2023年12月26日发(作者：)
第二讲 创造的基石——观察、归纳与猜想
当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的．
从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性．
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石．
“要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的．”______G．波利亚
链接：G．波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的《怎样解题》等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一．
观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想．
举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11．归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和．”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥．
例题讲解
【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下：
●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○„„
问：前2001个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题)
(2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，„叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ． (舟山市中考题)
思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示．
【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多只有一个交点三条直线相交，最多有三个交点四条直线相交，最多有六个交点．．．．．．像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )．
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 (湖北省荆门市中考题)
思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键．
【例3】化简9999991999 (第18届江苏省竞赛题)
n个n个n个思路点拨 先考察n1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确．
【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行； ．
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸„„
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥„„
从左向右数，第l列是甲子，第3列是丙寅„，问当第二次甲和子在同一列时，该列的序号是多少? ( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解．
链接：观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径：
(1)数与式的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．
归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律．然后证明通过归纳所猜测的规律的正确性．
【例5】图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图．
图
(a)
(b)
(c)
(d)
顶点数 边数 区域数
4
6
3
(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好)．
(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边? ( “华杯赛”决赛试题)
思路点拨 从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键．
链接：历史上著名的数学家欧拉曾经研究过正多面体，惊奇地发现了正多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)存在一个奇妙的相等关系：VFE2．史称“欧拉公式”，它不仅在数学方法上有所创新，而且推动了现代数学的重要分支——拓扑学的发展．
n【例6】已知m2，n2，且m，n均为正整数，如果将m进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在25的“分解”中最大的数是11；②在43的“分解”中最小的数是13；③若m的“分解”中最小的数是23，则m等于5．
其中正确的是____________． （太原市中考题）
3
思路点拨 明确对mn进行“分解”的意义，是解本例的关键．
【例7】观察图形寻找规律，在“？”处填上的数字是（ ）．
A．128 B．136 C．162 D．188 （南宁市中考题）
思路点拨 从探讨数字键的关系入手．
【例8】一楼梯共有n级台阶，规定每一步可以迈1级或2级或3级，设从地面到台阶的第n级，不同的迈法为an种，当n=8时，求a8． （河南省竞赛题）
2１３３323334１３５７43９１１２５２７２９842226144888?23５７９242思路点拨 先求出当n=1，2，3，4时，a1，a2，a3，a4的值，解题的关键是，从某级开始，寻找an与an1、an2、an3的联系．
基础训练
一、基础夯实
1.(1)如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,•根据图中的数构成的规律,a所表示的数是________.(2001年浙江省绍兴市中考题)
（1） （2）
(2)观察一列数:3,8,13,18,23,28,„依此规律,在此数列中比2000•大的最小整数是_________. (2003年金华市中考题)
2.如图2是2002年6月份的日历.现用一矩形在日历中任意框出4个数．．abcd,•请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系:__________.
3.下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成.
通过观察可以发现:
(1)第4个图形中火柴棒的根数是________.
(2)第n个图形中火柴棒的根数是________. (2001年江西省中考题)
n=1n=2n=3
4.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表,那么当输入数据是8时,输出的数据是( )
输入
输出
861„
„
81
122
253
3104
8674175
526„
„
A. B.
63 C.
865 D. (2003年重庆市中考题)
5.在以下两个数串中:
1,3,5,7,„,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,„,1990,1993,1996,•1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个
A.333 B.334 C.335 D.336 (“希望杯”邀请赛试题)
6.图①是一个水平摆动的小正方体木块,图②、•③是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,•小正方体木块总数应是( ).
A.25 B.66 C.91 D.120 (2003年宁波市中考题)
7.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,•每一个数都是前两个数的和,也就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,„问:•这串数的前100个数中(包括第100个数),有多少个偶数? (“华杯”赛试题)
8.自然数按下列的规律排列：
(1)求上起第10行,左起第13行的数;
(2)数127应在上起第几行、左起第几列? (北京市“迎春杯”竞赛题)
二、能力拓展
9.(1)观察下列各式,你会发现什么规律?
3×5=15, 而15=42-1,
5×7=35, 而35=62-1,
„ „
11×13=143, 而143=122-1,
„ „
将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_______.
