2024年3月24日发(作者：)
知识篇
名师强基课堂
高二数学 2023年5月
■江苏省无锡市第一中学
钱
铭是一个国
创新是一个民族进步的灵魂,家兴旺发达的不竭动力。那么在数学学科的有关考试中,如何考查同学们的创新能力呢?我们认为,类比和联想能力是表现数学创新思维最重要的方面,它可以让创新思维不再是虚无缥缈,数学创新的思维火花不再是天外来客。正如日本物理学家汤川秀树所说,“。同时,类比是创造性思维的起点”我们还发现,有时候一些新情况、新问题的解决还需要通过联想来实现,而利用联想解决问题的最基本形式通常是基于结构相似的类比。这里必须指出,在这个过程中,必要的数学知识(甚至还涉及其他学科知识)是实现这个工作的中心环节,没有必要的知识基础,想通过类比联想的办法来创造性地解决有关数学问题基本上是不可能的(尤其是一些难度很大的问题,一个典型的例子是用中小学的数学,知识去研究世界难题“哥德巴赫猜想”结果。失败是必然的)而基于结构相似的类比与联想是一种在数学解题中创造性地处理有关问题的极其常用的方法,比如下面几种常见形式。■江南大学理学院
谢广喜2(可以类比联想到平面解y2-y1)形式呈现,,析几何的“距离”或者“距离的平方”但破题的关键还是距离,将其理解为平面上两个点与P2(连线间的距离,再进P1(x1,x2,y1)y2)2一步求解。特别地,如果形式为x2+则y,,可理解为平面上一个点与坐标原点(之00)间的距离。(3)如果问题以比理解为复数z=(x2-x1)+(i的y2-y1)。+(x2-x1)iy1)模,根据需要,也可类比理解为z'=(y2-22一种相关典型情况,aa,±ab+b(22(还可类x2-x1)+(y2-y1)形式呈现,恰好可类比理解为复数z=a±b∈R)3bi的模。2
b+2
可将类比理解为一个直角三角形的斜边长(。分别以及为直角边)|x2-x1|||y2-y1()如果问题以绝对值和的函数形式呈4·(,另外,如果(还≠0x2-x1)y2-y1)比联想到平面解析几何的“斜率”结构,将其理解为平面上两个点P1(与P2(x1,x2,y1)连线的斜率。特别地,如果形式为y2)y2-y1()如果问题以形式呈现,可以类1x2-x1,现,比如f(其x)=|x-a|+|x-b|x∈R,中a,与数轴上的点类比联系,可b为实参数,,知f(当实x)=|x-a|+|x-b|≥|a-b|变量x介于a,b之间时不等式取等号。22()如果问题以a5+b-λa,b(a,b,λ∈y,可x,形式呈现,那么我们可以R,ab≠0|λ|<2)类比联想到余弦定理,将其理解为一个三角,形的第三边长平方(分别以|a||b|为两边,(,)之间连线的斜率,再进一步求解可能就00容易了。(2)如果问题以理解为平面上一个点P(与坐标原点x,y)λ夹角的余弦值c其中cosC=±,osC前的2222(x2-x1)+x2-x1)+(y2-y1)或者(正负号与a,同号取正,异号取b符号有关,。负)12Copyright©博看网. All Rights Reserved.
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高二数学 2023年5月
形式呈现(其中A,B为平面上两个定点,P则动点P的轨迹为线段A当c
,为动点,且0当c=<|AB|=2c≤2a)a时,11π求最小的正整数n,1+2+2+……=,62321π1。使得∑2>-i=162022in2无法用初等数学化简得到,而与此密切相关的表达式为111+++……+1×22×33×411π解析:必须指出1+2+2+……=,6232,点,且|当c=aP为动点,AB|=2c≥2a)时,则动点P的轨迹是两条射线;当c>a时,则动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线。特别地,若仅有|PA|-|PB|=2a>0。那一支双曲线(单支双曲线)1,可以利用裂项相消的方法化简。)n(n+1联想到这一点,我们可以利用已知条件,将问2(,且c>则点P的轨迹是到A点较远的a)()如果问题以7|PA|=λ|PB|>0形式呈现(其中A,B为平面上两个定点,P为动,点,则当λ=1时,λ为大于0的参数)P点点轨迹为阿波罗尼斯圆。轨迹为线段A当λ≠1时,B的垂直平分线;Pn1+∞1∑2=∑2。i=1ii=n+1i1π题中待处理的不等式等价转化为>-20226(),其中a,分母不为0则可类比联想b∈R,两角正切和或差,令其中的a=tanα,b=a+ba-b()如果问题以或形式呈现81-ab1+ab1111,从而=-=)i(i-1i-1in+1+∞1111,对于i≥有-2=(<2<)ii+1ii+1ii=n+1+∞tanβ其中α,β∈-a-b(,(。tanα+→tanα-β)β)1+ab
ππ,22
i=n+1
111∑=。-
i-1i
