2024年2月12日发(作者：)
小学奥数教程之-溶液浓度问题
在解决浓度问题时，需要明确溶液、溶质和溶剂三者之间的关系。溶质通常指盐水中的“盐”、糖水中的“糖”或酒精溶液中的“酒精”等，而溶剂一般为水，有时也会出现煤油等。溶液则是溶质和溶剂的混合液体，而浓度则是溶质质量与溶液质量的比值。在运算上，可以利用浓度三角和十字交叉法来解决复杂的浓度问题。
解决浓度问题的一般方法是寻找溶液配比前后的不变量，然后建立等量关系列方程。此外，十字交叉法和浓度三角也是解决浓度问题的有效方法。在应用题中，列方程解题也是一种重要的方法。比例是浓度问题的一个重要知识点，而浓度问题与我们的日常生活息息相关，包括小学所学的百分数和浓度问题中的基本量。
举例来说，当需要解决三种溶液混合多次的问题时，可以利用十字交叉法或浓度三角进行解题。比如，有甲、乙、丙三个，容量为毫升。甲有浓度为40%的盐水400毫升；乙中有清水400毫升；丙中有浓度为20%的盐水400毫升。先把甲、
丙两中的盐水各一半倒入乙搅匀后，再把乙中的盐水200毫升倒入甲，200毫升倒入丙。这时甲、乙、丙中盐水的浓度各是多少？通过列出表格和运用浓度三角，可以得出甲、乙、丙中盐水的浓度分别为27.5%、15%和17.5%。
在这个问题中，甲、乙、丙三个中盐水的浓度分别为27.5%、15%和17.5%。为了解决涉及浓度的应用问题，特别是在多次变化的情况下，常常使用表格的方法，以便清楚地了解溶质质量和溶液质量的变化以及它们之间的关系。
在这个问题中，甲、乙、丙三个中的酒精溶液中纯酒精的含量分别占48%、62.5%和。已知三个中的酒精溶液总量为100千克，其中甲中的酒精溶液量等于乙、丙两个中酒精溶液的总量。混合三个中的酒精溶液后，纯酒精的百分含量将达到56%。那么，丙中纯酒精的量是多少千克？
解法1：使用方程法。设丙中酒精溶液的重量为x千克，则乙中的酒精溶液为50-x千克。根据纯酒精的含量，可以列出方程式：50*48%+（50-x）*62.5%+x*100%=100*56%。解出x=18，因此丙中纯酒精的量为18*17.5%=3.15千克。
解法2：使用浓度三角法。由于甲中的酒精溶液为50千克，乙、丙两个中的酒精溶液总量也为50千克，因此如果混合乙、丙两个中的酒精溶液，则得到的酒精溶液的浓度为56%*2-48%=64%。因此，乙、丙两个中酒精溶液的量之比为32:18，而它们的总量为50千克，因此丙中的酒精溶液量为50*18/50=18千克，丙中纯酒精的量为18*17.5%=3.15千克。
在这个问题中，盐水A、B、C按照A与B数量之比2:1混合，得到了浓度为13%的盐水；按照A与B数量之比1:2混合，得到了浓度为14%的盐水。如果A、B、C数量之比为1:1:3，混合后得到的盐水浓度为10.2%。那么，盐水C的浓度是多少？
首先，按照A与B数量之比2:4混合时，浓度仍为14%。这样的混合溶液相当于将A与B按照2:1的比例混合后再混入三份B盐水，因此B盐水的浓度为（14%*6-13%*3）/（4-1）=15%。A盐水的浓度为14%*3-15%*2=12%。然后，根据A、B、C三种盐水混合的比例，可以计算出盐水C的浓度为：10.2%*(1+1+3)-12%*1-15%*1/3=8%。
已知甲溶液的酒精浓度为10%，盐浓度为30%，乙溶液中的酒精浓度为50%，盐浓度为10%。现在有1千克甲溶液，需要多少千克乙溶液才能使混合后的溶液酒精浓度和盐浓度相等？
设混合后的溶液的酒精浓度和盐浓度均为x%，则根据溶液浓度的计算公式，可得：
甲溶液中酒精的质量为0.1×1000=100千克，盐的质量为0.3×1000=300千克；
乙溶液中酒精的质量为0.5×y，盐的质量为0.1×y；
混合后的溶液中酒精的质量为0.1×1000+0.5y，盐的质量为0.3×1000+0.1y。
由于混合后的溶液酒精浓度和盐浓度相等，因此有：
0.1÷(1000+y)=0.5÷y，解得y=2000千克。
因此，需要2000千克乙溶液才能使混合后的溶液酒精浓度和盐浓度相等。
题目：溶液浓度问题（二）
一千克甲种溶液中含有酒精0.1千克，盐0.3千克，盐比酒精多0.2千克；而一千克乙种溶液中含有酒精0.5千克，盐0.1千克，盐比酒精少0.4千克。所以只需要0.5千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等，即浓度相等。
巩固题目：溶液浓度问题
有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%。现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？
解析：将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中。这时的处理后甲溶液盐浓度为10%÷(15%+10%)=0.4，处理后乙溶液的盐浓度为
