2024年3月26日发(作者：)
第11讲 数学游戏
教学目标
本讲课数学游戏中的必胜策略。数学游戏是智慧的较量。研究在游戏规则下取胜的策略，离不开数学思想方法。由于策略的制定是没有固定模式的，教师在本节课中要引导学生通过具体问题具体分析，不断积累经验，以提高观察和分析问题的能力。
知识点：
1. 取火柴以及与其同类型的游戏中的策略
2. 其他游戏中的取胜策略。
经典精讲
什么是对策问题呢？说起最好的对策问题，我们便会想起《齐王与田忌赛马》的故事。
战国时期，起过有个将军角田忌。有一天，齐威王要田忌和他赛马。比赛规定各自从自己的上等马、中等马和下等马中选出一匹来比赛，并说定，每胜一局就得一千金，没输一局就要付出一千金。由于就同等马来说，田忌的马都不如齐威王的马强，接连输了好几局，后来田忌请教了当时著名的军事家孙膑，孙膑出了一个好主意，重新规划了3种马出场的先后顺序：
第一场,用下等马跟齐威王的上等马比赛，结果田忌输了。
第二场，用上等马跟齐威王的中等马比赛，结果田忌获得了胜利。
第三场，用中等马跟齐威王的的下等马比赛，结果还是田忌赢了。
田忌以2比1获得了胜利，田忌不但没有输钱反而赢得了千金。
这个故事给我们很大的启示。田忌采取了“扬长避短”的策略，取得了胜利。像这样的带有竞赛或争斗性的现象经常可见。小至下棋、游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中就是希望自己或自己的一方获取胜利或获得最好的结局。这就是要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，即分析双方可能采取的方案，有针对性的制定出自己的克敌计划，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”的道理，哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。
小学数学中的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使用自己取胜的策略问题。对策问题研究的是一个“活的”对手，因而再考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使已方的策略能在对手所采用的各种可能的方案中占据有利的局面。把这种局面称作“胜局”，那么在一种游戏规则下，是否存在“胜局”？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键。概括起来，我们把数学的观点和方法来研究取胜的策略就做对策问题。
对策问题的3个最基本要素：
① 局中人。在一场竞赛或争斗中的参与者，它们为了在对策中取得胜利，必须制定出对付对手的行动计划，就把这种有决策权的的参加者称为局中人。局中人并不是特指某一人，而是指参加竞争的各个阵营。，则称只有两个局中人的对策问题为“双人对策”
，而多余两个局中人的对策问题为“多人对策”
② 策略。所谓策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略。
③ 一局对策的得失，再一居对策中，必有胜利者和失败者，竞赛的成绩有好有差我们称之为“得失”。每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系。
智取火柴以及其同类型的游戏中的取胜策略
【例1】 桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流取走1~3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么是谁将获胜？
【分析】采用逆推法分析这道题。获胜方在取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2，或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知,获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根,则必胜.现在桌上有60根火柴,甲先取,不可能留给乙4的倍数根,而甲每次取完后,乙再取都可以留给甲4的倍数根,所以在双方都采用最佳策略的情况下,乙必胜.同学们在想一想为什么一定要留给对方4的倍数根,儿不是5的倍数根或其他倍数根呢?
提问(1)甲取几根,乙取3减几根可以吗?不可以,那样的话,甲取3根,乙就没法取了.
(2)甲取几根,已取5减几根可以吗?不可以,那样的话甲取1根,乙就没法取了.
所以关键在于规定每次只能取1~3根,1+3=4,在两人紧接着的两次取火柴中,后取的总保证两人取得总数是4.利用这一特点,就能分析出谁采用最佳方法必胜,嘴角方法是什么.由此出发,对于例题的各种变化,都能分析出谁能获胜及获胜的方法.
