t高一二倍角公式

2024年1月16日发(作者：)

高一（上）数学专题讲座：倍角公式与半角公式

小结：试卷较难

1. 二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

2tanαtan2α＝．

1－tan2α2. 降幂公式

1－cos2α1＋cos2αsin2αsin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝．

222

注意：1、 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．

2. 降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．

基础题

ππ41. 已知sinα＝－，α∈－，，则sin2α＝__________．

522π324 α∈－，0，cosα＝.∴ sin2α＝2sinαcosα＝－.

525232. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________．

331解析：∵ sinα＋cosα＝，∴ (sinα＋cosα)2＝，

33223∴ 2sinαcosα＝－，即sin2α＝－.∵ α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，333π3∴ 2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，

243∴ 4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴ 2α为第三象限角，

25∴ cos2α＝－1－sin22α＝－.

3π33若sin(＋θ)＝，则cos2θ＝________．

25π337解析：∵ sin＋θ＝，∴ cosθ＝，∴ cos2θ＝2cos2θ－1＝－.

525254. 函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．

2π1解析：∵ f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴ T＝＝π.

225π7π难5若≤α≤，则1＋sinα＋1－sinα＝________．

225π7π5π7πα解析：∵ ≤α≤，∴ ≤≤.∴ 1＋sinα＋1－sinα＝22424αααααα2αα2α1＋2sincos＋1－2sincos＝＋＝－(sinsin＋cossin－cos222222222

αααα＋cos)－sin－cos＝－2sin.

2222π6. 设sin2α＝－sinα，α∈，π，则tan2α＝________．

2π解析：由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα.又α∈，π，故sinα≠0，于22tanα2×（－3）13是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－3，∴ tan2α＝2＝221－tanα1－3＝3.本题求出角来，再代值

π17. 设sin＋θ＝，则sin2θ＝________．

43π2111解析：sin＋θ＝(sinθ＋cosθ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin2θ)＝，∴

329427sin2θ＝－.

98. (2014·常州期末)函数y＝2sin2x＋3cos2x－4的最小正周期为__________．

2π313：由降幂公式知y＝(1－cos2x)＋(1＋cos2x)－4＝cos2x－，所以周期T＝＝π.

2222

19 若3sinα＋cosα＝0，则2＝________．

cosα＋sin2α11解析：3sinα＋cosα＝0cosα≠0tanα＝－，＝23cosα＋sin2αcos2α＋sin2α1＋tan2α10＝＝.

cos2α＋2sinαcosα1＋2tanα310．[2014·大连模拟]2＋2cos8＋21－sin8化简结果是( )

A．4cos4－2sin4

C．2sin4－4cos4

B．2sin4

D．－2sin4

解析：原式＝4cos24＋2sin4－cos42＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4，故选D.

考向一 化简求值

1、 计算：(tan10°－3)·sin40°.1，2为同一类型

解：原式＝＝

sin10°－3cos10°·sin40°

cos10°2（sin10°cos60°－cos10°sin60°）sin40°－2sin50°sin40°＝

cos10°cos10°－2sin40°cos40°－sin80°＝＝＝－1.

cos10°cos10°2、sin50°(1＋3tan10°)．

3sin10°解：原式＝sin50°1＋

cos10°cos10°＋3sin10°sin30°cos10°＋cos30°sin10°＝sin50°·＝2sin50°·

cos10°cos10°sin40°2cos40°sin40°sin80°＝2sin50°·＝＝＝1.

cos10°cos10°cos10°

π13、 已知α∈0，，tanα＝，求：

22π(1) tan2α的值；(2) sin2α＋的值．

32tanα14解：(1) 因为tanα＝2，所以tan2α＝1－tan2α＝3.

(2) 因为α∈0，π2，所以2α∈(0，π)．

又tan2α>0，所以sin2α＝435，cos2α＝5.

所以sinπ2α＋π3＝sin2αcos3＋cos2αsinπ3＝45×12＋35×34＋332＝10.

考向二 给值求角

1 已知α、β∈(0，π)，且tan(α－β)＝112，tanβ＝－7，求2α－β的值．

11解：∵ tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ2－711－tan（α－β）tanβ＝1＋11＝3>0，∴2×7∵ tan2α＝2tanα2×131－tan2α＝2＝3π1－14>0，∴ 0<2α<2，

33＋1∴ tan(2α－β)＝tan2α－tanβ471＋tan2αtanβ＝1－31＝1.

4×7∵ tanβ＝－17<0，∴

π2<β<π，－π<2α－β<0，

∴ 2α－β＝－3π4.

