焦点三角形面积公式

焦点三角形面积公式

-屈原列传特殊句式

★抛物线的焦点三角形面积公式：

1.如图所示，中心为坐标原点，焦点在x轴的抛物线px2y2

如图所示，F(

2

p

,0)为抛物线的焦点。直线AB过焦点F,交抛物线于A(a,b)、B(m,n)

两点，A、B在x轴的射影分别为C(a,0)、D(m,0),则焦点三角形为△AOB。

∠AFC=,则∠BFD=,(0,π)。

Ⅰ.在△AFC中，FC=a-

2

p

,CA=b；cos=

FA

FC

,sin=

FA

CA

；

则FA=

cos

2

p

-a

=

sin

b

a-

2

p

=b





sin

cos

=bcot

a=bcot+

2

p

①

又A(a,b)在抛物线px2y2上，则有2b=2pa

a=

p2

b2

②

由①②得bcot+

2

p

=

p2

b2

2b-2pcotb-2p=0

b=p(cot+

sin

1

)=p





sin

1cos

＞0

或b=(cot-

sin

1

)=p





sin

1cos

＜0(舍去)

∴b=p





sin

1cos

由

AOF△

S=

2

1

OF×AC=

2

1

×

2

p

×b=

b

4

p

=

4

p2





sin

1cos

Ⅱ.在△BFD中,DF=

2

p

-m,DB=n；cos=

FB

DF

,sin=

FB

DB

；

则FA=

cos

m-

2

p

=

sin

n



2

p

-m=n





sin

cos

=ncot

m=

2

p

-ncot①

又B(m,n)在抛物线px2y2上，则有2n=2pm

m=

p2

n2

②

由①②得

2

p

-ncot=

p2

n2

2n+2pcotn-2p=0

n=p(-cot+

sin

1

)=p





sin

cos-1

＞0

或n=(-cot-

sin

1

)=p





sin

cos-1-

＜0(舍去)

∴n=p





sin

cos-1

由

BOF△

S=

2

1

OF×BD=

2

1

×

2

p

×n=

4

p2





sin

cos-1

∴

AOB△

S=

AOF△

S+

BOF△

S

=

4

p2

(





sin

1cos

+





sin

cos-1

)

=

4

p2

sin

2

=

2sin

p2

即

AOB△

S=

2sin

p2