(2000年济南市中考题)
(2)将1,-第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
„
111171412,13,-14,15,-16„按一定规律排成下表:
1
--12
1513
16
18
19
110 -112
113 -114
115 - -
„
19 从表中可以看到第4行中,自左向右第3个数是,第5行中从左向右第2个数是
-112,•那么第199行中自左向右第8个数是________,第1998行中自左向右第11•个数是________. (“希望杯”邀请赛试题)
10.有一列数a1,a2,a3,a4,„,an,其中
a1=6×2+1
a2=6×3+2;
a3=6×4+3;
a4=6×5+4;
„„
则第n个数an=_______;当an=2001时,n=________. (第15届江苏省竞赛题)
11.一个正方体,它的每一面上写有一个字,组成“数学奥林匹克”.有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示,那么,“学”字对面的字为______.(重庆市竞赛题)
（第11题） （第12题）
12.用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘,•正方形每边都等距离地摆n(•n•≥3)••盆花,••那么所需菊花的总盆数s•与n•的关系可以表示为________.
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
13. (新加坡数学竞赛题)如果一个序列ai满足a1=2,an+1=an+2n(n为自然数),那么a100是( )
A.9900 B.9902 C.9904 D.10100 E.10102
14. (2001年湖北省荆州市中考题)将正偶数按下表排成5列:
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
„„ „„ 28 26
根据上面排列规律,则2000应在( ).
A.第125行,第1列 B.第125行,第2列
C.第250行,第1列 D.第250行,第2列
115555的数是不是两个连续奇数的积,说明理15.(1)设n为自然数,具有下列形式11n个1n个5由.
3×333+1999,并说明在结果中共有多少个奇数数字? (2)化简33n个3n个3n个9
16.(1)图①是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图②、③、④、•⑤的木块.我们知道,图①的正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图②、③、④、•⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：
图
①
②
③
④
⑤
顶点数
8
棱数
12
面数
6
(2)观察此表,请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系是：____________________.
(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图②～⑤不同的切法,•把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为________,棱数为
_________,面数为________. (第16届江苏省竞赛题)
三、综合创新：
17.怎样的两个数,它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+2=2×2,其实这样的两个数还有很多,例如:3+32=3×32。
(1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗?
(2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究.
18. (2002年湖北省竞赛题)观察按下列规则排成的一列数:
,23456,,,,,,,,,,,,,,,„(※)
4321122001 (1)在(※)中,从左起第m个数记为F(m),当F(m)=时,求m的值和这m个数的积.
(2)在(※)中,未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为d,•是否存在这样的两个数c和d,使cd=2001000,如果存在,求出c和d;如果不存在,请说明理由.
答案:
1.(1)6,(2)2003. 2.a+b=c+d-14或a+c=b+d-2或a+d=b+c 3.13,3n+1 4.•C
5.B 提示:同时出现在这两个数串中的数是1～1999的整数中被6除余1的数,共有334个.
6.C
7.提示:观察已经写出的数,发现每三个连续数中恰有一个偶数,在前100项中,•第100项是奇数,前99项中有993=33个偶数.
8.提示:经观察可得这个自然数表的排列特点:
①第一列的每一个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;
②第一行第n•个数是(n-1)+1;
③第n行中从第一个数至第n个数依次递减1;
④第n列中从第一个数至第n个数依次递增1.
这样可求:(1)上起第10行,左起第13列的数应是第13列的第10个数,即[(13-1)2+1]+9=154.
(2)数127满足关系式 127=112+6=[(12-1)2+1]+5,即127在左起12列,上起第6•行的位置.
9.(1)(2n+1)(2n+3)=4(n+1)2-1;
(2)1197092,-11995014各行数的个数分别为1,2,3,„ ,求出第1行至第198行和第1行至第1997行共有多少个问题就容易解决.
10.7n+6,285 11.林 12.S=7×4(n-1)-5n=23n-8(n≥3) 13.B 14.C
3×3315.(1)提示:是,原式=333 5;
n个3(n1)个38结果中的奇数数字有n-1个. (2)原式=1112
88(n1)个1n个816.(1)略;(2)顶点数+面数-棱数=2;(3)按要求画图,验证(2)的结论.
17.(1)一般地,我们有(a+1)+(a1a)=
a(a1)(a1)a=(a1)a2=(a+1)·(a1)a
(2)类似的问题如:
①怎样的两个数,它们的差等于它们的商?
②怎样的三个数,它们的和等于它们的积?
