2024年3月22日发(作者：)
讲座??测量结果的不确定度及其计算周舜元卫生部工业卫生实验所北京1000881
概述随着生产和科学技术的进步对检测数据的准确可靠性提出了更高的要求。过去通常用测量误差即测量结果与真值的差异来表示测量结果的准确可靠程度但由于真值通常是未知的所以误差常常也无法知道只能用约定真值代替真值来求误差。在实际工作中更多遇到的应该是测量的不准确度这已逐渐成为人们的共识。特别是由于国际贸易的发展检测数据的质量高低需要在国际间得到评价和承认由此开展的国际间的验证比对试验、实验室认可等活动越来越重视对测量结果不确定度的分析和表达。国家标准《校准和检验实验室能力的通用要求》GB/T15481-1995等同采用ISO导则25中就要求实验室的每个证书或报告均应对估算的校准和测试结果的不确定度作出说明:ISO9001也规定应保证所用设备的测量不确定度已知。在1993年由BIPM国际计量局、IEC国际电工委员会、IFCC国际临床化学联合会、ISO国际标准化组织、IUPAC国际理论与应用化学联合会、IUPAP国际理论与应用物理联合会和OIML国际法制计量组织等7个国际机构共同发起ISO公布了“测量不确定度表示指南”从而形成了共同的基础。2 基本概念2.1 测量不确定度它是一个与测量结果相关的参数用以表征可以合理赋予被测量值的分散性。该参数可以用标准偏差或其给定倍数来表示也可以用置信水平的区间半宽度来表示。测量不确定度通常由其所有的不确定度分量构成其中有些分量可以用测量结果的统计分析来加以评定有些分量则基于统计分析以外的方法或信息来评定。测量不确定度一般来源于随机性和模糊性前者来自一些主客观条件不充分后者归因于事物本身概念不明确。在具体实践中可能包括的来源如下:1对被测量的定义不完善2实现被测量的定义的方法不理想3被测量的样本抽样不能代表所定义的被测量4环境条件的测量不完善或对测量受环境条件影响的认识不周全5人员对模拟仪器的读数有偏差6测量仪器的分辨力和鉴别阈不够7赋予计量标准的值和标准物质的值不准8从外部来源取得并用于数据计算的常数和其他参数不准9与测量方法和测量程序相关联的近似性和假定性10在表面上完全相同的条件下被测量重复观测值的变化。2.2 不确定度的分类如上所述分为两类:一类是通过对测量结果的数据列进行统计分析由概率密度函数求其频率分布加以评定得到的不确定度称为统计不确定度分量或者“A类不确定度分量”另一类是通过非统计的其他方法或信息如基于对事件发生的信任程度或经验得到的假定概率分布加以评定称为非统计不确定度或者“B类不确定度分量”两者都可用标准偏差表示。应当指出的是:测量误差可以分为系统误差和随机误差但不确定度分成A类和B类并不与之相互对应系统效应修正值的不确定度可能由A类、也可能由B类得到。2.3 标准不确定度和展伸不确定度用标准差表示的测量结果不确定度通常称为“标准不确定度”u当一个测量结果由若干个其他量求得时这个测量结果的标准不确定度就等于这些其他量的方差或协方差之加权和的正平方根称之为“合成标准不确定度”uc但在安全、健康等领域为了提高不确定度的置信水平可将合成标准不确定度乘以一个数值因子K由此得到“展伸不确定度”或“范围不确定度”Ukuc它表示测量结果附近的一个置信区间且可以合理地认为或赋予被测量值将以较高的置信概率落于该区间中上述数值因子k通常称为“包含因子”或“范围因子”。2.4 自由度 计算加和的项数减去对加和结果的限制数3 测量不确定度的评定在评定不确定度时其流程如附图所示。大致分为以下几步:①建立数学模型②A类或B类不确定度的评定③不确定度的合成或汇总④计算总不确定度⑤不确定度的报告。??421??ChinJRadiolHealth1999Vol8No2
假设被测量Y不能直接测得而是通过函数关系fXi从N个别的量Xi得来即
YfX1X2…Xn其中Xi称为输入量Y称为输出量。对Y和Xi的最佳估计值分别为y和xi则测量结果y可以表示为: yfx1x2…xn这时不确定度的传播系数δf/δxi表示xi变化一个单位量时引起y的变化量。所谓建立数学模式目的是由各个Xi分量的标准不确定度uxi汇总成Y的合成不确定度uc时确定其相应的传播系数δf/δxi并有uiδf/δxiuxi4 标准不确定度的A类评定4.1 一个量的等精度独立测量对于量Xi的n次等精度独立测量得到一系列数值为:xi1xi2…xik…xin k1…n这时的平均值为:xi1/n∑xik按贝塞尔法计算单次测量的标准差:σxi1/n-1∑xik-xi2而平均值的标准差即标准误为sxiσxi/n在不确定度计算中Xi的平均值xi就是Xi的最佳值而平均值的标准差就是标准不确定度的A类评定:uxisxi1/nn-1∑ˉxik-xi2由于其中唯一的限制条件为∑xik-xi0所以uxi的自由度νin-1出νxi或sxi后也就得到了A类评定的标准不确定度uxisxi但是必须注意的是在分组极差法中如独立测定m组每组n次则有:
