2021年新高考数学题型全归纳之排列组合-专题08 直接法模型(解析版

2024年2月15日发(作者：)

专题8 直接法模型

例1．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）

A．240种

【解析】

用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置．

1

2

3

4

5

6

B．360种 C．480种 D．600种

5①当领导丙在位置1时．不同的排法有A5120种．

14．当领导丙在位置2时．不同的排法有C3A472种．

2323．当领导丙在位置3时．不同的排法有A2A3A3A348种．

2323．当领导丙在位置4时．不同的排法有A2A3A3A348种．

14．当领导丙在位置5时．不同的排法有C3A472种．

5．当领导丙在位置1时．不同的排法有A5120种．

由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种．

故选C．

例2．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）

A．144

【解析】

先排与老师相邻的:C3C3A218 ,再排剩下的：A4 ,所以共有18A4432 种排法种数，选D.

例3．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有

A．16种

【解析】

任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如．．．．．．．．．．．．．．．．．．

若李雷选．．或．．，则韩梅梅有4种选择，

B．18种 C．20种 D．24种

1124B．216 C．288 D．432

4

选若李雷选．．或．．或．．或．．，则韩梅梅有3种选择，

故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×．4+6．=20．

故答案为C

例4．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（

）

A．36种

【解析】

让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻

分2步进行分析：

①领导和队长站在两端，有A22种情况，

②中间5人分2种情况讨论：

23若BC相邻且与D相邻，有A2A312种安排方法，

B．48种 C．56种 D．72种

2222若BC相邻且不与D相邻，有A2A2A324种安排方法，

则中间5人有12+24=36种安排方法，

则有23672种不同的安排方法；

故选：D．

例5．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（

）

A．10

【解析】

将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况：

3①甲分配到B班：有A36种分配方案；

B．12 C．14 D．24

②甲不分配到B班：有A2A2A28种分配方案；

由分类加法计数原理可得：共有6814种分配方案.

故选：C.

112

例6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）

A．144种

【解析】

试题分析：首先将B，C捆绑在一起作为整体，共有A2两种，又∵A只能出现在第一步或者最后一步，故总24的编排方法为A2A4296种，故选B．

B．96种 C．48种 D．34种

2例7．甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（

）

A．18种

【解析】

由题意，可分为两种请况：

（1）甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，由2种选法，

22再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有C3A26种情况，

B．12种 C．36种 D．24种

所以此时共有2612种方案；

（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，

先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B、C景点中任选1个，有C3C26种情况，

将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A22种情况，

所以此时共有6212种方案，

综上，可得甲不到A景点的方案有121224种方案.

故选：B.

例8．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）

A．18种

【解析】

若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有C3212种方法.

若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有C3212.

1222211B．24种 C．36种 D．48种

所以共有12+12=24种方法.

本题选择B选项.

例9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（

）

A．12种

【解析】

由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有A22种，

3剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A36种，

B．24种 C．36种 D．48种

2所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636种不同的排法.

故选：C.

例10．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )

A．18种

【解析】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有C3A2种不同

分配方案，当医院B有2人，则共有C2A2种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，

共有C3A2C2A210种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有A3种不同分配方案，当乙不在A医院，

在B医院时，共有C2A2种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有A3C2A210种不同分配方案；

312B．20种 C．22种 D．24种

22122212312

共有20种不同分配方案.

故选：B

例11．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ）

A．72

【解析】

根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步；

第一步，排个位，共有C3种方法；

第二步，排千位，共有C4种方法；

第三步，排百、十位，共有A4种方法；

112所以，可组成C3C4A4144个四位奇数，故答案选B。

B．144 C．150 D．180

112例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）

A．30

【解析】

先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有A3种

354．选D.

因此共有33A3B．36 C．48 D．54

3例13．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152

【解析】

根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；

②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；

1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；

2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；

由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，

B．126 C．90 D．54

故选B．

例14．为了支持山区教育，某中学安排6位教师到A、B、C、D四个山区支教，要求A、B两个山区各安排一位教师，C、D两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（

）

A．180种

【解析】

由题可知，分三种情况讨论：

22C4C22A212种； （1）甲，乙两位教师均没有去C,D山区，共有A2A22222C4C22A296种； （2）甲，乙两位教师只有一人去C或D山区，共有AAA2A21212142222（3）甲，乙两位教师分别去C或D山区，共有C4A2A2A248种，

B．172种 C．168种 D．156种

故共有：129648156种安排方案．

故选：D．

例15．某篮球队有12名队员，其中有6名队员打前锋，有4名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为3名前锋，2名后卫，则不同的出场阵容共有______种．

【解析】

分以下三种情况讨论：

①甲、乙都不出场，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中挑选2人，此时，出场阵容种数为C6C4120；

②甲、乙只有一人出场，若出场的这名队员打前锋，则应从6名打前锋的队员中挑选2人，从4名打后卫的队员中挑选2人；若出场的这名队员打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中挑选1人.

