椭圆的相关知识点
拟物化图标-科目一扣分题
2023年2月14日发(作者：Gestures)椭圆的基本知识
一、基本知识点
知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积
1、定义1：（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦
点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为________。
2、定义2：（比）到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。定点为焦点，定
直线为准线，定值为______。
3、定义3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。两定点是长轴端点，
定值为)01(12＜＜mem。
知识点二：椭圆的标准方程
1、当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为_______________，其中222bac。
2、当焦点在
y
轴上时，椭圆的标准方程为_______________，其中222bac。
知识点三：椭圆的参数方程
)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
的参数方程为________________。
知识点四：椭圆的一些重要性质
（1）对称性：椭圆的标准方程是以x轴、
y
轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对
称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线
ax
和by所围成的矩形内，所以椭圆上点
的坐标满足byax,。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点；
②椭圆)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
与坐标轴的四个顶点分别为___________________________。
③椭圆的长轴和短轴。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作
a
c
a
c
e
2
2
。
②因为
0＞＞ca
，所以e的取值范围是
10＜＜e
。
（5）焦半径：椭圆上任一点),(
00
yxP到焦点的连线段叫做焦半径。对于焦点在x轴上的椭
圆，左焦半径
01
exar，右焦半径
02
exar。
（6）准线方程：
c
a
x
2
（7）焦准距：焦点到准线的距离，用
p
表示，记作
c
b
p
2
。
（8）通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径，长用
d
表示，记作
a
b
c
b
a
c
epd
222
..22。
（9）切线方程：过椭圆)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
上
00
,yx点的切线方程，可以用
00
,yx等
效代替椭圆方程得到。等效代替后的切线方程是：1
2
0
2
0
b
yy
a
xx
。
（10）极点与极线：若
000
,yxP是椭圆)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
外一点，过
0
P作椭圆的两
条切线，切点为
21
,PP，则点
0
P和切点弦
21
PP分别称为椭圆的极点和极线。
切点弦
21
PP的直线方程即极线方程是1
2
0
2
0
b
yy
a
xx
（极线定理）。
（11）中点弦方程和弦中点轨迹：
中点弦
AB
的方程：在椭圆中，若弦
AB
的中点为),(
00
yxM，弦
AB
称为中点弦，则中点
弦的方程就是
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
b
y
a
x
b
yy
a
xx
，是直线方程。
弦中点
M
的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点
000
,yxP的弦
AB
，其中点
M
的方程就是
2
2
2
2
2
0
2
0
b
y
a
x
b
yy
a
xx
，仍为椭圆。
知识点五：椭圆1
2
2
2
2
b
y
a
x
和)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
x
a
y
的区别和联系
标准方程)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
x
a
y
图形
性质
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴长
离心率
准线方程
焦半径
二、规律方法
1、如何确定椭圆的标准方程？确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；
一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2、椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义
cba,,构成一个直角三角形的三边，满足勾股定理。
3、如何由椭圆标准方程判断焦点的位置？椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判
断焦点位置的方法是：看22,yx的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4、方程)0(22ABCCByAx是表示椭圆的条件。
5、求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再
由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6、共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
共焦点的椭圆方程可设为
)(12
2
2
2
2
bm
mb
y
ma
x
＞，此类问题常用待定系数法求解。
7、如何求解与焦三角形
21
FPF(
P
是椭圆上的点)有关的计算问题？
焦三角形：以椭圆的两个焦点
21
,FF为顶点，另一个顶点
P
在椭圆上的三角形称为焦三角形。
半角是指
21
PFF的一半。则焦三角形的面积为：
2
tan2
bS。
8、直线与椭圆问题的有关计算问题（韦达定理的应用）
（1）弦长公式
（2）中点弦问题（点差法）
三、四种题型与三种方法
（一）四种题型
1、已知椭圆1
1625
:
22
yx
C内有一点)1,2(A,
F
为椭圆
C
的左焦点，
P
为椭圆
C
上的一动
点，求PFPA
3
5
的最小值。
2、已知椭圆1
1625
:
22
yx
C内有一点)1,2(A,
F
为椭圆
C
的左焦点，
P
为椭圆
C
上的一动
点，求PFPA的最大值与最小值。
3、已知椭圆1
1625
:
22
yx
C外有一点)6,5(A,
l
为椭圆
C
的左准线，
P
为椭圆
C
上的一动
点，点
P
到
l
的距离为
d
，求
dPA
5
3
的最小值。
4、定长为)
2
(
2
a
b
dd的线段
AB
的两个端点分别在椭圆)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
上移动，
求
AB
的中点
M
到椭圆右准线
l
的最短距离。
（二）三种方法
1、椭圆)0(1
2
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x
的切线与两坐标轴分别交于BA,两点，求三角形
AOB
的最
小面积。
2、已知椭圆1
312
22
yx
和直线09:yxl，在
l
上取一点
M
，经过点
M
且以椭圆的
焦点
21
,FF为焦点做椭圆，求
M
在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆。
3、过椭圆2222yx的焦点的直线交椭圆于BA,，求
AOB
面积的最大值。
四、经典例题
1、如图，把椭圆1
1625
22
yx
的长轴
AB
分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上
半部分于
7654321
,,,,,,PPPPPPP七个点，
F
是椭圆的一个焦点，则
FPFPFP
721
......_________。
2、已知
21
,FF是椭圆1
916
22
yx
的两个焦点，过
1
F的直线与椭圆交于NM,两点，则
2
MNF的周长为()
A．8B．16C．25D．32
3、过点)2,1(A且与椭圆1
96
22
yx
的两个焦点相同的椭圆标准方程是___________。
4、若椭圆1
98
22
y
k
x
的离心率是
2
1
，则
k
的值等于_______。
5、
21
,FF分别是椭圆1
2
2
2
2
b
y
a
x
的左右焦点，点
P
在椭圆上，
2
POF是面积为3的正
三角形，则2b的值是_______。
6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该
椭圆的离心率为（）
A.2B.
2
2
C.
2
1
D.
4
2
7、已知定点)0,(aA，其中
30＜＜a
，它到椭圆1
49
22
yx
上的点的距离的最小值为1，
求a的值。
8、已知
21
,FF分别是椭圆1
64100
22
yx
的左右焦点，点
P
在椭圆上。
（1）若
321
PFF,求
21
PFF的面积；
（2）求
21
.PFPF的最大值。