2024年2月22日发(作者：)
奥林匹克物理竞赛讲座
第三章 《圆周运动与万有引力》
【内容要求】
圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。
【内容讲解】
一、圆周运动
（一）圆周运动的运动规律、转动瞬心
1、如图所示，在一个保持匀速转动的水平转盘上，有一条穿过圆心的光滑的槽，一个直径比槽宽略小的钢球在弹簧枪的作用下从A滑到B，在此过程中，顺着钢球的运动方向看，则
A、钢球先受到左侧槽壁的压力，后受右壁的压力
B、钢球先受到右侧槽壁的压力，后受左壁的压力 C、钢球一直受到右侧槽壁的压力
D、钢球一直受到左侧槽壁的压力 E、钢球不受槽壁的压力
2、如图所示，在半径为4R的固定的大圆环内，有一半径为R的小圆环沿其内壁做纯滚动，小圆环的环心速率恒为v，小圆环的边缘上有一点A，当A在图示位置时，求：
（1）A点的加速度大小 （2）A点的轨迹的最大曲率半径
3、如图所示，由两个圆环组成一个滚珠轴承，在两环之间分布的小球半径为R。外环以线速度υ沿顺时针方向转动，而内环以线速度υ中心的速度和小球的自转角速度。
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21沿顺时针方向转动，小球和内外环之间均无相对滑动。求小球
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4、一个质量均匀分布的薄圆板，质量为m，半径为r，在水平桌面上运动，圆板中心的速度大小为υ，方向保持不变，如图所示。 圆板对过其中心的垂直轴的旋转角速度为ω，圆板与水平桌面间的动摩擦因数为μ，μ与速度无关。试计算在υ<<ωr时，圆板运动中受到的阻力大小。
（二）圆周运动的动力学方程式
1、如图所示，一小环套在一半径为r的竖直大圆环上，二者间摩擦因数为μ，大圆环绕过中心的水平轴在竖直平面内做匀速转动。为保证小环不在大环上滑动，大环转动的角速度必须满足什么条件？
2、一个长为2L的直杆AB，其质量不计，在杆的中点上固定一个小球m，今使杆A端沿竖直面运动，B端沿水平地面始终以速度v向右匀速运动，如图所示，试求当=450时，小球对杆的作用力的大小。
3、半径为R的圆环绕其竖直直径轴以角速度ω匀速旋转。两质量m为的珠子用长为L=R的轻杆相连，套在圆环上，珠子可在圆环上无摩擦的滑动，如图所示。试求细杆在环上的平衡位置（用环心与杆中点的连线与竖直方向的夹角表示），并分析平衡的稳定性。
4、一半径为R的圆盘绕水平轴在竖直面内匀速转动，圆盘的边缘速度为υ，若圆盘的边缘有水滴从各位置甩出，求甩出的水滴上升的最高点距圆盘最低点的高度及上升到最高点的水滴对应的抛出点位置。
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5、如图所示，截面均匀的U型管竖直放置，水平部分长度为2R=40cm。管中放入两种不同的液体，液体密度之比为ρ型管绕对称轴以
二、万有引力
1、 开普勒定律、行星围绕太阳运动的“面积速度”、 行星围绕太阳运动的“机械能守恒”
2、 均质球体、球壳的引力规律
3、 球质量为M，半径为R，质点m距地球心的距离为x，试作出质点m受到地球的万有引力F随x变化的图象。
4、 推导质点m在质量为M的星球的引力场中，距球心距离为r时的引力势能为Ep=G无穷远处的引力势能为零）。
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1
：ρ2=2 ：1。当管静止不动时，两液体的分界线在U型管的对称轴上，如果U5rad/s的角速度匀速旋转，液体的分界线向哪个方向移动？移动多少？
Mmr （以
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5、行星的轨道与机械能
【例题讲解】
1、质量为m的质点在地球上高为h1的山顶和在深为h2的矿井底受到地球的万有引力大小相等，则h1：h2=
2、有一液体星球，半径为R6.4106m，密度1.7103kg/m3，假设液体不可压缩，求球心处的压强。星球表面的大气压强很小。
3、宇宙飞船绕一行星S以速度V做匀速圆周运动，轨道半径为R，如图所示，当飞船经过A点时，船长想把飞船的轨道改为经过B点的椭圆形轨道，B点距行星球心距离为3R，则
（1） 飞船在A点其速度应增加多少？
（2） 飞船在椭圆形轨道上运动的周期是多少？
（3） 飞船从A点到AB段的中点C用多长时间？从C到B点用多长时间？
4、一宇宙飞船在月球上空距月球表面高R（R为月球半径）的圆形轨道上以速度v做匀速圆周运动，如图所示。宇宙飞船到达图中P点时，为降落到月球表面，可采取下列两种措施：（1）喷气引擎向前做短时间喷气，使飞船正好与月球相切于A点，则飞船在P点速度应减少多少？（2）喷气引擎向外短时间喷气，使飞船正好与月球相切于B点，则飞船在P点得到的径向速度为多少？
