高中物理学习思想、方法:物理解题中常用的数学知识

2024年2月11日发(作者：)

物理解题中常用的数学知识

物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、微元法等．

<1>．方程法

物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的．

列方程组解题的步骤

①弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型．

②按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架．

③据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体．

④对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验．

<2>．比例法

比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点：

①比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个．讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．

②比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R＝U认定为电阻与电压成正比)．

I③比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不

U2变量，如果该条件不成立，比例也不能成立．(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝中，RP与R成反比，因为R变化的同时，U随之变化而并非常量)

<3>．数列法

凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”．该类问题求解的基本思路为：

①逐个分析开始的几个物理过程。

②利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题。

③无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用。

<4>．圆的知识应用

与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用，尤其带电粒子在匀强磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上，其方法有以下几种：

①依切线的性质定理确定：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．

②依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图2．

由BＥ＝CＥ×ＥＤ＝CE×（２R－CＥ）

２EB2CE得R＝＋

2CE2也可用勾股定理得到：

ＯB２＝（ＯC－CＥ）２＋ＥB２，R2＝（R－CＥ）２＋ＥB２

此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中．

图2

熟练运用三角形的边角关系

解某些物理题目时进行适当的数学处理可以使题目简单化，比如矢量和向量的对比转化，正弦定理、余弦定理的应用，相似三角形的应用等。但经数学处理后得到的结果，在物理上是否合理、是否合乎实际以及所得结果的物理意义如何，都需要进行讨论和判断，这种能力和素养对学生是很重要的。

由此可见，用数学处理物理问题的能力是一种非常重要的能力。高考中中出现这种学科间相互渗透的题目，更能考查学生学习水平和学习能力，所以作为高三学子在高考前更应重视、加强这方面的训练。

勾股定理

如图1所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上，现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的

大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动，则在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力FN的变化情况是（ ）

A. F逐渐增大，F摩保持不变，FN逐渐增大；

B. F逐渐增大，F摩逐渐增大，FN保持不变；

C. F逐渐减小，F摩逐渐增大，FN逐渐减小；

D. F逐渐减小，F摩逐渐减小，FN保持不变。

图1

析：以环、绳及物体整体为研究对象，受力如图1-1所示，根据平衡条件有：

mgFN；FF摩

图1-1

在物体缓慢下降的过程，系统仍然在此四个力的作用下处于平衡状态，仍然有关系式mg=FN，由牛顿第三定律可知：物体缓慢下降过程中环对杆的压力FN保持不变，F与F摩仍满足大小相等，方向相反，所以两个力同时发生改变，关键是判断物体在下降过程中F的变化规律。

以物体为研究对象，受力如图1-2所示，由平衡条件可知：mg与F的合力与绳子的拉力FT等大反向，F大小满足关系式Fmgtan，在物体缓慢下降过程中，物体的受力情况及平衡状态保持不变，所以关系式Fmgtan仍然成立，但θ逐渐减小，所以F也随之减小，F摩也随之减小，D答案正确。

图1-2

小结：此题为高中阶段最常见的三力平衡问题，而力的合成法（这儿用的是力的合成思想，当然也可用力的正交分解来求解）与正交分解法是进行力的运算时最基本的方法。同时需要借助数学知识中的正、余弦定理，相似三角形规律，直角三角形中勾股定理和三角函数进行综合求解，同学们应具备这种应用数学规律解决物理问题的能力，尤其要熟练掌握应用直角三角形中勾股定理和三角函数来解决物理问题。

正弦定理

在三角形中，边与所对角的正弦之比相等，即的正弦定理。

例5．某人在静水中划船的划行速度v1=3m/s，若他在河宽300m，水速度v2=1m/s的河中从岸边匀速划行，要使船到达正对岸A点上游100m的B处，则船头指向与上游河岸的夹角为多少？

