圆的切线方程
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2023年2月15日发(作者：轴承型号查询尺寸大全)求圆的切线方程的几种
方法
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求圆的切线方程的几种方法
四川省冕宁中学谢玉
在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方
程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x
0，y0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解
同样适用。在坐标轴上时上面方程当点
所求的直线方程为：
在圆上，所以因为点
整理得
的切线方程是：经过点
，则，设切线的斜率为如图
M
.
.
.
)(
,
.11
2
00
22
0
2
0
2
0
2
000
0
0
0
0
0
0
0
0
ryyxx
ryxM
yxyyxx
xx
y
x
yy
M
y
x
k
x
y
k
kkk
OM
OM
解法二：利用向量求解
.
.
.
0)(
0PMOM
),(PM),,OMPMOM
,p2
2
00
22
0
2
0
2
0
2
000
0000
0000
ryyxx
ryxM
yxyyxx
yyyxxx
yyxxyx
yx
•
所求的直线方程为：
在圆上，所以因为点
整理得：
）（
（，∵
的坐标，设切线上的任意一点如图
（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）
解法三：利用几何特征求解
用。重合时上面方程同样适和当
所求的直线方程为：
在圆上，所以因为点
整理得：
∵
的一点，设直线上不同于如图
MP
ryyxx
ryxM
yxyyxx
yxyyxxyx
OPPMOM
PMOM
yxPyxM
.
.
.
)()(
),(),(2
2
00
22
0
2
0
2
0
2
000
222
0
2
0
2
0
2
0
222
00
解法四：用待定系数法求解
图1
图2
3
1、利用点到直线的距离求解
程同样适用。当斜率不存在时上面方
所求的直线方程为：
在圆上，所以因为点
整理得
代入⑴式解得：
所以⑵式可化为：
因为
⑵化简整理得：
到切线的距离等于半径原点
⑴即：
则直线方程为：为设所求直线方程的斜率
.
.
.
02
02)(
1
)0,0(O
0),(
,
2
00
22
0
2
0
2
0
2
000
0
0
2
000
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
00
2
2
0
2
2
00
0000
ryyxx
ryxM
yxyyxx
y
x
k
xkyxky
ryx
yrkyxkxr
r
k
kxy
kxyykxxxkyy
k
2、利用直线与圆的位置关系求解：
程同样适用。当斜率不存在时上面方
所求的直线方程为：
在圆上，所以因为点
整理得
代入⑴式解得：
所以⑵式可化为：
因为
⑵整理得：
得 消去
由
） （即：
则直线方程为：为设所求直线方程的斜率
.
.
.
02
02)(
0)2)(1(4)(4
02)(2)1(
0
10),(
,
2
00
22
0
2
0
2
0
2
000
0
0
2
000
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
00
2
2
0
2
2
00
2
0
2
2
0
22
00
2
2
00
2
0
2
2
000
22
222
00
0000
ryyxx
ryxM
yxyyxx
y
x
k
xkyxky
ryx
yrkyxkxr
rxkyxkykkxyk
rxkyxkyxkxykxk
y
ryx
kxyykx
kxyykxxxkyy
k
这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求
解。
同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量
法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方
程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。