2024年1月15日发(作者：)
第二章开放式光腔与高斯光束
习题
1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:
其往返矩阵为:
"A
B 3
f 0
1
1=
1
1
A
"1 0、
、
<1
C
D ” 1
2
■ --
V R1
0
1 ―12
1
丿
R 0 1 ,2
丿
J
f
2L
L
1
R
2L(1-_ )
2
R2
2 2 2L
2L 2L 2L
4 + - (1
R1
1 R2
一
)] -[ (1- )(1-
R)]
1
飞
)
由于是共焦腔,
往返矩阵变为
r-1
一1丿
若光线在腔内往返两次，有
T2丿1
0)
10
可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
3.激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面镜组成，工作 物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜
Mj和M2的曲率半径分别为
R和R2，
Ri=Tm,R2=2m
工作物质长I = 0.5m，折射率n
=1.52
根据稳定条件判据:
(1)
其中
由(1)解出
由(2)得
所以得到:
2m〉L、1m
L =L'+0.5x(1 -丄)=『 + 0.17
1.52
2.17m>L A1.17m
4.图2.1所示三镜环形腔，已知I，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径
在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成
的平面内传输的子午光线，式 (2.2.7)中的f =(Rcos8)/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢
光线，f=R/(2cos0), 0为光轴与球面镜法线的夹角。
图2.1
y 1 0" z
A 1 0)
A
、
1 I )1 1 2I )1
=
1(1 1 [1
P D>
.0
丿「7 1
.0
1屮—— 1
7 f丿
B
解:
2I2 2
f2 I2 2
2
2
1甘2
3I -
2
稳定条件
-
；卫+1<1
-1 <
f2
f
左边有
l2
3L+2〉O
f
2f
Yi )
I ——1 >0
d
2
人f丿
1
—―
If
f
所以有—
>2或
f丄<1
对子午线：
对弧失线：
R=cos 日
子午
2
R
f弧失
有：
2cos
日
<
2L <3
或
2L <1
Rcos日
或
Rcos日
所以
4 2 4
—^l cR vT或R》〒l
3
品 J3 V3
同时还要满足子午线与弧失线
症l
9 2 3
5.有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器， L=30cm,
d =2a =0.12cm
,入=632.8nm镜的 反射率为r,
=1』2
=0.96
,其他的损耗以每程 0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共
TEM
00模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.5作一个大 略的估焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择
计。氦氖增益由公式计算。
八心10*
解：设TEM
01模为第一高阶模,
并且假定TEM
00和TEM
0i模的小信号增益系数相同，用g表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式
0
-0.003)A1
e°7r1?(1-61
-0.003) v1I
II
gl
根据已知条件求出腔的菲涅耳数
2
a
N = — = ------------ =1.9
0.062
由图2.5.5可查得TEM
00和TEM。勺模的单程衍射损耗为
600
-10」.37
61
"O"6
氦氖增益由公式
egU =1 +3X10^丄
d
0| 0.
计算。代入已知条件有
egl =1.075。将eg l、600、601、r1和r2的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足
件，则要求
g A 0.047
根据图2.5.5可以查出对应于
601的腔菲涅耳数
N'c0.90
由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长
2a £
JL扎N '
= 2 J300X632.8X10出
X0.9 = 0.83mm
因此，只要选择小孔阑的边长略小于 0.83mm即可实现TEM
00模单模振荡。
6.试求出方形镜共焦腔面上
TEM
30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗?