解析：如图（a）所示，欲使船到达B处，必须保证合速度v沿OB方向，其速度合成矢量三角形如图（b）所示。

设∠AOB=a，则合速度v和水流速度v2夹角为（90°+a）。若船头指向与上游河岸夹角为，在图（b）矢量三角形中，由正弦定理可得：

abc，此即三角形中sinAsinBsinC

v1v，

sin(90a)sin即sinOA310vcos,其中cos，

OB10v1∴sin0.8，即=53°。

在物理解题中巧妙应用数学方法，能拓宽解题思路，培养创新意识，提高应用数学方法解决物理问题的能力。

余弦定理

例：2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）

解析：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地球转动的角速度，由万有引力提供向心力得

R L

式中G为万有引力常量，因为同步卫 O α

地心

星绕地心转动的角速度与地球自转的角

2速度相等，有

图8

T在地球表面又有GGMmmr2

2rMmmg

2R设嘉峪关到地球同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理得

Lr2R22rRcos

所求时间tl

c2313由以上各式得

tRgT4222RgT2R2R42c22cos

这些问题都涉及到各物理量的矢量关系和几何关系，解题时关键是要非常注意分析各物理量的矢量、矢量关系、几何关系。

我们知道物理的基本规律，除了用抽象的物理公式描述之外，还可以利用函数图、矢量图、几何图、示意图等直观、形象、概括地表示。为此，要熟悉各种图象的作图方法、物理意义等到，常握有关物理量的矢量性，理解物理过程的几何关系。这对加深理解基本概念、熟悉基本规律的应用和培养形象思维能力，都具有重要意义。而且，应用三角形的知识解题能够直观、简捷地得出结论。

相似形

如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。

例．质量为m的小球B（小球半径忽略不计），用一根长为L的细绳悬吊起来放在半径为R的光滑球面上，如图所示，设悬点A到球面的最短距离AC=S，求：（1）小球受球面的支持力多大？

（2）悬线对小球的拉力为多大？

解析：小球受重力mg，拉力T，支持力N作用而处于静止状态，所以T与N的合力F与重力mg大小相等，方向相反，如图所示。

∵△BNF∽△OBA

∴NRNBOR，即，故Nmg；

mgSRFAOSRTLTABL, 即，故T

mg。mgSRFAOSR

例：如图6所示，有两个带有等量的同种电荷的小球A和B，质量都是m，分别悬于长为L的悬线的一端。今使B球固定不动，并使OB在竖直立向上，A可以在竖直平面内自由摆动，由于静电斥力的作用，A球偏离B球的距离为x。如果其它条件不变，A球的质量要增大到原来的几倍，才会使AB两球的距离缩短为x。

2分析与解：A球受三个力作用：mg、FT、F电且三力平衡，如图7所示。

由相信似三角形的知识可知：

当AB距离为X时，mgL ①

F电x O

L L

A

X B

图6

当AB距离为x时，2mgl ②

xF电2 O

L

FT L

F电

A X

B

q2k2F电m1x①②得：

2m2F电8q2kx()22m8m

答案：8

解题小法：本题利用“相似三角形”求解动态平衡问题。这类问题的特点是：物体在三力作用下的动态平衡，且其中一个力大小和方向恒定，其它两个力的大小和方向都可变，这些变化是由物体间距离的变化引起的，且题目还给出了有关边的长度，这时要注意力的矢量三角形和几何三角形相似的几何知识运用。

物理极值与中学数学知识整合事例

运用二次函数求极值

1、利用二次函数极值公式求极值

对于典型的一元二次函数yaxbxc,

24acb2byminx4a；

2a时,y有极小值，为若a0,则当4acb2bymaxxa04a；

2a若,则当时,y有极大值，为例1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为S1Vt，

2汽车做匀加速运动，其位移为：S212at2

13SS1S2Vtat26tt222 两车相距为：这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。

t当b62(s)时，S有最大值2a2(3/2)

Sm4acb24a0624(3/2)6(m)