此时，出场阵容种数为C2C6C4C6C4340；

③甲、乙都出场，若这两名队员都打前锋，则应从6名打前锋的队员中挑选1人，从4名打后卫的队员中挑选2人；若这两名队员都打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中不用挑选；若这两名队员一人打前锋、一人打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选2人，从4名打后卫的队员中挑选12301211人，此时，出场阵容种数为C6C4C6C4C2C6C4176.

1322231

综上所述，由分类加法计数原理可知，共有120340176636种不同的出场阵容.

故答案为：636.

例16．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是__________．

【解析】

根据题意，分4种情况讨论：

(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时A4=24种顺序,可以排出24个四位数;

(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出222个,有C33种取法,安排在四个位置中,有A412种情况,剩余位置安排数字1,可以排出3×12=36个四位数,4同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;

26种情况,剩余位置安排两个2,则可以(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有C4排出6×1=6个四位数;

1(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有C33

种取法,安排1在四个位置中,有C44

种情况,剩余位置安排1,可以排出3×4=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.

故答案为:114.

例17．从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按A(a),B(b),C(c),D(d)先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）

【解析】

分为四类情况：

41第一类：在A、B、C、D中取四个，在a、b、c、d中取一个，共有2C4C48；

第二类：在A、B、C、D中取三个，在a、b、c、d中取两个，分两种情况：形如AaBbC(大小写有两个字母相同)共有4C4C3，形如AaBCd（大小写只有一个字母相同）共有2C4C3

；

第三类：在A、B、C、D中取两个，在a、b、c、d中取三个，取法同第二类情况；

第四类：在A、B、C、D中取一个，在a、b、c、d中取四个，取法同第一类情况；

3231

所以共有：2(8+4C4C3+2C4C3)=160

例18．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有

_________

种（用数字作答）

【解析】

按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，

因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．

当C在左边第1个位置时，有A当C在左边第2个位置时AA，

，

A+AA，

3231当C在左边第3个位置时，有A共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480种．

故答案为480．

例19．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）

【解析】

显然，紫色小方格顶多有3个.分类讨论：（1）若无紫色小方格，则只有1种结果；

1（2）若有且只有1个紫色小方格，则有C99种结果；

（3）若有且只有2个紫色小方格，从行来看，

112先选出有紫色小方格的那两行，有C33种选法，这两行的排法有C3C26种，

此种情况下共有18种结果；

111（4）若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有C3C2C16种.

综上，一共有34种结果，即一共可以传递34种信息.

故答案为：34

例20．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)

【解析】

当体育课在最后一节时，此时另外3节课可在其余位置任意排列，故有A3种排法；

当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第2节或第3节，故有A2A2A2种排法，

所以一共有：A3+A2A2A2=14种排法，

故答案为：14.

例21．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.

【解析】

根据题意,分3种情况讨论:

①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有33A3=18种选派方法;

31123112②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有33A3=18种选派方法;

③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,

232需要在剩下3人中选出2人,有C3种选法,选出4人的安排方法有A322A2种,

则此时有C3A322A2=42种选派方法;

故一共有181842=78种选派方法;

故答案为：78

例22．甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是______.

【解析】

13当甲排第1或5位置时，排法有2C3A336（种）；

13当甲排第2或4位置时，排法有2C2A324（种），

232

则甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是362460，

故答案为：60.

例23．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.

（1）可组成多少个不同的四位数？

（2）可组成多少个不同的四位偶数？

【解析】

（1）根据题意分步完成任务：

第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有A55种不同排法；

3第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有A5543601种不同排法；

所以组成不同的四位数有560300种，

（2）根据题意分类完成任务：

32，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、第一类：个位数字为0，则从1，百位、十位，有A554360种不同排法；

第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有A2A4A4244396种不同排法；

所以组成不同的四位偶数有6096156种.

例24．从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．

（Ⅰ）求可以组成多少个大于500的三位数；

（Ⅱ）求可以组成多少个三位数；

（Ⅲ）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．

【解析】

12（Ⅰ）由题意大于500的三位数的个数为A3A434336；

11212（Ⅱ）所有三位数个数为A4A444348；

1212（Ⅲ）A3A3(48A3A3)278．