2024年2月13日发(作者：)
质数合数专题讲座
知识要点：
1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
解答：
∵210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解答：
把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？
解答：
123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
解答：
如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解答：
∵5=5， 6=2×3，7=7，14＝2×7，15=3×5，
这些数中质因数2、3、5、7各有2个，所以如把14（2×7）放在第一组，那么7和6（2×3）只能放在第二组，继而15（3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。
解答：
先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560。40×40×40＝64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30～40之间。
42560=×5×7×19＝×（5×7）×（19×2）＝32×35×38（合题意）
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7 有3个自然数a、b、c。已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10。求a×b×c是多少？
解答：
∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。
（a×b）×（b×c）×（a×c）=（2×3）×（3×5）×（2×5）
∴××=××
∴＝
a×b×c=2×3×5＝30
例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数。求a的最小值与这个平方数。
解答：
∵a与1080的乘积是一个完全平方数，
∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。
∵1080×a=××5×a，
又∵1080=××5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，
∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。
例9 问360共有多少个约数？
解答：
360=××5。
为了求360有多少个约数，我们先来看这些约数分别乘以1、2、求、，即得到×5有多少个约数，然后再把所有××5（360）的所有约数。为了×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘，即得到×5的所有约数。 以1、3、 记5的约数个数为，
×5的约数个数为，
360=××5的约数个数为.由上面的分析可知：
=4×，＝3×，
显然=2（5只有1和5两个约数）。
因此＝4×=4×3×=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明：=4×中的“4”即为“1、2、×、”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝的“3”即为“1、3、×5中质因数2的个数加1；＝3×中××5中质因数3的个数加×5中质因数5的个数”中数的个数，也就是1；而=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即×加1。
因此＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
对于任何一个合数，用类似于对××5=360的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。
习题：
1．在下面算式的方框内，各填入一个数字，使得□□□×□=1995成立。
解答：
根据题意，要使一个三位数与一个一位数的积等于1995，那么这两个数的积应与1995有相同的质因数。
1995=3×5×7×19
用1995的质因数3、5、7分别作为一位数，可以写出三个满足条件的算式。
665×3,399×5,285×7。
2．自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。求a的最小值。
解答：
根据题意，a与2376的积是一个平方数，由于平方数的每个质因数都是偶数个，所以可先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对。
2376=××11，质因数 2、3都有3个，质因数11有1个，要配对，至少还需2、3、11各1个。
所以，a最小是2×3×11=66。
3．用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。
解答：
根据题意可知，被除数1170与余数78之差1092应是除数与商之积，所以，可把1092分解质因数，再重新组合这些质因数，写成两数之积，其中大于78的两位数就是所求的。
1092=×3×7×13=84×13=91×12
所求两位数为84或91。
4．小虎用2.16元买了一种小画片，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还可以多买3张。问小虎买了多少张画片？
解答：
根据题意，画片的单价与画片的张数之积应等于216（分），那么它们乘积的质因数应与216相同。可先把216分解质因数，写成两数相乘形式，再根据条件求解。
216=×=8×27=9×24
显然，216分可买27张8分1张的画片，可买9分1张的画片24张，8分比9分便宜1分，27张比24张多3张，恰好符合条件。所以，小虎买了24张画片。
5．求240的约数的个数。
解答：
∵240＝××，
∴240的约数的个数是（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20个约数。
6．有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。其中一个质因数是两位数，它的数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是多少？
解答：