2、利用一元二次方程判别式求极值

对于二次函数yaxbxc，可变形为一元二次方程axbxcy0

22用判别式法b4acb4a(cy)0 即：y22b24ac4a

则由不等式可知y的极值为：b24ac4a

对于例题1，我们可以转化为二次方程求解。

将SS1S26t32t 可转化为一元二次方程：3t212t2S0

222要使方程有解，必使判别式b4ac124(3)(2S)0

解不等式得：S6，即最大值为6m

3 利用配方法求极值

b24acb)对于二次函数yaxbxc，函数解析式经配方可变为ya(x

2a4a224acb2b若a>0时，当x时，y有极小值为ym

4a2a4acb2b若a<0时，当x时，y有极大值为ym

4a2a对于例题1还可用配方法求解。

（二）利用不等式求极值

1、如果a，b为正数，那么有：ab2ab ，当且仅当a=b时，上式取“=”号。

推论：

①两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。

②两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。

2、如果a，b，c为正数，则有abc3abc ，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。

推论：

①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。

②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大。

例2、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？

解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：

P=mg υcosα=mgυsinθ…………①

小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：

OLAmgLcos12mv2……………②

C解①②可得：Pmg2gLcossin2mBg

令y=cosθsinθ

ycossin21(2cos2sin4)2

1(2cos2sin2sin2)2又2cos2sin2sin22(sin2cos2)2根据基本不等式abc3abc，定和求积知：

当且仅当

2cos2sin2，y有最大值

由2cos21cos2得：cos33

结论：当cos3时，y及功率P有最大值。

3(三)利用三角函数求极值

1、利用三角函数的有界性求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。若所求物理量表达式可化为“yAsincos”的形式，可变为y当45时，y有极值1Asin2，

2A。

2

例3、如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?

此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。

解：设斜面倾角为θ时，斜面长为S，物体受力如

b…………①

cos1由匀变速运动规律得：Sat2…………②

2图所示，由图知S由牛顿第二定律提：mgsinθ=ma…………③

联立①②③式解得：t2Sa2bgsincos4b

gsin2可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，sin2θ有最大值，t有最小值。

即θ=45°时，有最短时间为：tmin4b

g2、利用“化一”法求三角函数极值。对于复杂的三角函数，例如yasinbcos，要求极值时,先需要把不同名的三角函数sin和cos，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”。

yasinbcosa2b2(aab22sinbab22cos)

a2b2(cossinsincos)

a2b2sin()其中tanb

a22故y的极大值为ab。

例题4、物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？

该题的已知量只有µ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。

解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，

即Fcosf0……①

NFsinG……②

fN…………③

由联立①②③解得：

FGGG,

22sincos1(sincoscossin)1sin()1其中tan, ∴Fmin12G

（四）利用向量求极值

向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连后，必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短可求极值。

对于例题4，我们也可用矢量知识求极值。

将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F'，如图，F’与竖直方向的夹角为tanNmg

Φf（为一定N值）。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如右图所示。只用当F与F’垂直时，即拉力与水平方向成角时，拉力F最小为FGsin

而sintan1tan21

2

故FGsinG12（五） 用图像法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。

例5、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。

解：设最大速度为vm,即加速阶段的末速度为vm：

画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面

积等于位移。即：

V/m.1tVm

21即：5020Vm解得：V2S2m5m/s

（六）利用数学求导的方法求极值

如果当Δx→0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tanα。如果f '(x0) =0, 则在x0处函数有极值

例6、如图所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电量为q，质量为m的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？

解：由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线

上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线

上的D点时，由图可知

FDFF合2F1sin2故其加速度为：

kQqsin

(L/cos)2Q+ALC·L+BQaF合m2kQqsincos2mL22kQq(sinsin3)

2mL发现加速度是一个关于θ的函数，令f()sinsin3

则f(）的导数为f'()cos3sin2cos

令f'()0,即cos3sin2cos0

解得：sin3，（900有极值,不合题意）

3

3332即arcsin时，f()有极大值为3

3339所以当arcsin23时，加速度有最大3R值为：4KQq3

9mL2Ra

R3

例7、如图2所示的电路中。电源的电动势ε＝12伏，内阻r＝0.5欧，外电阻R1＝2欧，R2＝3欧，滑动变阻器R3＝5欧。求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?