5%÷(45%+5%)=0.1，需要配置的溶液的盐浓度为1÷(1+3)=0.25.由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为：(0.25-0.1):(0.4-0.25)=1:1.一千克原甲溶液中有10%+15%=25%的处理后甲溶液，即0.25千克，所以另需要0.25千克的处理后乙溶液。每千克原乙溶液中含有5%+45%=50%的处理后乙溶液，即0.5千克，所以只需要0.5千克的乙溶液就能构成0.25千克的处理后乙溶液。因此需要0.5千克的乙溶液。
模块二、列方程解浓度问题
例7：使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克。根据XXX专家的意见，把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共5千克，要配药水140千克，其中甲种农药需药3.25千克。
解析：设甲种农药x千克，则乙种农药(5-x)千克。列方程：x(1+20)+(5-x)(1+40)=140，21x+205-41x=140，20x=65，x=3.25.
例8：甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍。将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？
解析：设甲瓶盐水中盐的质量为x克，则乙瓶盐水中盐的质量为x/3克。将100克甲瓶盐水和300克乙瓶盐水混合后得到400克新盐水，其中盐的质量为0.15×400=60克。因此，x+x/3=60，解得x=45克。甲瓶盐水中盐的质量为45克，总质量为100克，所以甲瓶盐水的浓度为45%。
解析：设甲中取出x克盐水倒入乙中，乙中取出y克盐水倒入甲中。则甲中剩余的盐水重量为400-x，浓度为20%，乙中剩余的盐水重量为600+y，浓度为10%。根据题意可以列出方程组：
400-x)×0.2 = (600+y)×0.1
x+y = 1000
解得x=240，y=760.因此从甲中取出240克盐水倒入了乙中，从乙中取出760克盐水倒入了甲中。
例9：甲、乙两只装满硫酸溶液的，甲中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克，乙中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克．各取多少千克分别放入对方中，才能使这两个中的硫酸溶液的浓度一样？
解析：由于交换前后两中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件可以先计算出两中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量。
甲中纯硫酸的质量为600×8%=48千克，乙中纯硫酸的质量为400×40%=160千克，两中纯硫酸的质量和为48+160=208千克，硫酸溶液的质量和为600+400=1000千克。两中溶液互换后浓度为208÷1000×100%=20.8%，所以应交换的硫酸溶液的量为：600×(20.8%-8%)÷(40%-8%)=240千克。另一种解法是假设各取x千克放入对方中，那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即(600-x):x=600:400，解得x=240，即各取240千克。
例10：甲中有浓度为20%的盐水400克，乙有浓度为10%的盐水600克。分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中。现在甲、乙中盐水浓度相同。问：从甲(乙)取出多少克盐水倒入了另一个中？
解析：由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为(400×20%+600×10%)÷(400+600)=14%。甲中原来浓度为20%，所以相互倒了400×(20%-14%)÷(20%-10%)=240克盐水倒入了乙中，从乙中取出了760克盐水倒入了甲中。
一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为多少？
解析】设原来盐水的质量为1单位，加入的水的质量为x单位，则第一次加水后盐水的质量为1+x，含盐量为15%，即0.15(1+x)。第二次加水后盐水的质量为1+2x，含盐量为12%，即0.12(1+2x)。第三次加水后盐水的含盐量为z%，即0.z(1+3x)。根据题意可列出以下方程组：
0.15(1+x) = 0.12(1+2x)
0.12(1+2x) = 0.z(1+3x)
解得x=0.2，z=9%。因此，第三次加水后盐水的含盐百分比为9%。
奶的价格比水贵，我要把两个钢桶中的液体混合起来，然后卖掉．你们可以尝一尝，看看哪个是牛奶．
两个小学生尝了尝，然后说：这是水，那是牛奶．
那个卖牛奶的人问：你们怎么知道的？
小学生回答说：因为我们刚才尝了两次，第一次尝的是水，第二次尝的是牛奶．