因为已知一个质因数的两位数，不妨设为ab，则a+b=11，所以ab只有可能等于29，47，83，又要求这个两位数尽可能大，故只能是83；又因为这个自然数尽可能小，它还有3个不同的质因数，故另外二个质因数可取2和3：设所求的自然数为N，N=。因为（r+1）（p+1）（q+1）=16，要使N最小，即只要指数r、p、q尽可能小，但不能小于1。故可得r=3，p=1，q=1，所以最小的N=×3×83=1992。
7．把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？
解答：
首先假设可以分成五个质数之和（分成6个以上质数之和不可能）：33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数3，5，7，11，13的和是39超过33。所以分成五个是不可能的。
假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个是偶质数2，即其余三个的和是31，显然可以找出其余三个分别是：3，5，23 ；3，11，17； 7，11，13 ；5，7，19 三数乘积最大的是7×11×13＝1001 假设33可分成三个质数和，只可能是
3，13，17； 3，11，19； 3，7，23； 5，11，17。
乘积均小于2×7×11×13，33若分为两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。故应将33写成四个质数：2，7，11，13的和。
8．分别很久的两位老朋友相遇了，其中一个说：他有三个孩子，他们年龄的积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在房子的窗户数；第二人说，他还不能确定这几个孩子的年龄，于是第一人又补充说他的第二、第三个孩子是双胞胎，第二人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄各是多少？
解答：
先把36分解质因数，36=2×2×3×3，36按三个因数的所有可能的分解式为：
36=1×1×36=1×2×18=1×3×12=1×4×9=1×6×6=2×2×9=2×3×6=3×3×4
这8个式子各因数之和分别是38，21，16，14，13，13，11，10，其次房子的窗户数第二人是知道的，这意味着知道了年龄之和，但第二个人还不能确定孩子的年龄，可见至少有两组年龄和是一样的，它们是2，2，9和1，6，6，由此可知，年龄和和房子的窗户数都是13。在以上两组中，1，6，6可以排除，因为两个年龄小的孩子是双胞胎，剩下来的是2，2，9，所以三个孩子的年龄分别为2岁，2岁，9岁。
答：他们的年龄分别为9岁，2岁，2岁。
9．5112的约数有多少个。
解答：
5112=2×2×2×3×3×71=××
（3+1）×（2+1）×（1+1）=24
10．在1～300之间，求出：约数个数正好是15个的自然数。
解答：
首先看一下组成这数的质因子的情况是什么样子的。
15=1×15=3×5
根据约数的个数的公式，这个自然数中只含有两个不同的质因数，不妨设这两个质因数分别是A、B。
当15分解为1×15=（0+1）×（14+1），说明这个自然数可以写为=但是×，即是14个相同质数的乘积，考虑到自然数的范围在1～300之间，设B=2，=16384＞300，超出范围，因此这种情况是不可能的。
当15分解为3×5=（2+1）×（4+1）时，即自然数可记为×
〈1〉当A=2,B=3时,×=324＞300 (超出)
〈2〉当A=3,B=2时,×=144＜300 (满足条件)
〈3〉当A=5,B=2时,×=400＞300 (超出)
由此可以得出，对于任何A＞3或B＞2的取法都不符合条件。
所以，在1～300之间，约数个数是15个的自然数只有144。
11．有一个自然数含有10个不同的约数，但质约数只有2和3。那么，这个自然数最大是几？
解答:
设这个自然数表示为 根据约数个数公式：
约数个数10=（m+1）×（n+1）=1×10=2×5
这样，m，n，的取值只有四种可能：
×(m,n是整数)
即这个自然数有四种可能的形式：
×, ×,×,×
其中前面两个不合条件应去掉。
比较×和×，显然最大的是×=162。
12．在乘积1000×999×998ׄ×3×2×1 中，末尾连续有多少个零？
解答：
不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手。因为2×5＝10，所以末尾的零只能由乘积中的质因数2与5相乘得到。因此，只需计算一下，把乘积分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积的末尾就有多少个连续的零。
先计算乘积中的质因数5的个数。
在1，2，„，1000中有200个5的倍数，它们是：5，10，„，1000。在这200个数中，有40个能被25＝数中，有8个能被125＝有1个能被625＝整除，它们是25，50，„，1000。在这40个整除，它们是125，250，„，1000。在这8个数中，整除，它是625。所以，乘积中的质因数5的个数等于200＋40＋8＋1＝249。
而乘积中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数。所以，乘积1000×999×998ׄ×3×2×1中，末尾连续有249个零。
13．把一个两位数质数写在另一个两位数质数后边，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除。试求出所有这样的质数对。
解答：
先利用已知条件，求出这两个质数之和。
设这两个两位数质数分别为x和y，则(100x＋y)÷是整数，由于
(100x＋y)÷(198x)÷(x＋y)
＝(200x＋2y)÷(x＋y)＝[2(x＋y)+198x]÷(x＋y)＝2＋ 所以198x能被x＋y整除。又因为x是质数，所以198能被x＋y整除，即x＋y是198的约数。因为x与y均为两位数质数，所以一定是两位奇数，从而x＋y一定是两位或三位偶数。列举出198的两位或三位偶数约数：
198，66，18。
因为198与18都不能写成两个两位数质数之和，所以不符合题目要求。而66＝13＋53＝19＋47＝23＋43＝29＋37，故符合题目要求的质数对为：
（13，53）、（19，47）、（23，43）、（29，37）。
14．在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个？
解答：
只有3个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然。
在101至300之间的平方数：、、、、、、。
其中、、是质数的平方，它们分别只有3个约数。
所以，只有3个约数的自然数有3个，即121、169、289。
15．新河村农民用几只船分三次运送315袋化肥。已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋。问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋）
