CE=2+2=4．
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23
点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性
质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一
腰是梯形题目中常见的辅助线．
9．（2012•巴中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，
点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是60°．
9．60°
考点：；；；．
分析：首先根据BD⊥AC，点E是BC的中点可知DE=BE=EC=BC，
又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得
到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进
而得到DC=BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出
∠BCD=60°．
解答：解：∵BD⊥AC，点E是BC的中点，∴DE是直角三角
形BDC的中线，∴DE=BE=EC=∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形
ABED是菱形，∴AB=DE，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，
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∴DC=BC，又∵三角形BDC是直角三角形，∴∠DBC=30°，
∴∠BCD=60°．故答案为60．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定与性质．解
此题的关键是熟练掌握直角三角形中，30°的角对应的直角
边等于斜边的一半，此题难度一般．
10．（2012•黄冈）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，
AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为9．
10．9
考点：．
专题：．
分析：分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点
F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可
得出答案．
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解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点
F，∵AB=5，∠B=60°，∴BE=；同理可得CF=，故BC的长
=BE+EF+FC=5+AD=9．故答案为：9．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是求出
BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．
三、解答题
11．（2012•盐城）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC；
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（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
11．考点：；；．
分析：（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角
相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；
（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四
边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．
解答：（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，
∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，
∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱
形．证明：∵∠BDE=∠DBC．∴BE=DE，∵DE=EC，∴BE=EC=BC，
∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴▱ABED
是菱形．
点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以
及菱形的判定．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合
思想的应用．
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12．（2012•苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，
延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．（1）求证：
△ABE≌△CDA；（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．
考点：；．
专题：．
分析：（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条
件利用SAS可判断三角形的全等；（2）根据题意可分别求出
∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理
即可得出答案．
解答：（1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA在△ABE和
△CDA中，
，∴△ABE≌△CDA．（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，
∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，
∴∠EAC=180°-40°-40°=100°．
点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本
题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系，
注意所学知识的融会贯通．
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13．（2012•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点
E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四
边形AEFG为平行四边形．
考点：；．
专题：．
分析：由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等
角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，
再由AE=GF即可得出结论．
解答：证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C，
∵GF=GC，∴∠GFC=∠C，∴∠GFC=∠B，∴AB∥GF，又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定
理，根据题意得出AB∥GF是解答此题的关键．
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14．（2012•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）
若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．
考点：；；；；．
专题：．
分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由
AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形
的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=，
也即得出了正方形EHGF的面积．
解答：证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，在梯形ABCD
中，AB=DC，故AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱
形．设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD
的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°，
∴∠EHG=∠EMC=90°，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接
EG．在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，∴EG=
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（AD+BC）=3．在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，∴EH2=，
即四边形EFGH的面积为．
点评：此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线
定理，解答本题的关键是根据三角形的内角和定理得出
EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．
15．（2012•怀化）如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的
中点，连接AE，DE．求证：AE=DE．
考点：；．
专题：．
分析：利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等
三角形的性质即可证得两对应线段相等．
解答：证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，
∠B=∠C．∵E是BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴AE=DE．
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点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用，解题的关键是
根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．
16．（2012•河北）如图，某市A，B两地之间有两条公路，
一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD-DC-CB，这两条
公路围城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：
2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾
车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返
回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用
了h，求市区公路的长．
考点：；．
分析：（1）首先根据AB：AD：CD=10：5：2设AB=10xkm，则
AD=5xkm，CD=2xkm，再根据等腰梯形的腰相等可得
BC=AD=5xkm，再表示出外环的总长，然后求比值即可；（2）
根据题意可得等量关系：在外环公路上行驶所用时间+h=在
市区公路上行驶所用时间，根据等量关系列出方程，解方程
即可．
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解答：解：（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，∵四
边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm，∴AD+CD+CB=12xkm，
∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；（2）
由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为
12xkm，由题意得：=+．解这个方程得x=1．∴10x=10，答：
市区公路的长为10km．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及一元一次方程
的应用，关键是理解题意，表示出外环公路与市区公路的长，
此题用到的公式是：时间=路程÷速度．
17．（2012•杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形
DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，
AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求
BC的长．
考点：；；．
专题：．
分析：（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全
等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可；（2）如图作
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BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求
出BC的长．
解答：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，
AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，
AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE；（2）解：如图作
BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，∵∠BAD=45°，
∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=BH=AH，同理：CD=CK=KD，∵S
梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD=，而S△ABE=S△DCF=，
∴=2×，∴BC=．
点评：本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的
性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角
三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目．
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亲爱的朋友：
人生当自勉，学习需坚持。从这一刻开始，我依旧是我，
只是心境再不同。不论今后的路如何，我都会在心底默默鼓
励自己，坚持不懈，等待那一场破茧的美丽。祝你成功!加
油！
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