向量积的几何意义
-铁板神算
2023年2月15日发(作者：写信格式模板)2.2.3向量数乘运算及其几何意义
整体设计
教学分析
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运
算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的
乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共
线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理
的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性
质,且与后续的知识有着紧密的联系.
三维目标
1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向
量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.
2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极
进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
重点难点
教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及
其运用.
教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础
上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同
实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.
思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟
的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).
②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?
③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平
行？与两直线平行有什么异同？
活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.
通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特
别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存
在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数
与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运
算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形
式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向
相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其
中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共
线和两直线平行等问题的有效手段.
对问题①,学生通过作图1可发现,
OC
=
OA
+AB+
BC
=a+a+a.类似数的乘法,可把
a+a+a记作3a,即
OC
=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即
|3a|=3|a|.同样,由图1可知,
图1
PN=MNQMPQ=(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度
的3倍,这样,3(-a)=-3a.
对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长
度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1)可知,λ=0时,λa=0.
根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λ
μ)a;
(2)(λ+μ)a=λ
a+μa;
(3)λ(a+b)=λa
+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,
使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一
个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共
线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有
b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.
关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这
一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件
的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与
这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)
有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相
等;(6)反向且模不等.
讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大
小由|λ|·|a|确定.
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.
③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;
而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.
应用示例
思路1
例1计算:
(1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a;
(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算
的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时
说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运
算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有
λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
解:(1)原式=(-3×4)a=-12a;
(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;
(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.
点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并
同类项”.
变式训练
若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
解:因3m+2n=a,①
m-3n=b.②
3×②得3m-9n=3b.③
①-③得11n=a-3b.
∴n=
11
1
a-
11
3
b.④
将④代入②,有m=b+3n=
11
3
a+
11
2
b.
点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求
解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方
程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
图2
例2如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作
OA
=a+b,
OB
=a+2b,
OC
=a+3b.你能判断A、
B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教
学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断
三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可
由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作
图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
图3
解:如图3分别作向量
OA
、
OC、OB
过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变
化,点B始终在直线
AC
上,猜想A、B、C三点共线.
事实上,因为AB=
OB
-
OA
=a+2b-(a+b)=b,
而
AC
=
OC
-
OA
=a+3b-(a+b)=2b,
于是
AC
=2AB.
所以A、B、C三点共线.
点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证
明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.
例3如图4,ABCD的两条对角线相交于点M,且AB=a,AD=b,你能用a、b表示
MC、、MB、MA和MD吗?
图4
活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是
用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.
解:在ABCD中,
∵
AC
=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴MA=
2
1
AC=
2
1
(a+b)=
2
1
a-
2
1
b,
MB=
2
1
DB=
2
1
(a-b)=
2
1
a-
2
1
b,
MC=
2
1
AC=
2
1
a+
2
1
b,
MD=MB=-
2
1
DB=-
2
1
a+
2
1
b.
点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示
出来,这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:EF=
2
1
(AB+
DC
).
活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位
线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.
图5
解:方法一:过点C在平面内作
CG
=AB,
则四边形ABGC是平行四边形,
故F为AG中点.(如图5)
∴EF是△ADG的中位线.
∴EF
2
1
DG.
∴EF=
2
1
DG.
而
DG
=
DC
+
CG
=
DC
+AB,
∴EF=
2
1
(AB+
DC
).
方法二:如图6,连接EB、EC,则有EB=EA+AB,
EC
=ED+
DC
,
图6
又∵E是AD之中点,
∴有EA+ED=0,
即有EB+
EC
=AB+
DC
.
以EB与
EC
为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点.
∴EF=
2
1
EG=
2
1
(EB+
EC
)=
2
1
(AB+
DC
).
点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草
图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.
例2已知
OA
和
OB
是不共线向量AP=tAB(t∈R),试用
OA
、
OB
表示
OP
.
活动:教师引导学生思考,由AP=tAB(t∈R)知A、B、P三点共线,而
OP
=
OA
+AP,
然后以AB表示AP,进而建立
OA
,
OB
的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.
解:
OP
=
OA
+AP=
OA
+t·AB=
OA
+t·(
OB
-
OA
)=(1-t)·
OA
+t·
OB
.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则
OP
=m·
OA
+n·
OB
,m+n=1.
变式训练
1.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在
这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使
d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d与c共线.
2.(2007浙江高考),7若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则()
A.|2a|>|2a+b|B.|2a||a+2b|
D.|2b|<|a+2b|
答案:C
3.(2007全国高考),5在△ABC中,已知D是AB边上一点,若
AD=2DB,CD=
3
1
CA+λCB,则λ等于()
A.
3
2
B.
3
1
C.-
3
1
D.-
3
2
答案:A
知能训练
本节练习
解答:
1.图略.
2.
AC
=
7
5
AB,BC=
7
2
AB.
点评:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案.值得注意的是
BC
与AB反向.
3.(1)b=2a;(2)b=
4
7
a;(3)b=-
2
1
a;(4)b=
9
8
a.
4.(1)共线;(2)共线.
5.(1)3a-2a;(2)
12
11
a+
3
1
a;(3)2ya.
6.图略.
课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条
件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的
学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.
作业
课本习题2.2A组题11、12.
设计感想
1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动,
引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别
地0·a=0),它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小,当λ>0时,λa
与a方向相同,当λ<0时,λa与a方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然
后对所探究的结果进行运用拓展.
2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知
识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考
命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.