2024年2月11日发(作者：)
浅谈数学方法在高中物理教学中的应用
数学作为学习和研究现代科学技术必不可少的工具，在解决物理问题中有重要作用。许多物理问题的解决方案往往是通过物理思想和数学方法的结合提出的。借助数学方法可使复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的。中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力，能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。对这一能力的考查在历年高考试题中也有明显的体现。因此,需在物理教学中培养学生良好的数学素养、熟练运用数学知识解决物理问题,塑造学生良好的物理学科素养。
数学方法是在数学思想的指导下，把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。可以说，任何物理问题的分析、处理，都离不开数学方法的运用。本文就高中物理学习中一些特殊、典型的方法在物理学中的应用做浅略的分析。
一、微元法
在高中物理学习中，由于学生物理知识基础和数学方法的欠缺，处理变量问题比较困难。采用“先微分后积分”的思想，把整个过程分成若干无限小的部分，在每一无限小部分内把变量视为不变，结合所学知识，再把各部分进行累加，就可得到需要的结果，这种“无限分割逐渐逼近”的方法即“微元法”。微元法通过化整为零、化曲为直，能使学生对问题有清晰的认识，也易于接受，方便解决变值问题。
微元法在物理学中应用广泛，如：运动学中求非匀变速运动的速度、匀变速直线运动的位移；功和能部分推导变力做功；动量部分求流动的液体产生的作用力；电场中将非点电荷的求解问题转化为点电荷来处理；电磁感应中求变力作用下的位移等。
例1：物体做初速度为v，加速度为a的匀加速直线运动，推导物体在时间t内的位移。
【思路点拨】把物体的运动分割成无数个时间△t极短的微元，每一微元内的运动都可以看成匀速直线运动，利用v-t图像下微元面积的表达式，可求得位移微元的表达式，求和可得物体在时间t内的总位移。
【解析】作v-t图像，如图甲、乙、丙把物体的运动分割成若干个小段(微元)，由于每一段时间△t极短，可认为速度不变，设第i段的速度为vi，则在第i段的位移为xi=
vi△t，则t时间内的位移为x=∑xi=∑vi△t，在v-t图像上，为若干个微小矩形面积之和。
当把运动分得非常非常细，所有矩形合在一起就成了梯形，如图丁所示。图线与轴所夹的面积就表示时间t内物体做匀变速直线运动的位移。
面积S=S1+S2，又v=v0+at，所以【总结升华】应用微元法的一般步骤：
(1)选取微元，时间极短，认为速度不变，“化变为恒”，(2)写出所求量的微元表达式，微元段表示位移，则位移表达式xi=
vi△t，(3)对所求物理量求和，即对微元段的位移求和x=∑xi=∑vi△t。
二、几何法
图形图像能使抽象的问题具体化、形象化，是解决物理问题的得力助手，所以常用几何方法解决物理问题。比如：利用三角形和平行四边形进行矢量合成和分解，利用相似三角形处理共点力平衡问题，根据圆的特性确定带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹，用三角形全等或相似分析带电粒子在有界磁场中的运动，用“点到直线之间的距离，垂线段最短”“两点之间直线距离最短”等求最值。
在解决物理问题时三角形应用最多，尤其在处理三个共点力作用下物体的平衡时，三角形作图法是解决问题的重要方法。当物体在三力作用下处于动态平衡时，若一个半不变，即一个力是恒力，还有一个变力的方向不变，其他条件改变时，往往利用三角形图解法解题。
例2：光滑斜面上固定着一根刚性圆弧形细杆，小球通过轻绳与细杆相连，此时轻绳处于水
平方向，球心恰位于圆弧形细杆的圆心处，如图所示。将悬点A缓慢沿杆向上移动，直到轻绳处于竖直方向，在此过程中，轻绳的拉力T和斜面对小球的支持力如何变化？
【思路点拨】悬点A缓慢移动，小球处于动态平衡。小球受到的三个共点力中，一个是恒力，一个力的方向不变，可以用图解法解题。
【解析】悬点A缓慢上移，小球处于动态平衡。对小球受力分析如图,小球受重力mg大小方向不变，支持力FN方向不变，拉力T方向逆时针旋转，根据平衡条件做出拉力T沿不同方向的平行四边形。根据三角形知识可确定绳的拉力先减小后增大，支持力FN逐渐减小。
【总结升华】图解法处理三力作用下物体动态平衡问题的方法：
①一个力为恒力，一个力方向不变，一个力方向改变，通常画平行四边形或闭合三角形。
②一个力是恒力，另两个力方向均改变，尝试应用三角形相似求解。
③一个力是恒力，另两个变力方向夹角不变，可根据恒力对应的圆心角不变构造圆，利用矢量圆求解。
三、极值法
极值法是通过把某个物理量推向无限大或无限小后对问题作出分析和判断。在中学物理中，有些问题用常规方法求解比较困难，用极值法则简单得多。特别是在定性分析多个变量互相制约时，将会收到事半功倍的效果。
物理中求极值常用的方法有三角函数极值法、二次函数极值法、根的判别式法、配方法、和积关系法（两数之和为定值时，当两数相等时这两数之积为最大；两数之积为定值时，当两数相等时，这两数之和为最小）等。下面仅就电源输出功率最大值的求法说明一下配方法求极值的处理。
例3：如图所示，滑动变阻器阻值范围为0~R，电源电动势为E、内阻为r，闭合开关S，滑片P从左端向右端移动过程中，电源的输出功率如何变化?
【思路点拨】根据闭合电路欧姆定律求出电流的表达式，然后根据P=I2R把功率表示出来，再从数学角度求出滑动变阻器消耗功率的最大值，即可描述其功率的变化。
【解析】设滑动变阻器连入电路的电阻为R，则电路中的电流为， 滑动变阻器消耗的功率为据表达式可得，当R=r 时，电源的输出功率最大，最大值为越大，电源的输出功率越小。
【总结升华】应用配方法求极值的步骤：
，根；R与r数值差(1)根据物理学知识，整理待求量的表达式；(2)按完全平方式的形式进行配方，整理方程把变量集中到表达关系式的某一部分，其余为定值；(3)根据配方的结果分析总结。
四、其他方法
图像法在处理一些比较抽象难解的问题时优势明显。与数学图形结合，恰当地引入物理图象，可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。图象法是历年高考的热点，教学中老师会密切关注图象，强化图象的识别、应用及绘制等方法。
数学归纳法在解决过程复杂的物理问题时常用。从特殊情况出发，推出一般情况下的猜想，再用数学归纳法加以证明，确定猜想的正确性；处理反复多次的过程，也需要利用数学归纳法推导结论，这类问题对物理规律的理解、思维能力有较高的要求，高考试题中多次出现。
比例法在特殊计算时方便快捷。直接列出比例式进行计算，可避开与解题无关的量，简化解题过程。在处理物理问题时也时常用到，比如初速度为零的匀变速直线运动中，求经过连续相等时间内的位移之比和经过连续相等位移的时间之比时。
综上，物理概念和规律的形成离不开数学方法和数学思维，学生分析和解决物理问题能力的培养更离不开数学。数学是“物理学家的思想工具”，能使物理学家“有条理地思考”，收获更多。物理教学中，应充分发挥数学方法和数学思维在处理分析物理问题中的作用，引
导学生自觉地、有针对性地将物理问题和数学方法有机地结合起来，真正做到既能把物理问题转化为数学问题，又能从数学表达式中深刻领悟物理问题的内涵，运用数学方法解决物理问题。
山东省青岛第九中学 赵丽