18.(1)(※)可分组(),(34512,),(,,),(,,,),(,,,,),„
32112020021可知各组数的个数依次为1,2,3,„
按其规律22001应在第2002组(,,,„,)中,
该组前面共有1+2+3+4+„+2001=2003001个数,
故当F(•m)•=22001• •时,•m=2003001+2=2003003,
又因各组的数积为1,
故这2003003个数的积为
12002×22001=12003001。
(2)存在满足条件的c和d,c=20002n1,d=20021。
依题意,c为每组倒数第2个数,d为每组最后一个数,
设它们在第n组,则c= ∴n(n1)2n12,d=.
=2001000,即n(n-1)=4002000=2001×2000
200112 ∴n=2001,得c=
=20002,d=20011.
提高训练
1． 如图，由8个边长为1的正方体堆放在一起，请你在图形中找到一点B与点A连接起来，使得到的线段AB长度等于3．
2． 阳阳和明明玩上楼梯的游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级„„逐步增加时，楼梯的上法依次为1，2，3，5，8，13，21，„．那么上10级台阶共有______种上法．（武汉市中考题）
3． 瑞士中学巴尔默成功从光谱数据95，1612，2521，3632，„中得到巴尔默公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请按这种规律写出Ａ第七个数据时______．
（福州市中考题）
4． 已知一列数：1，-2, 3，-4, 5，-6，7，„将这列数排列成下列形式：
第一行 1
第二行 -2 3
第三行 -4 5 -6
第四行 7 -8 9 -10
第五行 11 -12 13 -14 15
„ „
按照上述规律排列下去，那么第10行从左边数第5个数是_______． (淮安市中考题)
5． 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，„，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①，②，③，④，相应矩形的周长如下表所示：
序号 ① ② ③ ④
周长 6 10 16 26
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是________． (温州市中考题)
1111①21122②33113③52511④4271…………………………………………………………………………………………6． 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．
A．1132 B．1360 C．1495 D．1660 (济南市中考题)
7． 阅读材料：大数学家高斯在上学读书的时候，曾经研究过这样一个问题：1+2+3+„+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+„n=12n(n1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+„+n(n1)=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=13(123012)
23341313(234123)
(345234)13将这三个等式的两边相加，可以得到122334读完这段材料，请你计算：
（1）1223100101；
（2）1223n(n1)；
（3123234n(n1)(n2)34520．
……1825…1359121924…22……．
28…151627… （内江市中考题）
8． 把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、„，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、„，则第十个数为________． （济南市中考题）
9． 如下数表是由1开始的连续自然数写成，并且每行最右边的一个数都是平方数：
1
234
56789
则表中第10行所写出的各数的和等于___________．
(2008年两岸四地少年数学邀请赛试题)
10．将正整数从1开始依次按图所示规律排成一个数阵，其中，2在第一个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，„„，那么，在第2007个拐角处的数是__________． （北京市竞赛题）
„222286
„„
13
11．池塘里有3张荷叶，A、B、C，一只青蛙在这三张荷叶上跳来跳去．若青蛙从A开始，跳k(k2)次后又回到A，并设所有可能的不同跳法种数为ak，则当k2时，ak与ak1之间的关系式是_______________，a8的值是___________．
（第19届江苏省竞赛题）
12．如图，A、B、C是固定在桌子上的三根立柱，其中A柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大．现想将这三个圆片移动到B柱上，要求是每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9 (重庆市竞赛题)
13．下面是一个按照某种规律排列的数阵：
根据你猜想的规律，2005应该排在：
（1）多少行？
（2）在该行上从左向右数的第几个数？
（北京市“迎春杯”竞赛题）
14．如图所示，每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的：第一次先在圆周上标出19ABC82936
„„，两92个数（如图甲），第二次又在第一次标出的两个数之间的圆周上，分别标出这两个数的和（如图乙），第三次再在第二次标出的所有相邻两数之间的圆周上，分别标出这相邻两数的和（如图丙）；按照此规则，以此类推，一直标下去．
（1）设n是大于1的自然数，第n1次标完数字后，圆周上所有数字的和记为Sn1；第n次标完数字后，圆周上所有数字之和记为Sn，猜想并写出Sn与Sn1的等量关系；
（2）请你求出S102的值． （重庆市竞赛题）
甲乙29194913丙593592913
