如何判断两个矩阵相似
-清洁的反义词是什么
2023年2月15日发(作者：铍)二次型及应用
问题1：矩阵的等价、相似、合同辨析
答：（1）两个矩阵等价：
A
和
B
等价，即表示为
AB
；AB和是同型矩阵；满
足，
,PAQBPQ、可逆
，即将
A
通过行初等变化和列初等变换后得到
B
的矩
阵，其中
()()rArB
。
（2）两个矩阵相似：
A
和
B
相似，即表示为；AB和是
n
阶方阵；
满足，1,PAPBP可逆
，即也
AB
，其中，
()()rArB
、AB
（3）两个矩阵合同：
A
和
B
合同，即表示为
AB
；AB和是
n
阶方阵；
满足，,TPAPBP可逆，即也
AB
，其中，
()()rArB
问题2：通过正交变换或可逆变换得到的标准形一样吗？
答：不同点：
i)正交变换得到的实二次型的标准形：对角线元素是实对称阵的特征值；且标准
形在不计特征值顺序时是唯一的。
ii)可逆线性变换得到的实二次型的标准形：对角元素不一定是实对称阵的特征
值，且其形式也不唯一。
相同点：
i)平方项中非零项的个数相同
ii)平方项中正（负）项的个数相同
问题3：判断下面三个矩阵那些相似？哪些合同？
-2101100
12112
3322
ABC
、、
i.
A
是对角阵，
A
是上三角阵，且有3个互异特征值与
A
相同，所以
B
可以相似
对角阵为
A
。即
A
与
B
相似。
ii.因为
A
是对角阵，所以与
A
合同的矩阵必然是对称阵，而
B
不是对称阵，
A
与
B
不合同。
iii.又因为0EC得
123
2,1,3，
C
是又实对称矩阵,所以存在正交
矩阵
Q
，使得1,TQCQQCQA
C
与
A
既相似又合同，在由传递性可知,
C
与
B
也相似。但
C
与
B
不合同，
因为
C
是对称阵，与对称阵合同的矩阵必然是对称阵，而
B
不是对称阵，
所以
C
与
B
不是合同矩阵。
问题4：设
A
是
n
阶实对称矩阵，TABBA是正定矩阵，证明
A
可逆。
证明：任意0x，由于TABBA正定，总有
()()()()()0TTTTxABBAxAxBxBxAx
因此,对任意0x，恒有0Ax，即齐次方程组0Ax只有零解，所以，
A
可逆。
问题5：用正交变换化二次型为标准形的步骤及其正交变换矩阵，并举例说明。
答：步骤：1）、将二次型的矩阵表示；
2）、求出二次型矩阵
A
的特征值及其对应的特征向量。
分别讨论特征值对应的特征向量，
将重根对应的特征向量正交化单位化，
将单根特征值对应的特征向量单位化，
3）、由标准型中特征值的位置决定的，由2）步中算出的单位正交向
量的列构成矩阵
P
。
4）、写出二次型在正交变换下化成的标准形。
例：设二次型为22
(,,)43448fxxxxxxxxxxx
。
解：1）二次型矩阵为：
022
244
243
A
2）求出
A
所对应的特征值
123
1,6,6,
11
1(2,0,1)T
单位化得
1
21
(,0,)
55
p
；
11
6(1,5,2)T
单位化得
2
152
(,,)
303030
p
；
11
6(1,1,2)T
单位化得
1
112
(,,)
666
p
；
3）构建以
123
,,ppp
为列向量的矩阵
211
5306
51
0
306
122
5306
P
则，
1
6
6
TPAP
得正交变换
xPy
，即
11
22
33
211
5306
51
0
306
122
5306
xy
xy
xy
4）
二次型在正交变换下化成的标准形：222
123
66fyyy