[铺点]桌子上放着10根火柴,甲、乙 二人轮留取走1~2根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁获胜？
【分析】如果获胜在最后取得最后一根火柴，那么在倒数第二次取时，必须留给对方3根，要想留给对方3根，倒数第三次取时，必须留给对方6根。要想留给对方6根，倒数第四次取时必须留给对方3根，倒数第三次取时，必须留给对方6根。要想留给对方6根，倒数第四次时必须留给对方9根，而甲每次取完都能留给乙3的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，甲必胜。
【拓展】在例1中将“每次取完1~3根”改为“每次取走1~6根”，其余不变，情况会怎样？
【分析】由例题的分析知，只要始终留给对方1+6=7的倍数根火柴就一定获胜。因为6078…4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙的倍数根火柴，甲必胜。由本题可以看出，在每次取1~n根火柴，取到最后一根火柴获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。
将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，，其余不变，情形又将如何？
【分析】最后留给对方1根火柴者必胜，按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数根加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下的57根（574余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。
由此看出，在每次取1~n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。
【小结】我们可以把解决这类问题的一般方法总结余数问题，即如果有余数，则先取胜者，并且余数根数：如果没有榆树，则后取胜者胜，每“回合”共取N1根。
【例2】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动。谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了。说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略。
【分析】采用了“对称”的思想。设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜。对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与中心对称的位置放一枚硬币。按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币。由于圆桌上的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜。
【巩固】今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取得根数不限，但不能取。规定取的最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？
【分析】本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多余一堆，所以本题的获胜策略与前面的例题完全不同。
先取者在35根火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火车数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只需要在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。
请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？
【拓展】有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？
【分析】根据上一例题的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能胜。甲先取，共有六种取法：从第一堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。
【例3】有一种“抢某个数字”是两个人从自然数1开始轮流报数没规定每次至少报几个数与至多报几个数（都是自然数）最后谁报道规定的“某个数字”为胜。如“抢50”游戏，规定每次必须报1或2个自然数，从1开始，谁抢报到50为胜。例如甲先报到1，乙就可以接着报2或2，3；若乙报2，甲就可接着报3或3，4；若乙报2，3；甲就可以接着报4或4，5.依次下去，谁能报道50为胜。如果你是甲，并且先报数，有没有生的策略？
【分析】由于每次必须报1~2个自然数，那么甲先报1次后，就可以保证每次与乙刚报的数字数目之和为3.。如乙报1个数，甲就接着报2个数，甲就接着报1个数，因此，甲若想必胜，报完第一次数剩下得数的个数必须是3的倍数才可以。而50=3162，因此甲有必胜的策略：甲先报1，2，然后，乙若报1个数，甲就报2个数；乙若报2个数，甲就报1个数。
【拓展】若是强别的数字，规定每次必须报别的一定数目的自然数，先报数的人还有没有必胜的策略？
【分析】借鉴前面经验，若是“抢40”游戏，规定每次必须报1~3个自然数，从1开始轮流往后报数。若甲先乙后，则乙有必胜策略因为乙可以保证每次与甲刚报完的数字数目之和为4， 刚好是4的倍数。
推光开来，若是“抢数字a” 游戏，每次必须报1~n个自然数，从1开始轮流往后报数，且甲先乙后，那么会有两种情况：
情况1：若a是（1+n）的整数倍，则后报数的乙有必胜的策略;
情况2：若a不是（1+n）的整数倍，则先报数的甲有必胜的策略，且甲先报的数字个数必须是数字除以 （1+n）的余数。
【说明】“抢数字”游戏还有很多与之类似的变化游戏。如果你对“抢数字”游戏的规则与玩法非常熟悉的话，那么类似的变形游戏就会“如鱼得水。”不费功夫了。
【铺垫】两人从1开始按自然数顺序依次报数，每人每次只能报1~5个数，谁先报到50 谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？