考向三 二倍角公式的综合应用

1、 已知函数f(x)＝4sinxcosx＋π3＋3.

(1) 求f(x)的最小正周期；

(2) 求f(x)在区间ππ－4，6上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

解：(1) f(x)＝4sinx(cosxcosππ3－sinxsin3)＋3

＝2sinxcosx－23sin2x＋3

＝sin2x＋3cos2x＝2sinπ2x＋3.

所以T＝2π2＝π.

(2) 因为－ππππ2π4≤x≤6，所以－6≤2x＋3≤3，

所以－12≤sin2x＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2.

当2x＋πππ3＝－6，即x＝－4时，f(x)min＝－1，

0<α<π2.

πππ当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.

3212

π2. (2014·扬州期末)函数y＝sin2x＋cos2x－的单调递增区间是________．

31123解析：用降幂公式化简可得y＝(1－cos2x)＋[1＋cos(2x－π)]＝1＋2232πππππ5sin2x－，从而令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，解得－＋kπ≤x≤π＋kπ23212123(k∈Z)．

π1＋2cos2x－43. 已知函数f(x)＝.

πsin－x2(1) 求函数f(x)的定义域；

ππ(2) 求f(x)在区间－，上的最大值与最小值．

42ππ解：(1) 由题意sin－x≠0，即sinx－≠0，

22ππ从而x－≠kπ(k∈Z)，即x≠kπ＋(k∈Z)，

22π故所求f(x)的定义域为xx≠kπ＋，k∈Z.

2π1＋2cos2x－41＋cos2x＋sin2x(2) f(x)＝＝

cosxπsin－x22cos2x＋2sinxcosxπ＝＝2cosx＋2sinx＝22sinx＋.

cosx4πππ3π∵ －≤x＜，∴ 0≤x＋＜，

4244πππππ∴ 当x＋＝0，即x＝－时，f(x)在区间－，上的最小值是0；当x＋＝44442ππππ，即x＝时，f(x)在区间－，上的最大值是22.

2442π34. (2014·天津卷)已知函数f(x)＝cosx·sinx＋－3cos2x＋，x∈R.

43(1) 求f(x)的最小正周期；

ππ(2) 求f(x)在闭区间－，上的最大值和最小值．

44313f(x)＝cosx·sinx＋cosx－3cos2x＋

422133133＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋

224444π131＝sin2x－cos2x＝sin2x－，

44232π所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2πππππ(2) 因为f(x)在区间－，－上是减函数，在区间－，上是增函数，f－1241244

ππ1ππ111＝－，f－＝－，f＝，函数f(x)在区间－，上的最大值为，最小值为－4122444441.

2

作业：

1、已知函数f(x)＝－2sin2x＋23sinxcosx＋1.

(1) 求f(x)的最小正周期及对称中心；

ππ(2) 若x∈－，，求f(x)的最大值和最小值．

632ππ解：(1) f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.令26kπππkππsin2x＋＝0，则x＝－(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为－，0(k∈Z)．

2126212ππ5ππππ1(2) 因为x∈－，，所以－≤2x＋≤.所以－≤sin2x＋≤1，所以－6662663ππ1≤f(x)≤2.所以当x＝－时，f(x)的最小值为－1；当x＝时，f(x)的最大值为2.

66ππ2 (2014·全国)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间，上是减函数，则a的取值范围是62________．

答案：(－∞，2]

解析：f(x)＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1，令sinx＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为11ππ，1，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈，1.因为f(x)＝cos2x＋asinxx∈，，所以t∈22621ππ在区间，是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间2，1上是减函数．又对称轴为x62aa1＝，所以≤，所以a∈(－∞，2]．

442π13. 已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋(x∈R)，则f(x)在区间0，上的值域是24________．

π31解析：因为f(x)＝sin2x－cos2x＝sin2x－.

226ππππ13当x∈0，时，2x－∈－，，故所求的值域为－，.

6634222π317sin2x＋2sinx7＋x＝，π＜x＜π，求4. 若cos的值．

451241－tanx1775π解：由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π.

12434ππ3ππ4＋x＝，sin＋x＝－.，，cosx＝cos4＋x－ 又cos44545ππππ272＋xcos＋sin＋xsin＝－，从而sinx＝－＝cos，tanx＝7.

444410107227222－·－＋2－2sinxcosx＋2sin2x10101028故原式＝＝＝－.

751－tanx1－713．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝3，则sinA的值为________．

π由题意知，C－A＝2，且C＋A＝π－B，

B2BπBπB∴A＝－，∴sinA＝sin－＝cos－sin，

2424222113sin2A＝2(1－sinB)＝3，又sinA＞0，∴sinA＝3.