2023年12月21日发(作者：)
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台28.2 课后习题详解一、问答题1. 一家企业签署了一项上限合约，合约将3个月期LIBOR利率上限定为每年10％，本金为2000万美元。在重置日3个月的LIBOR利率为每年12％。根据利率上限协议，收益将如何支付，付款日为何时?A company caps three-month LIBOR at 10% per annum. The principal amount
is $20 million. On a reset date, three-month LIBOR is 12% per annum. What
payment would this lead to under the cap? When would the payment be made?答：应支付的数量为：20000000×0.02×0.25=100000（美元），该支付应在3个月后进行。2. 解释为什么一个互换期权可以看作是一个债券期权。Explain why a swap option can be regarded as a type of bond option.答：互换期权是是基于利率互换的期权，它给予持有者在未来某个确定时间进入一个约定的利率互换的权利。利率互换可以被看作是固定利率债券和浮动利率债券的交换。因而，互换期权可以看成是固定利率债券和浮动利率债券的交换的选择权。在互换开始时，浮动利率债券的价值等于其本金额。这样互换期权就可以被看作是以债权的面值为执行价格、以固定利率债券为标的资产的期权。即互换期权可以看作是一个债券期权。3. 采用布莱克模型来对一个期限为1年，标的资产为10年期债券的欧式看跌期权定价。假定债券当前价格为125美元，执行价格为110美元，1年期利率为每年10％，债券远期价格的波动率为每年8％，期权期限内所支付票息的贴现值为10美元。 1 / 19
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台Use Black’s model to value a one-year European put option on a 10-year
bond. Assume that the current value of the bond is $125, the strike price is $110,
the one-year interest rate is 10% per annum, the bond's price volatility is 8% per
annum, and the present value of the coupons to be paid during the life of the
option is $10.答：根据布莱克模型，F0=(125-10)e0.1×1=127.09，K=110，P（0，T）=e-0.1×1，σB=0.08和T=1.0。因此，看跌期权的价值为：（美元）4. 仔细解释你如何利用(a)即期波动率和(b)单一波动率来对一个5年期的上限定价。Explain carefully how you would use (a) spot volatilities and (b) fiat volatilities
to value a five-year cap.答：当利用即期波动率来对5年期的上限定价时，每一个上限单元都使用一个不同的波动率，而利用单一波动率来对上限定价时，所有的上限单元都使用相同的波动率，因而即期波动率是上限单元到期期限的函数，而单一波动率是上限到期期限的函数。5. 计算以下期权的价格：在15个月时将3个月期的利率上限定为13％(按季度复利)，这一区间的远期利率为12％(按季度复利)，本金为1000美元，第18个月时的无风险利率为每年11．5％(连续复利)，远期利率的波动率为每年12％。 2 / 19
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台Calculate the price of an option that caps the three-month rate, starting in 15
months time, at 13% (quoted with quarterly compounding) on a principal amount
of $1,000. The forward interest rate for the period in question is 12% per annum
(quoted with quarterly compounding, the 18-month risk-free interest rate
(continuously compounded) is 11.5% per annum, and the volatility of the forward
rate is 12% per annum.答：根据布莱克模型，在本题中，L=1000，δk=0.25，Fk=0.12，RK=0.13，r=0.115，σk=0.12，tk=1.25，P(0,tk+1)=0.8416。则该期权的价格为：=0.59（美元）6. 某家银行采用布菜克模型来对欧式债券期权定价。假定银行采用了5年期、标的资产为10年期的债券期权隐含波动率来对一个9年期的期权来定价。你所得到的价格会太高还是太低?解释你的答案。A bank uses Black's model to price European bond options. Suppose that an
implied price volatility for a five-year option on a bond maturing in 10 years is
used to price a nine-year option on the bond. Would you expect the resultant
price to be too high or too low? Explain.答：计算的价格会偏高。当为欧式债权期权定价时，应该取： 3 / 19
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台波动率σB=在到期时债券价格对数的标准差/期权期限的平方根 对于以10年期的债权作为标的资产的5年期的期权，当债权到期时，债权仍然有5年的剩余到期期限，对于以10年期的债权作为标的资产的9年期的期权，当债权到期时，债权仍然有1年的剩余到期期限，根据图28-4可知，通常地，在9年后所观察的1年期债券价格标准差会显著小于在5年后所观察的5年期债券价格标准差，因此计算出来的价格将会太高。图28-4 在将来时刻债券价格对数的标准差7. 考虑一个具有4年期限、标的资产为5年期债券的期权。5年期债券价格为105美元，与5年期债券具有同样票息率的4年期债券价格为102美元，期权执行价格为100美元，4年期无风险利率为每年10％(连续复利)，期权标的债券远期价格波动率为每年2％。关于以上债券的欧式看涨期权价格为多少?Calculate the value of a four-year European call option on a five-year bond
using Black’s model. The five-year cash bond price is $105, the cash price of a
four-year bond with the same coupon is $102, the strike price is $100, the four-year risk-free interest rate is 10% per annum with continuous compounding, and
the volatility for the bond price in four years is 2% per annum.答：根据题意可得： 4 / 19
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台4年期债券本金的现值为100e-4×0.1=67.032（美元）。因此，利息现值为102-67.032=34.968（美元）。这也是说，5年期债券的远期价格为：（美元）Black模型中的参数分别为：F0=104.475，K=100，r=0.1，T=4和σ=0.02，则：欧式看涨期权的价格为：（美元）8．某一看跌期权的期限为5年，标的资产为在10年后到期的债券，债券收益率波动率为22％，如何对这一期权定价?假定基于今天的利率下，债券在期权满期时的久期为4．2年，债券远期收益率为7％。If the yield volatility for a five-year put option on a bond maturing in 10 years
time is specified 22%, how should the option be valued? Assume that, based on
today's interest rates, the modified duration of the bond at the maturity of the
option will be 4.2 years and the forward yield on the bond is 7%.答：该期权应该用布莱克模型，即教材中的方程（28-2）进行定价。其中，债券价格波动率应为：即6.47%。 5 / 19
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台9. 什么样的金融产品等价于一个利率上限与利率下限执行价格相同的5年期零费用利率双限?这里的共同执行价格等于什么?What other instrument is the same as a five-year zero-cost collar where the
strike price of the cap equals the strike price of the floor? What does the common
strike price equal?答：一个利率上限与利率下限执行价格相同的5年期零费用利率双限等价于按浮动利率收入利息，而按照执行价格支付固定利率利息的利率互换协议。其共同的执行价格为互换利率。注意，该互换实际上是一份排除第一次交换的远期互换（参见教材业界事例28-1）。10. 推导关于欧式债券期权的看跌-看涨期权平价关系式。Derive a put call parity relationship for European bond options.答：对于债券期权来说，看跌-看涨期权平价关系式具有两种表达方式。第一种以债券的价格形式表示：其中，c是一份欧式看涨期权的价格，p是相应的欧式看跌期权的价格，I是期权到期前债券息票报酬的现值，K是执行价格，T是到期期限，B是债券的价格，R是期限等于期权到期期限的无风险利率。为了证明上式，需要考虑两份资产组合。第一个组合为一份欧式看跌期权加上债券；第二个组合为一份欧式看涨期权加上等同于息票现值和执行价格现值之和的现金。这两者在期权到期的时候价格应该相等，根据无套利原则，其起初的成本也应相等。所以，上式成立。 6 / 19