【分析】两人轮流数数，每人每次可以数1个或2个或3个，但是不能不数，例如第一个人数1，2，第二人可接着往下数，他可以数3，也可以数3，4，也可以数3，4，5，如此继续，
谁输到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？
【分析】要轮到100，必抢到96，另外一个人只能数97，或97，98或数97，98，99，怎样也属补到100。如何才能保证数96呢，由于每人每次数数可以数1个，2个或3个，又不能不数，所以数3个数有主动权，数3个以上的数就被动。按照规则，数到100才算胜利，必须抢到96，同理必须抢到92，88，84，一直叫下去，只要抢到4就一定能获胜。因此可知，只有先数者必败，后数者胜。上述我们用方法叫“倒推法”，倒推法是接其他数学问题的有效思路。把问题倒过来分析，或说从最后的结果出发，逐步向前推理常常会使你的思路更加清晰。
【拓展】甲、乙二人轮流报数，必须报1~6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜。如果甲要取胜，是先报还是后保？报几？以后怎么报？
【分析】采用倒推法（倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法）。由于每次报的数是1~6的自然数，2000-1=1999，2000-6=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994~1999，由于1993-1=1993（或1999-6=1993），因为，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和得范围是1987~1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要是乙倒数第三次报数后加起来的范围是1980~1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，…。
把甲报完术后加起来必须得到的和从以后往前进行排列：2000、1993、1986、1979、…观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差为7，这些数被7除都与5，因此这一数列的最后三项为：19，12、5.所以甲要获胜，必须先报，报5，因为12-5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（=7-3）。
所以甲要获胜必须先报，甲先报5；以后，乙报几甲就接着报7减几。
【注意】如果对方一定要先报数，那么你可以利用对方不懂得这个秘诀的条件，去占领下一个“制高点”从而确保获胜。
【拓展】如果游戏的规则改为“先达到2000者输”，应如何制定“作战”方针呢？
【分析】显然此时想要获胜，必须先达到1999，重复上面的分析，不难得到每次占领的“制高点”是：
（1） 自己先报4；
（2） 每次对方报a（1a6），你就报7-
a。
（3） 这样，最终的胜利一定属于你的。
【例4】有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛。比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，最后一个球的人为失败者。
【分析】为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1~1994号。取球时先取序号小的的球，后取序号大的球，还是采用倒推法。甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后依次取球时，必须使他自己取得球中序号最大的一个1993（也许他去的球不止一个）。为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取得球的序号为1990（=1993-3）~1992(=1993-1),因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最好的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后最后第三次所取球的序号为1986=（1983-3）~1988（1989-1）。因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球的序号最大的一个数1985，……
把甲每次所取得球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、…观察这一数列，发现这是一等差数列，公差为4并且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球。然后乙取a的球，因为a(4a)4所以为了确保甲从一个被4处于1的数到
达下一个被4除余1的数，甲就应取4a个球。这样就能保证甲必胜。
由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球。现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4a个球。所以，
（1） 甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4a个球。
（2） 乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿了2个球，以后乙取a个球，甲就取4a个球。
【例5】有100个人战成一排，从左到右依次进行1，2报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行1，2报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？
【分析】将这100个人从左到右依次编号为1，2，3，…，98，99，100.
第一次报完后。剩下的是2的倍数，2，4，6，8，10.…，96，98，100.
第二次报完后，剩下的是4的倍数，4，8，12，16，…，92，96。
第三次报完后，剩下的是8的倍数，8，16，24…，80，88，96
第四次报完后，剩下的是16的倍数，16，32，48，64，80，96.
第五次报完后，剩下的是32的倍数，32，64，96.