uxisxiσxi/mn在这些计算方法中用到的一些参数和自由度另有专用表值可查在此从略。4.2 一个量的不等精度独立测量对于量Xi的n次不等精度独立测量得到的系列数值为:xi1xi2…xin每次测量的权重为:pi1pi2…pin则有:xi1/p∑pikxik其中:p∑piksxi1/n-1p∑pikxik-xi2νin-1当用最小二乘法求得Xi的最佳值xi时也有相应公式计算sxi和νi。5 标准不确定度的B类评定5.1 已知Xi的展伸不确定度Uxi及其对应的包含因子ki则:标准不确定度的B类评定为:uxiUxi/ki通常从制造说明书、标准、证书、手册等资料来源可以知道Xi的不确定度Uxi对其标准差的倍数为ki这个ki就是包含因子所以标准不确定度uxi就可以简单取为Uxi/ki。5.2 已知Xi估计值xi的变化半范围为a则B类标准不确定度的评定结果为:uxia/ki其自由度为:νi1/2σu/u-2其中σu/u为估计u的相对标准差。当Xi服从正态分布时根据a对应的置信水平p依次取ki如下:pki0.50.670.671.00.901.640.951.96≈20.992.580.9973 当Xi服从均匀分布时取Ki3。6 不确定度的合成设被测量Y取决于各个测量值Xi其对应的标准不确定度分量为:uiδf/δxiuxi则合成标准不确定度为:ucy∑ui2相关项各分量当各分量完全不相关即相关系数r0时用平方和法合成:ucy∑ui2当各分量完全正相关即相关系数r1时用线性和法合成:ucy∑ui。7 展伸不确定度的计算根据定义展伸不确定度Ukucuc就是合成标准不确定度ucy其中的包含因子k可以利用t分布计算:ktpν这里的p为置信水平对于一般要求p0.95对于高要求p0.99。νc为徊饬縔的合成自由度它与各分量的自??521??中国辐射卫生1999年第8卷第2期由度νi的关系为:νcuc4/∑ui4/νi如前所述对于A类评定νin-1对于B类评定νi1/2σu/u-2当n30时k值或tpν值比较稳定与ν无关可取k2一般要求或k3高要求由于缺少νi值无法计算ν时也可取k23。8 不确定度的报告8.1 有自由度ν时:测量结果的展伸不确定度 U…U由合成标准不确定度uc…及基于自由度ν…置信水平p…的t分布临界值所得包含因子k…而得。8.2 无自由度ν时:测量结果的展伸不确定度 U…U由合成标准不确定度uc…及包含因子k…而得。8.3
展伸不确定度U及相应括号中的合成标准不确定度uc也可以报告其相对形式:U/y和uc/y当y≠0时。8.4 最后结论的展伸不确定度或其相对形式的有效数字一般为两位中间计算的不确定度可以多取一位。9 计算举例9.1 用带热电偶的数字温度计测量某一容器内的温度数学模型为:被测温度TDC式中:D为数字温度计的显示温度C为热电偶修正。对该温度测量10次的结果为:顺序iti℃400.1400.0400.1399.9399.9400.0400.1400.2400.0399.9 温度最佳值
为:t1/10∑ti400.02℃ 热电偶修正:c0.48℃故测量结果表示为:ttc400.02℃0.48℃400.5℃9.2 标准不确定度的评定:①由上述重复测量引起的标准不确定度为A类评定标准不确定度:ut1/1010-1∑ti-t20.03℃②数字温度计引起的不确定度为B类不确定。根据温度计说明书可知其展伸不确定度为:UtB0.6℃由于t在t-0.6℃t0.6℃区间内都可能出现且各处出现机会一样而在区间外不可能出现故取为均匀分布则B类评定的标准不确定度为:utBUtB/30.35℃③热电偶修正引起的不确定度为B类热电偶标准证书报告给出其展伸不确定度为:Uu2.0℃对应的包含因子kc2.58于是有:ucUc/kc2.0℃/2.58 0.78℃9.3 标准不确定度的合成由:ttc 可知:δf/δt1δf/δc1则:u1δf/δtut1×0.03℃u2δf/δtutB1×0.35℃0.35℃u3δf/δcuc1×0.78℃0.78℃以上ui互相无关故有:uc∑ui20.0320.3520.7820.86℃9.4 展伸不确定度的计算由于u2和u3无自由度所以合成标准不确定度的自由度无法计算。现取包含因子k2得到展伸不确定度:Ukuc2×0.86℃1.72℃取两位有效数字U1.7℃此即为总不确定度。9.5 报告形式测量结果的展伸不确定度U1.7℃U为合成标准不确定度uc0.86℃及包含因子k2而得。1998年11月12日收稿??621??ChinJRadiolHealth1999Vol8No2
