高中数学竞赛讲座同余

2024年1月4日发(作者：)

高中数学竞赛讲座之同余

【知识点】

1．设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作ab(modm)，否则，就说a与b对模m不同余，记作ab(modm)，显然，ab(modm)akmb,(kZ)m|(ab)；

每一个整数a恰与1，2，……，m，这m个数中的某一个同余；

2.同余的性质：

1).反身性：aa(modm)；

2).对称性：ab(modm)ba(modm)；

3).若ab(modm)，bc(modm)则ac(modm);

4).若a1b1(modm)，a2b2(modm)，则a1a2b1b2(modm)

特别是ab(modm)akbk(modm)；

5).若a1b1(modm)，a2b2(modm)，则a1a2b1b2(modm)；

特别是ab(modm),kZ则akbk(modm)

ab(modm),nN则ab(modm)；

6).a(bc)abac(modm)；

7).若acbc(modm),则当(c,m)1时，ab(modm)

当(c,m)d时，ab(mod8).若ab(modm1)，

nnm).特别地，acbc(momcd)ab(momd)；

dab(modm2)

ab(modm3)

………………

mn)，且M[m1,m2,mn]，则ab(modM)

ab(mod

数学

【例1】证明：完全平方数模4同余于0或1；

证明：设n是任一整数，则n2k或者n2k1,kZ;

（2k1)1(mod4);

当n2k时，n4k0(mod4);当n2k1时，n所以原命题成立；

【例2】证明对于任何整数k0,26k1222236k156k1能被7整除；

证：令M26k136k156k1M226k33516k6k

264k3729k15625k12(791)k3(71041)k(722321)k1

27A237B37C11(2311)(mod7)0(mod7)对于k0,且kZ,26k136k156k1都能被7整除；

注：a1(modb)a1(modb),kZ

【例3】试判断197119722627k197328能被3整除吗？

解：19710(mod3),19721(mod3),19732(mod3)197126197227197328(026127228)(mod3)即：197126197227197328(1228)(mod3)又2284141(mod3),(1228)2(mod3)197126197227197328不能被3整除；

【例4】能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为S1，S2，S3，S4，

10，S4S3＝10；且满足S2S1，＝10，S3S2＝

解：依题意可知：TS1S2S3S4＝S1S110S120S130T4S1600(mod4)19801981又T123198099019812(mod4)2产生矛盾，不能这样分组；

数学

【例5】在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。

解：记数列各对应项为ai,i1,2,10，并记Ska1a2akS1,S2,,S10依次为1、5，13、23、39、58、79、104、134、177它们被11除的余数依次为：1、5、2、1、6、3、2、5、2、1由此可得：S1S4(mod11)S10(mod11),S2S8(mod11),S3S7(mod11)S9(mod11)由于SkSj是数列{ai}相邻项之和，且当SkSj(mod11)时，11|SkSj，则满足条件的数组有：3137组nn1n2an1x1an是整系数多项式， 【例6】设f(x)a0xa1xa2x证明：若f(0),f(1),,f(1992)都不能被1992整除，则f(x)没有整数根；

证：假设f(x)有整数根m，且mr(mod1992),0r1992由题意f(r)不能被1992整除，f(m)0,则f(r)f(m)f(r)又f(r)f(m)a0(rnmn)a1(rn1mn1)an1(rm)mr(mod1992)miri(mod1992),i1、2、3、、nmiri0(mod1992),i1、2、3、、n1992|f(r)f(m)f(r)产生矛盾，f(x)没有整数根

【例7】试求出一切可使n21被3整除的自然数n；

n

数学

解：若3|n2n1，则n2n2(mod3)考虑到n及2n，则当n6k1时，(k0、1、2、)n2n(6k1)26k1(12k2)(31)k2(mod3)当n6k2时，(k0、1、2、)n2n(6k2)26k2(24k8)(31)k2(mod3)当n6k3时，(k0、1、2、)n2n(6k3)26k30(mod3)当n6k4时，(k0、1、2、)n2n(6k4)26k4(96k64)(31)k1(mod3)当n6k5时，(k0、1、2、)n2n(6k5)26k5(632k160)(31)k1(mod3)当n6k6时，(k0、1、2、)n2n(6k6)26k60(mod3)

由上可知当且仅当n6k1，6k2时，n2n能被3整除；【例8】在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂；

证：记由11111、11112、、99999排成的数为A，则：A＝a1a2a88889,ai{11111、11112、、99999}A＝a110444440a210444435a310444430a88888105a88889注意到1051(mod11111)105k1(mod11111),kZAa1a2a88888a88889(mod11111)又a1a2a88888a88889111111111299999即：a1a2a88888a8888911111588889A0(mod11111)A不可能是2的幂；

【例9】设a1,a2,an,是任意一个具有性质akak1,(k1)的正整数的无穷数列，求证可以把这个数列的无穷多个am用适当的正整数x,y表示为amxapyaq,(pq)

1111199999888892数学

证：将{an}按a2为模的不同剩余类分成若干个子数列{an}为无限集，而子数列却是有限多个至少有一个子数列有无穷多项现考虑这个无穷数列又{an}为严格递增的该子数列中必有一个最小的ap,apa2，同时还有无限多个am属于该子数列，且amapamap(moda2)amapxa2,xZ令y＝1，aqa2amyapxaqam是满足题意的要求，且am是无限多个

【练习】

1、证明：完全平方数模3同余于0或1；

证明：完全平方数模5同余于0、1或4；

证明：完全平方数模8同余于0、1或4；

证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；

证明：整数的四次幂模16同余于0或1；

，求a(在十进制中)的末两位数码；2、设aZ，且(a,10)1

20解：(a,10)1，a为奇数a20a(25)1(mod25)又a21(mod4)a201(mod4)

又(25,4)1a201(mod100)a20的末两位位01

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3.有一个120位的数，将它的12位数码以一切可能的方式重新排列，然后从按这种方法所得到的120位数中随意挑出120个数来，证明它们的和可以被120整除；证：设这120个120位数的前12个数码分别组成的数为：A1,A2,A120而每一数的剩下的108个数码组成了数B，则这120个数的和为：S＝(A1A2A120)10108120B考虑到40|10108，且A1,A2,A120每个被3除时余数相同3|A1A2A120,又(3,40)1120|(A1A2A120)10108120|S

4.连接写出19到80的两位数，问：所得到的数：1920217980能被1980整除吗？解：设A＝1920217980，显然20|A又100k(991)k99M1100k1(mod99)A191006120100607910080(1920217980)(mod99)

A3199(mod99)0(mod99)99|A又(20,99)11980|A

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