分析：设aP间电阻为x，外电路总电阻为R. 则：

p

b

V

图2

R(R1X)(R2R3X)R1R2R3

(2X)(35X)235(2X)(8X)10 先求出外电阻的最大值Rmax再求出伏特计示数的最大值Umax。本题的关键是求Rmax，下面用四种方法求解Rmax。

[方法一] 用顶点坐标法求解

抛物线方程可表示为y＝ax+bx+c。

2(2x)(8x)x26x16考虑R＝=，

1010设y＝-x+6x+16，

2(3)263166b当x＝＝ —＝3时，Rmax(3)＝ ＝2.5Ω。

102(1)2a[方法二] 用配方法求解

x26x16(x3)225(2x)(8x)考虑R＝ ＝=。

101010即x＝3Ω时，Rmax＝252.5Ω。

10[方法三] 用判别式法求解

x26x162考虑R＝ ，则有-x+6x+16-10R＝0，

10Δ＝b-4ac＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即：100-40R≥0，

R≤2.5Ω，即Rmax＝2.5Ω。

[方法四] 用均值定理法求解

考虑R＝2(2x)(8x)，设a＝2+x；b＝8-x。

10(23)(83) ＝2.5Ω。

10当a＝b时，即2+x＝8-x，

即x＝3Ω时，Rmax(3)＝

[(2x)(8x)]2也可以用上面公式(a+b)max＝＝25，

2(ab)max25Rmax＝＝＝2.5Ω。

1010以上用四种方法求出Rmax＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。

Imin＝Rmaxr＝12＝4(A)。Umax＝ε- Iminr＝12-40.5＝10(V)。即变阻器的2.50.5滑动头P滑到R3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。

以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。求最大和最小值问题，这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力。

解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念，基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识。

综上所述，无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化。

数形结合的思想

数学提供定量分析的手段，因此它可以为一切学科服务，当然也包括物理。而物理又多通过定性分析的途径，解决科学问题，当然也包括数学问题。二者在科学界的地位是等同的，在解决不同问题上又各有利弊。因此，研究数学问题与物理问题的简单转化是必要的。

数学与物理的转化问题又是一个既有广度又有深度的问题，我们今天只来进行浅谈，初步了解一下此类问题的思维方式。

总听到人们说，数学是物理的解题工具。但这个工具你真的了解吗，真的能得心应手的应用吗？你清楚工具的特性吗？让我们先来举几个例子吧。

1.质量为m的小物块，以初速为v放在质量为2m的固定木板上，刚好滑到右端。那么，把木板平分成两部分，放在光滑水平面上，小物块还以同样的初速放上，会不会滑出木板？

这是一道一般的能量问题，有umgl=1/2mv2

umgl’=△Ek

又因为，不固定后当小物块和木板有共同速度时相对静止，此时，一定△Ek小于Ek

泽，l>l’。 所以不会滑出。

可是，这样解释只是大略定性描述物体的运动，横牵强，还有许多物理关系没有搞清楚。让我们换个思路，从数学图像角度来看这个问题。

如图，为小物块运动的v-t图。兰线表示木板固定的运动，路线表示木板不固定的运动，黄线分大三角形为面积相等的两部分。那么，红线表示木板不固定又分为两部分后，后一部分的运动。图中面积表示物体运动的位移。显然，红线兰线和绿线围城的面积小于兰线和坐标轴围成的面积，即，第二次走的位移小，一定没有出去。

2.电源最大输出功率的研究

我们都知道，党外电路电阻等于电源内阻时，输出功

率最大。通常是列出公式，在求最大值。

我们再以上题的思路解这道题来看一看。

作电路的u-I图，兰线表示电源工作时的伏安特性曲线，红线表示外电路电阻的特性曲线，两线交点为工作点。交点横纵坐标的乘积为输出功率。设兰线y=kx+b,则p=x(-kx+b)

