指数函数的性质

指数函数的性质

-拼音描红

2023年2月15日发(作者：文明校园)

-

.

-..

2.1.2指数函数及其性质

整体设计

教学分析

有了前面的知识储藏,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研

究指数函数的性质.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增

长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回忆了初中学过的整数指数幂,也让学生感

受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,

激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比

的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象

研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,表达数学的应用价值.

根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学

情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握

指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.

2.让学生了解数学来自生活,数学又效劳于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,

培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究

指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.

教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时指数函数及其性质(1)

导入新课

思路1.用清水漂洗衣服,假设每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是

函数关系式吗？假设是,请计算假设要使存留的污垢不超过原有的,那么至少要漂洗几次？教

师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位

置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.

思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数

的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1,,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连

线.点出本节课题.

思路3.在本章的开头,问题〔2〕中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x

表示时间,y表示碳14的含量,那么上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,

像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数确实切概念,

从而引出课题.

推进新课

新知探究

-

.

-..

提出问题

1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经

过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)

2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这

样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)

提出问题

(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?

(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?

(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?

(4)为什么指数函数的定义域是实数集?

(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.

活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后答复,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学

生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的

问题集中解决.

问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.

问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.

问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.

问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.

问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,

紧扣指数函数的形式.

讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,

再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84

与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.

(2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样

我们得到指数函数的定义:

一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.

(3)a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.

a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2)=显然是没有意义的.

a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.

因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.

(4)因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.

(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一

个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.

提出问题

(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?

(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.

(3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.

(4)利用上面的步骤,作函数y=()x的图象.

(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特

点?

(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?

(7)把y=2x和y=()x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?

(8)你能证明上述结论吗?

(9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象?请说明画法的理由.

-

.

-..

活动：教师引导学生回忆需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,

强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,

渗透概括能力的培养,进展课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的局部学生的图象,同时投影

展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生答复中的缺乏.学生独立思考,

提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,

形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.

讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定

义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.

(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.

(3)列表.

x

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

y=2x

1

2

4

作图如图2-1-2-1

图2-1-2-1

(4)列表.

x

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

0.00

-

.

-..

1.00

1.50

2.00

2.50

y=()x

1

2

4

作图如图2-1-2-2

图2-1-2-2

(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说

明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点〔0,1〕,且y值分布有以下特点,x<0

时01.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是

偶函数.

通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明

是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点〔0,1〕,x1,x>0时0

象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.

可以再画以下函数的图象以作比拟,y=3x,y=6x,y=()x,y=()x.重新观察函数图象的特点,推广到

一般的情形.

〔6〕一般地,指数函数y=ax在a>1和0

图象特征

函数性质

a＞1

0＜a＜1

a＞1

0＜a＜1

向x轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在x轴上方

-

.

-..

函数的值域为R+

函数图象都过定点〔0,1〕

a0=1

自左向右,图象逐渐上升

自左向右,图象逐渐下降

增函数

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于

1x＞0,ax＞1

x＞0,ax＜1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

x＜0,ax＜1

x＜0,ax＞1

一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

①定义域：R

②值域：〔0,+∞〕

③过点〔0,1〕,即x=0时y=1

④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1

④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1

〔7〕在同一坐标系中作出y=2x和y=()x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它

们的图象关于y轴对称.

-

.

-..

图2-1-2-3

(8)证明:设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程

y=()x=2-x,即点p1(-x1,y1)在y=()x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=()x两个函数的图象关于

y轴对称.

(9)因为y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用

轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习

非常有好处.

应用例如

思路1

例1判断以下函数是否是一个指数函数？

y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.

活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为

y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数

为1,a是一个正常数〔也可是一个表示正常数的代数式〕,指数必须是x的形式或通过转化后

能化为x的形式.

解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.

变式训练

函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些?

答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数.

例2比拟以下各题中的两个值的大小:

〔1〕1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.

活动：学生自己思考或讨论,回忆比拟数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出〔最

好用实物投影仪展示写得正确的答案〕,比拟数的大小,一是作差,看两个数差的符号,假设为正,

那么前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算

出每个数的值,再比拟大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学

生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.

解法一：用数形结合的方法,如第〔1〕小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图

2-1-2-4.

图2-1-2-4

在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的

上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.10.93.1.

解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,

所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.10.93.1.

解法三：利用函数单调性,

①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,

所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；

②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为

0<0.8-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；

③因为1.70.3>1,0.93.10.93.1.

点评：在第〔3〕小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不

能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比拟大小,进

而比拟1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值.

-

.

-..

思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?

活动：学生对上面的三种解法作比拟,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中

选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.

变式训练

1.a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.

答案：b

2.比拟a与a的大小〔a＞0且a≠0〕.

答案：分a＞1和0a;当a>1时,a

例3求以下函数的定义域和值域:

(1)y=2;(2)y=();(3)y=10.

活动：学生先思考,再答复,由于指数函数y=ax,(a＞0且a≠1)的定义域是R,所以这类类似指数

函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使

指数有意义即可,转化为解不等式.

解：(1)令x-4≠0,那么x≠4,所以函数y=2的定义域是｛x∈R∣x≠4｝,

又因为≠0,所以2≠1,即函数y=2的值域是｛y|y>0且y≠1｝.

(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0.

因此函数y=()的定义域是｛x∣x=0｝.

而y=()=()0=1,即函数y=()的值域是｛y∣y=1｝.