第六次报完后，还剩下一个人，也就是第64人。
所以要想获胜，应站在队伍中的第64个位置。
【趣题】神父的诡计
一艘不大的船只在海上遇到了风暴，摆在船上25位乘客面前的路只有两条：要么全部乘客同归于尽；要么牺牲一部分认得生命，把他们抛进大海，减轻船的载重量，船及其他人才能有得救的可能，但是这样做至少把一半以上的人跑进海里。大家都同意走第二条路，，然而谁也不愿意自动跳下海里。乘客里有11基督教，其中有一个一个是神父，于是大家就公推神父出个主意。奸诈的神父想了一下，就让大家坐成一个环形，并且从他顺序报“1，2，3”，规定报到“3”的人就被跑到海里，下一个继续由1报起，同时声称这是上帝的旨意，大家的命运都由上帝来安排，不得抗拒。结果又14个人被抛进海里，而剩下的11个人全部都是基督教徒。大难不死的其它10个基督教徒突然醒悟过来，原来师父是用诡计救了他们。请你想想，这11个人应在什么位置，才可以避免抛进海里去呢？
【分析】神父只要让11个基督教徒占领1、4、5、8、10、13、14、17、19、22、23这11个位置，就可以保证他们不被抛海里。
【例6】右图是一种“红黑棋 ”，甲、乙二人玩棋，分别取红黑两方。规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几格。红棋从左向右走，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格中。一直到谁无法走棋时，谁就失败。甲先乙后走棋，问甲有没有必胜的策略？
【分析】甲若想必胜，那么甲走一次棋后，“乙能走甲就能走”，观察棋盘，第二、三行都有9个空格，第四、五行都有5个空格，而第一行只有1个空格，第六行有3个空格，因此甲第1次只要将第六行也变为1个空格，那么就形成一种对称局面，“乙能走甲就能走”。因此甲有必胜的策略：甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格。乙后乙走第一行，甲就相应走第六行；乙走第二行，甲就相应走第三行；乙走第三行 ；甲就相应的走第二行；乙走第四行，甲就相应的走第五行，乙走第五行，甲就相应地走第四行；乙走第六行，甲就相应地走第一行。且每次甲与乙走的格数要相同，那么最后肯定是乙无法走棋失败，甲必胜。才
【巩固】右图是一副“1999”棋，甲、乙二人玩棋，分别取红黑两方。规定：下棋时，每人每次只能任意一枚棋，每枚棋子可以走一格或几格，红棋从左向右，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方的棋子的格子中，一直到谁无法可走棋时，谁就失败，甲先乙后走棋，你想取胜愿意当甲还是当乙？有什么好办法？
【分析】甲胜。利用对称性，甲先走第二行的8步。此时，前两行相同，后两行相同。以后，当乙走某行的a步时，甲就走对应的a步，总保持前两行相同，后两行相同。只要乙能走棋，甲必能走棋，所以乙先无骑可走，甲胜。
【例7】右图是一个46的方格棋盘，左上角有一枚棋子。甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人每次只能向下，向右或向右下走一格。如图中棋子可以走入A,B,C三格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜。如果都按最佳方法走，那么都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？
【分析】要想最后一步走到右下角的方格1中，必须让对方倒数第二步走入方格1周围的三个方格2中。若想达到此目的，倒数第三步必须走到两个标“3”的方格中；倒数第四步必须让对方走到两个方格3附近的6个方格4中；倒数第五步则必须走到标“5”的方格中；依次类推，倒数第六步必须让对方走到标“6”的方格中；倒数第七步必须走到方格B中。而棋子可一步走到方格B中，因此先走的甲有必胜的策略；甲第一步先走入方格B中，若乙走入方格6中，则甲第二步走入 方格5中；若乙走入方格4中，则甲第二步走入方格3中。下一步乙只能走入方格4或方格2中，甲第三步就走入方格3或方格1中。甲走人方格1中即获胜；若甲走入方格3中，乙只能走入方格2中，甲第四步走入方格1中获胜。因此，甲就必胜，
【铺垫】在一个65的棋盘上，甲、乙二人轮流往棋盘额方格内放棋子。甲先放第一枚棋子，乙只能在与这枚棋子所在格相邻内放棋子。（相邻格指有公共边的两个格。）甲再放时又必须放在乙刚放的棋子的相邻内，以后照此规则放。谁无法放棋子是时谁失败。那么谁会有必胜的策略呢？