（k>0） 可知,当x=-b/(2k)时，y有最大值。即，工作点为兰线和坐标轴围成的三角形的斜边中点。此时，两直线斜率的绝对值相等，即，外电组和电源内阻相等。

同样的，当求某直角三角形内接矩形面积最大值时，可转化为物理原理，这样自己解题的思路就拓宽了许多。

显然这种方法很直观，但想法巧妙，需要多练习才能培养出以上的思维模式。

3.两相干波源，每个质点振动强弱的研究

振动加强的充要条件 s=△l=nλ

振动减弱的充要条件 s=△l=(2n-1) λ/2

波源

如图，颜色的深浅表示振动的强弱。一纵轴为旋转轴，旋转一周，所得的圆锥曲面为振动的特性曲面。

这是物理和数学解析几何的极好的结合。

再举个小例子。阿基米德原理的由来众所周知，但你想过吗？其实这是一个数学问题——测量不规则物体的体积。这是一类很难的数学问题，但阿基米德却巧妙的将之转化为物理问题。可见有些数学问题是可以利用物理原理巧妙的解决的。

那么，让我们看几个具体问题。

1. A、B、C三村，共有入学儿童mA 、mB 、mC人，现要在三村之间设立一学校，问学校设在何处时最为合理？

这是一道历史名题，由波兰数学斯泰因豪斯提出，首见于《数学万花筒》一书。题中最为合理的含义，是指所有学童往返路程之和最短，不考考虑其它因素。

初看题目，用数学方法似乎很困难。让我们换个思路，建立一个物理模型。

如图。用三根细线，各系重物mA 、mB 、mC，三线另一端结于一点O。在台面上按相对比例设三点A、B、C，分别代表三个村庄。三点处各有一小孔，三重物通过三孔自然下垂，而结点O留在台面上，如图所示。当此系统达到平衡时，结点O的位置就给出学校的正确位置。（忽略所有摩擦力）

下面给出证明。

设三细线长度分别为LA、LB、LC，下垂长度分别为SA

、SB、SC留在台面上长度分别为dA=LA-SA,db= LB -SB,dc= LC-SC。于是，三村儿童往返路程总合即为∑s=mAdA +mB db +mC dc =（mA LA+mB LB +mC LC）+（-mA SA-mB SB -mC

SC）

上式第一个括号内为恒量，而第二个括号内为系统重力势能（取台面为势能零点）。当系统达到平衡时，重力势能最小，故左端∑s亦取最小值。

显然，物理方法更直观的给出了问题的结论。

2. 证明：三角形三条中线交于一点，且交点将每一条中线分为2：1两部分。（如图）

m

这是一道极普通的数学问题。我们今天不再多说数学证明方法。让我们从物理角度重新审视这道题。

（1）设三角形ABC三边为三根质量可以忽略的轻杆，在三顶点处置三个质量相同（m）的质点。考察BC 杆，显然，B、C两质点系的质心应在SC杆的终点D处，因此，三质点系的质心应位于中线AD上。

同理，系统质心也应位于中线BE与CF上，但系统的质心应是唯一的，故三条边中线应交于一点。（如图）

（2）设质心为O。已知质点B与质点C的质心位于D点，故两质点系B、C与置于D点的质点（2m）等效。于是O可看作质点A（m）与质点D（2m）的质心，由质心计算规则，有

OA=2OD

同理，可得 OB=2OE ，OC=2OF。

通过这道题，我们不但拓宽了解数学题的方法，而且对物理概念的认识上升了一个高度。

3.在三角形ABC求一点O，使得s=OA+OB=OC为最小。

我们再尝试建立物理模型解决 。

如图。作三角形ABC，取三根相同的弹簧，原长皆为l0，劲度系数皆为k，将三弹簧之一端连在一起。在A、B、C三顶点用铰链连接三根细棒AA’、BB’、CC’长度皆为L。三棒可分别绕A、B、C自由转动。将连在一起的三弹簧拉伸，使另三个断点分别系于A’、B’、C’。调节细棒位置，使三弹簧保持直线状态并分别通过A、B、C三点，这时三弹簧公断端点O便给出处所求点位置。

再给出证明。

m

o

2m

设三弹簧完全遵从胡克定律，则有U=1/2（k△l），平衡时三弹簧总势能应为最小，即

∑U=UA+UB+UC=(1/2)k(k△lA+ k△lB+ k△lC)

=1/2（OA+0B+OC）

取最小值,也即OA+0B+OC取最小值，故O点即为所求。

其实，物理与数学的转化是一个横有深度的问题，它的千变万化还等待着我们去发现。

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