解答：
因为每只船载的化肥袋数相等，且分三次把315袋化肥运完，所以每次运送105袋。又每次运送的总袋数105应为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数。所以只要把105分解质因数，就可以求出船数和每只船载的化肥袋数。
105＝3×5×7。
因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋，所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况：
（1）用3只船，每只船载35袋化肥。
（2）用5只船，每只船载21袋化肥。
（3）用7只船，每只船载15袋化肥。
（4）用15只船，每只船载7袋化肥。
（因为每只船至多载50袋，故每次不能用1只船载105袋。）
16．将下面八个数分成两组（每组四个数），应该怎么分才能保证两组四个数的乘积相等？
1.4，0.33，3.5，O.3，O.75，0.39，14.3，16.9。
解答：
此题如果采用试验法做，肯定可以找出答案，但比较费事。下面我们试看用倒着想的方法来考虑这题应如何解。
如果分法找到了，那么上面八个数中的某四个数的积与另外四个数的积一定相等。当这两个积是小数时，把它们同时都扩大相同的若干倍使它们变成整数，这个等式仍然成立。把等式两边的积分别分解质因数，那么两边的质因数肯定一样，而且相同质因数的个数两边也是相同的。
为此，先将上面的八个数同时都扩大100倍，得下面八个数：140，33，350，30，75，39，1430，1690。
把这八个数分别分解质因数：
140=×5×7 33=3×11
350=2××7 30=2×3×5
75＝3×39＝3×13
1430=2×5×11×13 1690=2×5×
这八个数分解质因数后一共有6个2，8个5，2个7，4个3，2个11，4个13。为保证两组四个数的积彼此相等，每一组里应该有3个2，4个5，1个7，2个3，1个11，2个13。根据这一要求适当搭配便可找到答案。
现在按照上面分析的思路，可安排第一组里有1690，33，350，30这四个数。
其余四个数算第二组，即1690×33×350×30=1430×39×140×75。
两边同时缩小相同的若干倍，于是得到下面的一种分法：
第一组里的四个数为：16.9，0.33，3.5，0.3；
第二组里的四个数为：14.3，0.39，1.4，0.75。
17．有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数。
解答：
相邻两个奇数相差为2，现在已知有五个连续的奇数，当我们假定中间那个奇数为x时，那么从小到大这五个连续的奇数分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4。根据条件可得方程：（x—4）（x—2）x（x+2）（x+4）=135135。
方程虽然列出来了，但我们不会解这个高次方程，只好另寻它途。
把135135分解质因数：135135=×5×7×11×13，而11与13正好是两个×5×7适当调配一下，便有相邻的奇数，从这一事实出发，只要把×5×7=7×9×15，而7、9、11、13、15正好是相邻的五个奇数，这样就找到了答案。所以这五个连续的奇数为7、9、11、13、15。
18．求小于100的只有8个约数的一切自然数。
解答：
一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。这里约数个数为8，而8=2×4=2×2×2=8×1。下面分别讨论。
当8=2×4=（1+1）×（3+1）时，说明所求的自然数分解质因数后，只有两个不同的质因数，它们的个数（指数）分别为1和3。下面求这两个不同的质因数各等于几时，对应的那个自然数不大于100。
如果这两个质因数中有一个为2，它的指数为1。
当另一个质因数为3时，这个自然数为：2×求的一个解。
当另一个质因数为5时，这个自然数为：2×要求。
因为=125＞100，所以当1个质因数为2，它的指数为1，另一个质因数为=250，250大于100，不符合=54，54小于100，是满足要大于5的任一质因数时，对应的自然数一定大于100，均不符合要求。
如果这两个质因数中有一个是3，它的指数为1。
当另一个质因数为2时，这个自然数为：×求。
因为2×求。
=24，24小于100，符合要=250＞100，所以其他情况对应的自然数一定大于100，不符合要 如果这两个质因数中有一个是5，它的指数为1。
当另一个质因数为2时，这个自然数为：5×=40，40小于100，符合要求。
当另一个质因数为3时，这个自然数为：5×要求。
=135，135大于100，不符合 如果这两个质因数中有一个是7，它的指数为1。此时另一个质因数只能是2，
这个自然数为：7×求。
如果这两个质因数中有一个是11，它的指数为1，那么另一个质因数只能是2，
这时这个自然数为：11×符合要求。
如果这两个质因数中有一个是13，它的指数为1，那么另一个质因数不论是几，所求出的自然数都不符合要求。这是因为13×要求。
当8=2×2×2=（1+1）×（1+1）×（1+1）时，此时所求的自然数分解质因数后，只有三个不同的质因数，它们的指数都是1。下面从小到大依次看看这三个不同的质因数分别为多少时，所求的自然数符合要求。
当三个不同的质因数分别为2、3、5时，这个自然数为：2×3×5=30，30小于100，符合要求。
当三个不同的质因数分别为2、3、7时，这个自然数为：2×3×7=42，42小于100，符合要求。
=104，104＞100，不符合=88＜100，符合要求。而11×=297＞100，不=56＜100，符合要求，而7×=189＞100，不符合要
当三个不同的质因数分别为2、3、11时，这个自然数为：2×3×11=66，66小于100，符合要求。
当三个不同的质因数分别为2、3、13时，这个自然数为：2×3×13=78，78小于100，符合要求。
当三个不同的质因数分别为2、3、17时，这个自然数为：2×3×17=102，102大于100，不符合要求。
当三个不同的质因数分别为2、5、7时，这个自然数为：2×5×7=70，70小于100，符合要求。
当三个不同的质因数分别为2、5、11时，这个自然数为：2×5×11=110，110大于100，不符合要求。
当三个不同的质因数分别为3、5、7时，这个自然数为：3×5×7=105，105大于100，不符合要求。
其余情况下所求自然数均大于100，不符合要求。
当8=8×1=（7+1）×（0+1）时，这说明所求的自然数分解质因数后，
只有一个质因数，它的指数为7。而=128，128大于100，不符合要求。
所以其余情况下所求的自然数也一定都大于100，不符合要求。
所有小于100只有八个约数的自然数共有十个，分别为：24，30，40，42，54，56，66，70，78，88。