【分析】若甲有必胜的策略，则在甲放入第一枚棋子后，只要乙能放，那么甲就能放；反之，若乙有必胜的策略，则只要甲能放，乙就能放。因本题中给出的是65的棋盘，可分成15个12的小块，如下图，有AA，BB两种，无论甲放入哪里的A或B方格中，乙都放在同一小块的A或B方格内。所以乙有必胜的策略。
若本题中给出的是55棋盘，则甲有必胜的策略。推广一下，若给的是奇数奇数的棋盘，则先放棋子的有必胜的策略。否则，后放棋子的有必胜的策略。
【例8】把一棋子放在如下图左下角格内，双方轮流棋子（只能向右、向上或向右移 ，一次可向上一个方向移动任意多格。规定不能将棋子直接从左下角移到顶格处，谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜。问应如何取胜？
【分析】采用倒推法。由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图的A格中。（对方从A格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A个。同理可知，每次都占据A~E这五个格中的某一格的人一定获胜。为保证取胜，应先走，首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A~D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A~D格中的某一格。如此继续对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜。
【例9】有一个33的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片上分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和，小强计算左、右两列数的和，和数大的一方取胜，怎么才能获胜？
【分析】注意题目中的条件，小兵计算上、下两行6个数的和，即为abcfgh；小强计算左、右两列的和，即为adfceh。现在看这两个和，其中a,c,f,h为重复项，对于比较大小来说没有意义，真正有意义的是小兵的bg和小强的de，这几个数字决定他们谁赢谁输，要想获胜就要尽量把大的数填在自己一方，小的填在别人一方，试一下就知道怎么填实必胜的了。假设小兵先填，把大的填在自己一方，填10，那么小强有两种对付方式：一种是将9填在自己一方，一种是将1填在小兵那里.若小强将9填在自
己一方，则下一次小兵将1填在小强那里，小兵必胜，从而小强须将1填在小兵那里，那么下一次小兵只能将最小的3填在小强的格里，还是小强获胜（再往自己的格里填9）从而得到，先往自己的格里填大数是不可取的，并不能保证获胜，从而知，必须往别人的格里填小数。还是假设小兵先填，那么，他要把1填在小强格里，那么小强有两种对应方法：一种是把10填在自己格里，，一种是把3填在小兵格里，若小强把10填在自己格里，则小兵把9填在自己格里，小强再填的话最少填3，小兵必胜。若小强在小兵格里，则小兵把10填在自己格里业必胜。从而，先填的人必胜。此题的策略为：先把1填在别人的格里。
【例10】两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3…，100，101中删去9个数，经过这样的11次删除后，还剩下两个数，如果这两个数的差事55，这时判第一个数的人获胜，问谁能获胜？
【分析】按照题目的要求剩下两个数的差事55，就判第一个删数的人获胜，那么我们就把查实55的数分组（1，56），（2，57）（3，58），（4，59），（5，60），…（45，100），（46，101），还剩下47，48，49，50，51，53，54，55，没有分组，即第一次若把这九个数去掉，剩下的数正好两个一组，每组数的差为55，剩下的工作就是要如何保证下的都是成组的数，若对手接下来删去的9个数是每组一个，那么甲就把每个数成组的另一个数删去即可，剩下的还是成组的数，若对手删去的是一个组的两个数，外加7个单独的，那么甲便把这7个数成组的令外一个删去，再删去一组数，还可以保证剩下的都是成组的数；若对手删去的是2个组的4个数，外加5个单独的，我们便也用同样的方式，……不论对手怎样删，我们都能保证剩下的为成组的数，一共删了（101-2）-9=11（次）即可保证最后两个数的差为55，从而判第一个删数的人获胜。
