2022年全国高考真题-数学(文科)-甲卷(含答案)

2023年12月30日发(作者：)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）

数学（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

∣0x1．设集合A{2,1,0,1,2},Bx5，则AB（ ）

2A．0,1,2 B．{2,1,0} C．{0,1} D．{1,2}

2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（ ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3．若z1i．则|iz3z|（ ）

A．45 B．42 C．25 D．22

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

5．将函数f(x)sinxππ(0)的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C32关于y轴对称，则的最小值是（ ）

A．1111 B． C． D．

64326，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）

1122 B． C． D．

53537．函数f(x)3x3xcosx在区间,的图像大致为（ ）

22A．A． B．

C． D．

b取得最大值2，则f(2)（ ）

x11A．1 B． C． D．1

229．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为8．当x1时，函数f(x)alnx30，则（ ）

A．AB2AD

B．AB与平面AB1C1D所成的角为30

C．ACCB1

D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45

10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，S甲V甲=2，则=（ ） 体积分别为V甲和V乙．若S乙V乙A．5 B．22 C．10 D．510

4x2y2111．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，A1,A2分别为C的左、右顶点，Bab3为C的上顶点．若BA1BA21，则C的方程为（ ）

x2x2y2x2y2x2y21 B．1 C．1 D．y21

A．21816983212．已知910,a1011,b89，则（ ）

A．a0b B．ab0 C．ba0 D．b0a

mmm二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a(m,3),b(1,m1)．若ab，则m______________．

14．设点M在直线2xy10上，点(3,0)和(0,1)均在______________．

M上，则M的方程为x2y215．记双曲线C:221(a0,b0)的离心率为e，写出满足条件“直线y2x与Cab无公共点”的e的一个值______________．

16．已知△ABC中，点D在边BC上，ADB120,AD2,CD2BD．当最小值时，BD______________．

AC取得AB三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数

240

210

未准点班次数

20

30

A

B

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

n(adbc)2附：K，

(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k

0.100

2.706

0.050

3.841

0.010

6.635

k

18．（12分）

记Sn为数列an的前n项和．已知（1）证明：an是等差数列；

2Snn2an1．

n（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

19．（12分）

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面ABCD垂直．

（1）证明：EF∥平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

20．（12分）

已知函数f(x)xx,g(x)xa，曲线yf(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线32yg(x)的切线．

（1）若x11，求a：

（2）求a的取值范围．

21．（12分）

设抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF3．

（1）求C的方程：

（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为2,．当取得最大值时，求直线AB的方程．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

2tx6（t为参数）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为yt2sx6（s为参数）．

ys（1）写出C1的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cossin0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a,b,c均为正数，且a2b24c23，证明：

（1）ab2c3

（2）若b2c，则

113．

ac

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. A 2. B 3. D 4. B 5.C 6. C 7.A 8.B 9. D 10. C 11. B 12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

313.

##0.75

414.

(x1)2(y1)25

15. 2（满足1e16.

5皆可）

31##1+3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.

（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为（2）有

18.

（1）证明见解析；

（2）78．

19.

（1）

127，

138如图所示：，

分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，因为EAB,FBC为全等的正三角形，所以EMAB,FNBC，EMFN，又平面EAB平面ABCD，平面EAB平面

所以EM平面ABCD，同理可得FN平面ABCD，ABCDAB，EM平面EAB，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，而EMFN，所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF//MN，又EF平面ABCD，所以EF//平面ABCD．

MN平面ABCD，（2）6403．

320.

（1）3

（2）1,

21.

（1）y24x；

（2）AB:x2y4.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.

（1）y6x2y0；

211,1C,CC,C1,2（2）31的交点坐标为，，32的交点坐标为,1，1,2．

22

[选修4-5：不等式选讲]

222222223.（1）证明：由柯西不等式有ab2c111ab2c，

所以ab2c3，

当且仅当ab2c1时，取等号，

所以ab2c3；

（2）证明：因为b2c，a0，b0，c0，由（1）得ab2ca4c3，

即0a4c3，所以11，

a4c32221293，

1112由权方和不等式知aca4ca4ca4c当且仅当121，即a1，c时取等号，

a4c2113所以ac.