解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的
TEM
30模的场分布可以写成
V30（x, y）虫30出
令X = J2兀/（LQx，则I式可以写成
x+
V30（x,y）=C30H3（X ）e
（L^
式中H3（X ）为厄米多项式，其值为
H3（X ）=8X3-12X
由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令
H3（X ） = 0，得
式的条
II
X^0;X^ 73/2； X^-73/2
考虑到©OS
= J□而，于是可以得到镜面上的节点位置
C 73
X"*
二-矶sX
—于矶s
273
所以，TEM
30模在腔面上有三条节线，其 x坐标位置分别在0和±屆os/2处，节线之间
位置是等间距分布的，其间距为
J3G)OS/2 ；而沿y方向没有节线分布。&今有一球面腔，
R,
=1.5m，
R2 = -1m，
L=80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：该球面腔的g参数为
gj =1-丄=0.47
Ri
瓦"
8由此，9^2
=0.85，满足谐振腔的稳定性条件
0 c gig^1，因此，该腔为稳定腔。
两反射镜距离等效共焦腔中心 0点的距离和等价共焦腔的焦距分别为
Z1=
LR—L) 一 1.31m
(L-R1)+(L-R2)
Z2
二
一L(R—L)十.51m
(L-R1)+(L-R2)
f =严-恥-皿戶.0.50m v [(L-R)+(L-R2)]
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。
等价共焦腔
14.某高斯光束腰斑大小为 ©0=1.14mm,
A = 10.6 口m。求与束腰相距 30cm、10m、1000m
远处的光斑半径 3及波前曲率半径 R。
解：入射高斯光束的共焦参数
2
w0
=—=0.385m
Z
根据
C0(z)= ©0 + I —
V f
f2
R(z) =z+ ——
z
求得:
z 30cm 10m 1000m
⑷⑵ 1.45mm 2.97cm 2.96m
R(z)
0.79m 10.0m 1000m
15.若已知某高斯光束之 ％=0.3mm,
A=632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的
q值。
解：入射高斯光束的共焦参数
2
w0
=—=44.7cm
Z
根据
q(z) =z +q0 =z + if，可得
束腰处的q参数为：q(0)=44.7icm
与束腰相距30cm处的q参数为：q(30) =(30+44.7i)cm
与束腰相距无穷远处的 q参数为：Re(q)T K,lm(q) =44.7cm
16.某高斯光束O50=1.2mm,几=10.6 口m。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的
距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。
解：入射高斯光束的共焦参数
f 二喧 “.427m
又已知F =2.0^104口，根据
2
(I -F)2 + f2
30cm
J(I-F)2+ f2
得
I
I,
10m
2.00cm
1m
2.08cm
10cm
2.01cm
0
2.00cm
2.40 ym 22.5 ym 55.3 ym 56.2 ym
f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不
从上面的结果可以看出，由于
论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。
17.
CO2激光器输出光
>.= 10.6 口m.
eo0=3mm，用一 F=2cm的凸透镜距角，求欲得到
c0=20
ym及2.5
ym时透镜应放在什么位置。
解：入射高斯光束的共焦参数
2
=—=2.67m
Z
已知F =2.0咒10°m，根据
&-F)2+f2
I=F+严—f2
*2
% =20
时，I =1.39m，即将透镜放在距束腰
1.39m处;
国0
= 2.5时，I =23.87m
,
18.如图2.2光学系统，如射光
即将透镜放在距束腰 23.87m处。
/w=10.6
ym
,求®0
及
13。
图2.2
解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置
由于l^F1，所以
h，= F,
=2cm
CO0 =
A
——F =22.49 口所以对第二个透镜，有
m
I =12
—I ' = 13cm
・2
兀®0
已知F2
= 0.05m，根据
4
——=1.499x10 m
(I -F2)F；
13 = F2 + ---
2 ----- 2
23 2
(I-F2) + f2
ft
«0
0 2
FJ(I-F2) + f
22叫=14.06^m,
I3
=8.12cm
19.某高斯光束c0 =1.2mm ,
Z = 10.6 口
m。今用一望远镜将其准直。 主镜用镀金反射镜 R=1m ,
口径为20cm ;副镜为一锗透镜，
F1=2.5cm，口径为1.5cm ;高斯束腰与透镜相距l=1m，如图2.3
所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。
解：入射高斯光束的共焦参数为
f =— = 0.427m
由于Fi远远的小于I
,所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上,
得到光斑的束腰半径
F1 ---- = 0.028mm
这样可以得到在主镜上面的光斑半径为
RA
o/(R)俺 ——-=6cm < 10cm
即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。
这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为
小1 +
占=101.9
FIY
呼0丿20.激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成,
它出射波长为几的基模高斯光束，今给定功f的实验原理及步骤。
率计，卷尺以及半径为 a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数
解:
一、实验原理
通过放在离光腰的距离为 Z的小孔(半径为a)的基模光功率为
_2a
2P(z) =R(1-e
*^2())
z(I)
式中，Po为总的光功率,
P(z)为通过小孔的光功率。记
P = P(z)，则有
(II)
2 a2
P0
注意到对基模高斯光束有
⑷在(II)式的两端同时乘以 兀/A，则有
兀2f+£f±
(z)
Z
f工
f
P0-Pi
)(III)
2
解此关于f的二次方程，得
Z
+ — =
A
(IV)
因为a、p0、
z都可以通过实验测得，所以由 (III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的
共焦参数f。
1. 如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点 B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用
)的距离Z；
卷尺测量出B到光腰0(此题中即为谐振腔的中心
2. 用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率
3. 移走光阑，量出高斯光束的总功率
P0
；
4•将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取 舍)。