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5．一颗陨石在飞向质量为M的行星的途中（沿着通过行星中心的直线），碰到绕此行星沿半径为R的圆轨道运转的自动宇宙站。站的质量为陨石质量的10倍。碰撞的结果陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为
6、卫星沿圆形轨道运行探测某行星，对它拍照，卫星运转周期为T，行星密度为，试问行星的表面还有多大部分尚未拍摄到？
7、以第一宇宙速度垂直于地面向上发射一枚导弹，导弹在距发射点不远的地方落地。若地球半径为R，表面重力加速度为g，求导弹在空中飞行的时间。
8、宇宙飞船在距火星表面H高处作匀速圆周运动，火星半径为R。假设飞船在极短时间内向外侧点火喷气，获得一沿半径向里的速度，其大小为原来速度的a倍，因a较小，所以飞船不会与火星表面相碰，飞船喷出的气体质量忽略不计。
（1） 求飞船新轨道的近火星高度h1和远火星高度h2。
（2） 设飞船原来飞行的速度大小为v0，试计算新轨道运行周期。
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R2的新轨道上。求碰撞前陨石的速度u。
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9、要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。由地球发射这艘飞船时，应使其具有多大的绕日速度？已知地球公转速度为υ
10、从地球赤道上某点发射火箭，要求恰好击中北极点，求最小发射速度的大小（相对地面）。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转角速度为。
11、从地球上正对月球发射一火箭，火箭刚好获得到达月球的能量，问其后在何处火箭的速度最小，并计算出火箭击中月球时的速度。以下数据均为已知：地球质量M1=6×1024kg，月球质量为M2=7.5×1022kg，月球半径R=1.7×106m，月球中心到地球中心的距离为S=3.8×108m
12、卫星绕地球沿着圆轨道以速度v运动，运动中受到宇宙尘埃的微弱阻力径以极其缓慢的恒定速率不断减小，求n
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fkvn，卫星的半?
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13、（2001全国物理竞赛决赛）假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心称为银心，距离银心相等处的银河系物质分布相同。又假设距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的
万有引力相同。已知地球到太阳中心的距离为R0，太阳到银心的距离a=1.75×109 R0，太阳绕银心做匀速圆周运动，周期T=2.4×108年，太阳质量为MS，银河系中发光的物质仅分布在r≤1.5a的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且在a≤r≤6a范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答：
（1）论证银河系物质能否均匀分布
（2）计算银河系中发光物质质量最多为多少？
（3）计算整个银河系物质质量至少有多少？
（4）计算银河系中不发光物质（即暗物质）质量至少有多少？
上述计算结果均用太阳质量MS表示。
14、设想万有引力的大小与两质点间距离的k次方成正比，即质量分别为M、m且相距r的两质点P、Q间的万有引力的大小可表述为：
FGMmrk（式中G为恒量）
再设质点P固定不动，那么质点Q相对于P的运动轨道仍为一平面曲线，开普勒第二定律仍成立。如果质点Q的诸多运动轨道中存在一种半长轴为a、半短轴为b（a＞b）的椭圆曲线，试就下列两种情况求k值
（1） P在椭圆的一个焦点上 （2）P在椭圆的中心上
b2提示：椭圆的长轴顶点和短轴顶点处的曲率半径为a
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a2和b
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15、在遥远的宇宙空间，有两个质量均为m的质点，两质点相距L，其中一个质点固定，将另一个质点由静止释放，求经过多长时间两质点相碰？
16、有一彗星的轨道是以太阳为焦点的抛物线，它的轨道与地球的公转轨道有两个交点，这两个交点恰好是地球公转轨道的直径两端点，求彗星在地球公转轨道内的运行时间。
提示：抛物线
y22px与过焦点平行于y轴的直线围成的面积为22p
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