(3)令≥0,得≥0,

即≥0,解得x<-1或x≥1,

因此函数y=10的定义域是｛x∣x<-1或x≥1｝.

由于-1≥0,且≠2,所以≥0且≠1.

故函数y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝.

点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,

并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0.

变式训练

求以下函数的定义域和值域:

(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a>0,a≠1).

答案：(1)函数y=()的定义域是R,值域是［,+∞〕;(2)函数y=的定义域是［,+∞〕,值域是［0,+

∞〕;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0

思路2

例1一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质

的剩留量随时间〔年〕变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量

是原来的一半？〔结果保存一个有效数字〕

活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学

生答复,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过1年,2年,3年…,的剩

留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5的点,作纵轴的垂线交图

象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数.

解：设最初的质量为1,时间用变量x表示,剩留量用y表示,那么经过1年,y=1×84%=0.841；

经过2年,y=1×0.84×0.84=0.842;……这样,可归纳出,经过x年,y=0.84x,x∈N*.

x

0

1

2

-

.

-..

3

4

5

6

y

1

0.84

0.71

0.59

0.50

0.42

0.35

画出指数函数y=0.84x的图象,如图2-1-2-5.从图上可以看出y=0.5时,只需x=4.

图2-1-2-5

答：约经过4年,剩留量是原来的一半.

点评：实际问题中要注意自变量的取值范围.

例2比拟以下两个数的大小:

(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)(),2.

活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生.

解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进展大小的比拟:

对(1)因为30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以30.8>30.7;

对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1;

对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6;

对(4)因为()=2.080084,2=0.659754,所以()>2.

解法二：利用指数函数的性质对两个数进展大小的比拟:

对(1)因为函数y=3x在R上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7;

对(2)因为函数y=0.75x在R上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1;

对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;

对(4)由指数函数的性质知()>()0=1=20>2,所以()>2.

解法三:利用图象法来解,具体解法略.

点评：在利用指数函数的性质对两个数进展大小比拟时,首先把这两个数看作指数函数的两

个函数值,利用指数函数的单调性比拟.假设两个数不是同一函数的两个函数值,那么寻求一

个中间量,两个数都与这个中间量进展比拟,这是常用的比拟数的大小的方法,然后得两个数

的大小,数学上称这种方法为“中间量法〞.

变式训练

比拟与(a>0,a≠1,n∈N*,n>2)的大小关系.

解：因为=a,=a,而n∈N*，n>2,

所以=>0,即.

因此：当a>1时a>a，即>；当0

-

.

-..

知能训练

课本P58练习1、2.

【补充练习】

1.以下关系中正确的选项是()

A.()<()<()B.()<()<()

C.()<()<()D.()<()<()

答案：D

2.函数y=ax(a>0,a≠1)对任意的实数x,y都有()

A.f(xy)=f(x)·f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

答案：C

3.函数y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________.

答案：〔-5,2〕

拓展提升

探究一：

在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比拟这三个函数增长的快慢.

活动：学生深刻回忆作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数

y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图2-1-2-6.

x

-2

-1

0

1

2

3

10

y=2x

0.25

0.5

1

2

4

8

1024

y=3x

-

.

-..

0.11

0.33

1

3

9

27

59049

y=10x

0.01

0.1

1

10

100

1000

1010

图2-1-2-6

从表格或图象可以看出:

(1)x3x>10x;

(2)x>0时,有2x<3x<10x;

(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1024,而函数y=3x的值从1增加到59049.

这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.

因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有ax

(2)x=0时,有ax=bx=1;

(3)x>0时,有ax>bx>1;

(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.

探究二：

分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数

的图象,研究指数函数y=ax(0

图2-1-2-7

由此得：一般地,00时,有ax

ax>bx>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.

课堂小结

1.指数函数的定义.

2.指数函数的图象和性质.

3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想

-

.

-..

和研究方法.

4.利用指数函数的单调性比拟几个数的大小,特别是中间变量法.

作业

课本P59习题2.1A组5、6、8、10.

设计感想

本节课是在前面研究了函数性质的根底上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有

着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的根底,在指数函数的

概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于

0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺

利完本钱堂课的任务

.备课资料

富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言

富兰克林利用放风筝而感受到电击,从而创造了避雷针.这位美国著名的科学家死后留下了一

份有趣的遗嘱：

“……一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们承受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些

挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些款

过了100年增加到131000英镑.我希望那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的

31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款增加到4061000英镑,其中

1061000英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.

过此之后,我可不敢主张了！〞

你可曾想过：区区的1000英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱,是“信口开河〞,还是

“言而有据〞呢？事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作出自己的判

断.

yn=m(1+a)n就是复利公式,其中m为本金,a为年利率,yn为n年后本金与利息的总和.在第一

个100年末富兰克林的财产应增加到:y100=1000(1+5%)100=131501〔英镑〕,比遗嘱中写的还

多出501英镑.在第二个100年末,遗产就更多了：y100=131501(1+5%)100=4142421〔英镑〕.

可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的.

遗嘱故事启示我们：在指数效应下,微薄的财产,低廉的利率,可以变得令人瞠目结舌.威名显赫

的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！

1797年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺只要法兰

西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,

拿破仑忘却了这一诺言！1894年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案〞,

要求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中,二者选取其一.这笔巨款就是三个金

路易的本金,以5％的年利率,在97年的指数效应下的产物.