【例11】桌子上有78颗瓜子，甲、乙两人轮流拿瓜子，它们规定，假如甲先拿（当，乙也可以拿），甲可拿任意瓜子，但不能拿光，接着乙拿不多于甲所拿瓜子的2倍，又轮到甲拿，甲可以拿不多于乙拿瓜子的2倍，这样交替进行，谁最后把瓜子拿光就算胜利。
【分析】假如甲先拿。且拿3颗以上，则剩下的瓜子可由乙一次拿走，于是乙胜，甲输；甲为了不让乙胜，显然不能拿多余3颗瓜子数，而只能拿2或1颗。若甲决定拿2颗，乙就可以拿1（或2、3、4）颗，如乙拿2或3或4都将认输，故乙只能拿1颗。现在桌子上只剩下5颗瓜子，且又轮到甲拿瓜子，因刚才乙只拿了一颗，故甲可拿1或2颗瓜子，如拿2颗，乙就能把剩下的瓜子拿光而获胜。所以甲只能拿1颗，接着拿瓜子的乙也可拿1或2颗，为保证胜利，乙也拿到1颗，这样桌子上只剩下3颗瓜子，仍轮到甲拿瓜子，且只能拿1颗或2颗，不管怎样拿，甲都是输定了。若甲决定拿一颗，则乙就拿2颗，此时桌上只剩5颗且甲拿，情形和以上一样。故无论何种取法甲必输。
这个数字游戏和裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…有关。8为该数列中的一项。事实上是：如果甲、乙两人都清楚这个游戏的“窍门”，那么如瓜子数是该数列的某一项，则先拿者输，如瓜子数不是该数列的某一项，则先拿者赢。
巩固精炼
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1. 桌上放着40根火柴，甲、乙二人轮流，每次可取1到3根，规定谁取到最后一根谁获胜。假设甲先取，那么一定获胜，如何获胜
【分析】乙一定获胜。每次可取1~3根，则甲、乙每轮所取得火柴之和总可以凑成4，例如，甲取1根，乙就取3根；甲取2根，乙就取2根，乙就取2根，甲取3根，乙就取1根，因为40是4的倍数，无论甲如何取，乙总有相应的取法使得这一轮里火柴被取走4根，因此，乙必定可以取走最后一根火柴。
2.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1~4个数，谁报道第888个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？
【分析】甲胜。甲先报3个数，以后每次与乙合报5个数即可获胜。
3.甲、乙二人轮流报数报出，报出的数只能是1至7的自然数。同时把所报的数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜，问怎样才能确保获胜？
【分析】 采用倒推法。因为每次报1至7的自然数，所以要想报到80，应抢先报道72，给对方留下8个数；同理，要报道72，应抢先报到64；以此类推，每次应抢报到得数为80，72，64，56，48，40，32，24，16，8
因此获胜的方法是：
（1） 让对方先报；
（2） （2）对方报a(1a7)，你就报8-a，必胜。
4，在右图的A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走1步或2步（走2步时可以拐弯），最终将妻子走到B点者获胜。
甲有没有必胜的策略？
【分析】因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从A到B得步数是定的，都是10步。而每次必须走1步或2步，因此，甲先走一次后，每次可保证与乙刚走的步数和为3，如乙走1步，甲就走2步；乙走2步，甲就走1步。这样，甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，这一点是可以做到的。所以甲有必胜的策略：甲先走1步，然后，若乙走1步，甲就走2步。若乙走2步，甲就走1步。
5．右图是一张33的方格纸，甲、乙两人轮流在方格中写下2，4，5，6，7，8，9，10，11九个数字中的一个，数字不能重复，左后，甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左右两列六个数之和，得分多者为胜。如果甲先乙后，那么家没有必胜的策略？
ABCD
【分析】观察右图，图中四个角是甲、乙两人所共有的，所以胜负只与放在A、B、C、D四个格内的数字有关。甲若想获胜，必须让A,C两格内的数字之和大于B,D两格内的数字之和。观察所给的九个数字，2+114+10.因此，只要甲将2填入B格，若乙将11填入A或C，甲就必胜。所以甲有必胜的策略：甲先把2填入B格，若乙将11填入D，甲就将10填入A；若乙将4填入A，甲就将11或10填入C，这样甲就必胜。