那个卖牛奶的人笑了笑说：你们真聪明，不过，如果我把两个钢桶中的液体比例调整一下，你们还能分辨出哪个是牛奶吗？
小学生说：当然可以，我们只需要再尝一次就行了．
那个卖牛奶的人问：你们确定吗？我可不想浪费牛奶．
小学生说：我们很确定，因为我们已经尝过水和牛奶的味道了，只要再尝一次就能分辨出来了．
那个卖牛奶的人点了点头，然后把两个钢桶中的液体比例调整了一下，让小学生再次尝了尝，这次小学生又准确地分辨出了哪个是牛奶．
改写】
一个卖牛奶的人告诉两个小学生，他要把两个钢桶中的液体混合起来，然后卖掉，因为牛奶的价格比水贵．小学生尝了尝，然后准确地分辨出了哪个是牛奶．卖牛奶的人调整了液体比例，让小学生再次尝了尝，这次小学生也准确地分辨出了哪个是牛奶．
经过计算，得到x:y=4:3，即一开始A桶中有4升酒精溶液，B桶中有3升水．
最后A桶中的酒精含量为原来的120%，即4升酒精溶液中含有4.8升酒精．而A桶中共有2x升液体，所以最后A桶中含有的酒精量为：4.8升/8升×2x升=0.6x升．
同理，最后B桶中含有的酒精量为：4.8升/6升×2y升=0.8y升．
因为两个桶中的液体体积相等，所以2x=3y，即x:y=3:2．代入0.6x和0.8y的公式中，得到最后A桶中的酒精含量为0.36升．
答案】最后A桶中的酒精含量为0.36升．
桶有2(x-y)，B桶剩3y-x。由2(x-y)=3y-x，得到x:y=5:3.假设开始A桶中有纯酒精z，则有水(5-z)。将酒精稀释过程列成表(如图)：根据题意，(z/4)-(z/4)*0.2=20%，解得z=4.所以最后A桶中的酒精含量是4/4*100%=60%。
例16】A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%，它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐水。如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克，那么A瓶盐水有多少克？
设C瓶盐水有x克，则B瓶盐水为x+30克，A瓶盐水为100-(x+x+30)=70-2x克。则(70-2x)*20%+(x+30)*18%+x*16%=100*18.8%，解得x=10.所以A瓶盐水为70-2*10=50克。
例17】某班有学生48人，女生占全班的37.5%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？
女生人数的比例从37.5%变成40%，增加了(40%-37.5%)/37.5%=6.67%。因此，转来的女生人数为48*6.67%=3.2人，约为3人。
例18】XXX到商店买红、黑两种笔共66支。红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元。由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？
红笔按85%优惠，黑笔按80%优惠，结果少付18%，相当于按82%优惠。可类似浓度问题进行配比，得到红、黑两种笔的总价之比为(82%-80%):(85%-82%)=2:3.红、黑两种笔的单价分别为5元和9元，所以这两种笔的数量之比为5:6，所以他买了66*5/11=30支红笔。
有76件商品，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件。根据题意，可以列出以下方程：
x + y + z = 76 （x、y、z分别表示买一件、买两件、买三件的顾客人数）
x + 2y + 3z = 33
x + 0.9y + 0.8z = 0.85 * 76 （每件商品按原定价的85%出售）
将第二个方程乘以2，并与第一个方程相减，得到y + z =
19.将y + z代入第一个方程，得到x = 57.将x、y、z代入第三个方程，得到y = 6，z = 5.因此，买三件的顾客有5人。
由于买两件及以上的商品价格都高于85%，所以买一件和买三件的顾客可以一一配对后，剩下的仍然是买三件的顾客。根据定价可知，买两件商品的顾客比买三件商品的顾客多，且两者的比例为2:3.因此，33个顾客可以分为两类：一类每两个人买四件商品，另一类每五个人买十二件商品。总共购买了76件商品，其中买两件商品的顾客有15人。剩下的8人中，每两个人买一件商品，共购买了4件商品，剩下的14人买三件商品。因此，答案为14.
在一个奇怪的动物村庄里，住着猫、狗和其他一些动物。其中，有20%的狗认为自己是猫，有20%的猫认为自己是狗，其余动物都是正常的。如果将所有的猫和狗混合在一起，有32%的动物认为自己是猫。如果这个村庄里的狗比猫多180只，那么狗的数量是多少？
通过浓度三角的分析，可以得出狗和猫的数量之比为4:1.再根据题目中给出的条件，可以列出方程：4x-1x=180，其中x为猫的数量，4x为狗的数量。解方程可得x=60，因此狗的数量为4x=240.因此，答案为240.