n∑11-ii+1<+∞i=n+1∑12i (强基计划”2022年北京大学“数学试题改编)已知该方程所有实根个数与所有实数根乘积的比值为。解析:本题的突破口在于联想到三倍角3余弦公式cos3θ=4cosθ-3cosθ。(k+2<1-k)k,求<2(k-k-1)则x-3x,1-x=423和两边均能进一步实现前后抵消化简。新班数学复试之第3题)欧拉有著名公式:例1 (2022年中国科学技术大学创,,于是,可令x=c代入osθ,θ∈[0π]Copyright©博看网. All Rights Reserved. 13 知识篇 名师强基课堂 高二数学 2023年5月32利用三倍角的余弦公式x-3x,1- x=4π得到s即cinθ=cos3θ,oscos3θ。-θ=2,],而3所以3θ∈[03πθ= πππ,,由于θ∈[故0π]-θ∈-,,2 22 ππ-θ或3θ=-22 a3n-1·n-1n-2进而有12·2=a+…+2·3·2n-2n-1n-2n-3·2也即4=a+a2·23·3·2n-3n-2·右边第一项2+a3,n·n-1·2+a3。n·+…+a3n-1·323n-3n-2n-3·移项得(8-a2=a32+…+a2)3·n-1·n-2·2+a3。n·ππ5π,解得θ=或或θ+2π或3θ=θ-+2π2883ππ5π3π,进而得x=cos或cos或cos。于4884是问题所求的比值为3=π5π3πcoscoscos884n-2n-2=a3·23·n-3,与前面完全类似地,应有a即6·22=n-3n-3…+a3·2+an-1·n·2+a3n·n-1n-3n-4,也即2=a2+…+a3·3·n-1·n-3n-4得(4-a2=a+…+3)4·3·2n-4n-3n-4n-5于是2=a2+a3·2+…4·5·n-5n-4n-5得(2-a2=a+…+4)5·3·2n-5n-4·2+a3。n·n-3·。只能a2+a3,1n·3=。3。-=12ππ3πcossincos884a3n-1·+a3n-1·评注:从这道题我们再次看到,没有相关的数学知识(比如三倍角的余弦公式)作为基础,联想就失去了翅膀,创新的思路或解法也就很难“灵光一闪”地出现。a3n-1·n。于是∑aaaaaa60+1+2+3+4=j=j=0,此时只能a2且aaa04=5=6=…=n=评注:其实,这类分数进制的问题并非首n-4·2+a3。n·33第1题改编)若19=aa+a0+1·222…+an-1例3 (2022年西湖大学创新班初试aaaa1+2+…+n-1+n=,,,…,,,},的取值范围为{则a012n)0120+解析:联想到我们常见的二进制、十进制。 32n-1+an其中系数a(i= ,32ni +2次出现,2005年全国高中数学联赛第6题就可看成是七分之一进制问题,只不过我们现在这里碰到的情形更具有一般性而已。学试题)函数f(x)=。值范围为( )例4 (2019年北京大学博雅计划数1-x的取+221+x1+xx2等的表达形式,我们这里称其为分数进制(具,体这里即为二分之三进制)对于这个新情况、新问题,如果我们注意到2和3互质,是可以将其转化为整数背景问题去研究的。n,等式两边同乘以2得:9以上答案都不对, D.C.-28解析:由函数表达式f(x)=29(,],A.-21 B.-28 x2n-2+…+a3n-1·nn-12(19-a2=a+a0)1·3·22·3·n-1{,,},只有a0121才能满足要求。0=+…+a3n-1·n-2n-1·2+a3。n·n-1很显然,等式右边是3的倍数,而a0∈nn-1n-2进而得6·2=a2+a3·21·2·n·2+a3。n·1-x2的分母有1这样的结构使+x的结构,21+x我们联想到正切函数(有人可能会说为什么,呢?这就源于你的三角函数基本功啦!)我们令x=tanα|α|<1+x2+n-2n-1+a3·2+a3。n-1·n··2也即(12-a1)=a3·22·n-2+…。α)=sinα+cos2α=-2sinα+sinα+1g( π,于是得f(x)=22 ,,},。由于a故只能a01201∈{1=同样地,此时等式左边必须是3的倍数,配方得f(x)=g(α)=-2sinα-+9π,由于易求得本题的正确答案|α|<,82 14 214Copyright©博看网. All Rights Reserved. 知识篇 名师强基课堂 高二数学 2023年5月 为B。评注:问题原始结构还是比较复杂的,但 ()结构的平面几何意义,在平面内任x,0y>我们联想到三角函数公式后,问题就变得柳暗花明了,但最后求值域时一定要仔细,否则很容易误选D。图略,易知△A|OB|=|OC|=z,BC为直y,即S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA,,且|OC两两相互夹角成120°OA|=x,222。且角三角形(因(4)+(3)=(7))取一点O,并取三点A,使得OB,C,A,OB,设正实数a,b,c满足a+b=ab+cb+9,求a+=bc+a=cb+c。c+16,a+25,222a+b+ab=3,