2023年12月15日发(作者：)
清华微积分答案
a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场
向量值函数的切平面、微分、偏导
f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即
f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中
a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，
aij := ?fi/?xj)
f的全微分df=adx
当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)
div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm
复合函数求导
一阶偏导：
若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，
j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))
具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)
?f/?xj
= ?f/?u * ?u/?xj
= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}
高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数
例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))
?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151
隐函数、隐向量值函数
由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数
隐函数：
1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续
注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，
那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y
是双值函数，不是函数
,??)处， 2.偏导公式：在b内的(??
????????/??????=???或者说
????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即
sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)
由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)
所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0
于是立即可得上述公式
隐向量值函数：
1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y
可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)
2.偏导公式：
j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x
= -[?f/?y]-1*?f/?x
注： 1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置
2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]
3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题
4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算
（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）
3.隐向量值函数的反函数：
函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1
注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置
2.|j(f-1)|=|j(f)|-1
用参数形式给出的隐函数
若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求
曲面和曲线的切平面、法线、法向量
三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
如果f在点p处满足
(1) f在p处连续可微
(2)?f在p处不为0
则称p是曲面上的正则点
如果曲面在正则点p0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，a=(x-x0,y-y0,z-z0)，则s在p点的切平
面方程为n.a=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz(约定分母为0时分子也为0) 过p0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(x-x0).n1=(x-x0).n2=0，
具体地:
x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0
x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0
i. 曲面的显式表示法
z=f(x,y)是曲面s的显式表示
正则点p0(x0,y0,z0)处，s的法向量n=(?f/?x, ?f/?y,-1)
ii. 曲面的隐式表示法
f(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法
【篇二：一元微积分习题 清华大学】
ass=txt>一．函数极限（定义）
1.用定义证明：
arctan（1
）?0； （2）lim?x??x?11??. 1?x2
2. 设函数f(x)?0,limf(x)?a，证明：limx?x0x?x0f(x)?a
二．函数的极限
3．讨论极限limx?111?21
1?x是否存在；
1???2?exsinx?4. 求极限 lim??? 4x?0|x|??1?ex??
f(x)?limf(x)?f(1)，求证：5.设函数f(x)在?0,???上满足f(x2)?f(x)，且lim?x?0x???
f(x)?f(1),x?(0,??)。
6．设f(x)在?0,???单调递增，且limx???f(2x)f(ax)?1，求证：?a?0，lim?1。 x???f(x)f(x)
x?m,m,n互质n
x???，证明：riemann
x?0?1?n?7.（书上p.66,23）riemann函数的定义为r(x)??0?1??
函数在任意点的极限均为0.
1?x?n,?1,x,1?x?2,???xn,n?x?n?1,?f(x)?8．设f1(x)??1 ?n,x?2,1?,?x?n?1,?x?x?
（1）对任意固定的n，求limfn(x)； x???
（2）求f(x)?limf1(x)f2(x)?fn(x)在[1,??)上的表达式； n??
（3）求limf(x)。 x???
1
三．连续函数概念
9.讨论函数f(x)的连续性，若有可去间断点，将函数修正为连续函数。
?ln?1?sin2
?x?
2x2x?0
f(x)????1x?0
??1?cosx
??x2x?0
10.考察函数y?e1?cos1
x的连续性。
11.对下列题目，选择出正确答案
（1）设f(x)与?(x)在(??,??)有定义，?(x)在(??,??)有间断点，f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?0，则
（a）f??(x)?在(??,??)上必有间断点;
（b）??f(x)?在(??,??)上必有间断点;
（c）?2(x)在(??,??)上必有间断点;
（d）?(x)
f(x)在(??,??)上必有间断点.
1
（2）.设f(x)?1?ex
2，则x?0是f(x)的（ ）。
2?3ex
(a)可去间断点。(b)跳跃间断点。(c) 无穷间断点。(d) 震荡间断点。
（3）.设函数f(x)?1
x，则（ ）
ex?1?1
（a）x?0，x?1都是f(x)的第一类间断点。
（b）x?0，x?1都是f(x)的第二类间断点。
（c）x?0是f(x)的第一类间断点，x?1是f(x)的第二类间断点。
（d）x?0是f(x)的第二类间断点，x?1是f(x)的第一类间断点。
12.设f(x)?x2n?1?ax2?bx
nlim???x2n?1?c(??,??)，求a,b。
2
13．设f(x),g(x)?c[a,b].
证明：（1）|f(x)|,max{f(x),g(x)},min{f(x),g(x)}?c[a,b].
（2）m(x)?minf(?),m(x)?maxf(?)?c[a,b] a???xa???x
14.设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且
f??x?y?f(x)?f(y)
?2???2,
3
【篇三：清华大学微积分讲座__刘坤林视频讲义】
lass=txt>1.1 函数与基本不等式
函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数
四类初等性质（广义奇偶性）
1.2 极限定义与性质
序列与函数极限定义与等价描述
极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质
1.3 三个极限存在准则
1.4 两个标准极限
1.5 无穷小量比阶
等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点
导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数
基本概念，定义，连续性与极限的关系，
连续性等价描述，连续性的判别
闭区间上连续函数的性质，零点定理，
最大最小值定理。
2.
1.1 函数与基本不等式
函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数
四类初等性质（广义奇偶性）
1.2 极限定义与性质
序列与函数极限定义与等价描述
极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质
1.3 三个极限存在准则
1.4 两个标准极限
1.5 无穷小量比阶
等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点
导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数
基本概念，定义，连续性与极限的关系，
连续性等价描述，连续性的判别
闭区间上连续函数的性质，零点定理，
最大最小值定理。
3.
例15. 设与在有定义，在
有间断点，在上连续，且，则
（a）在上必有间断点;
（b）在上必有间断点;
（c）在上必有间断点;
（d）在上必有间断点.
例16.设，且至少存在一点，使， 证明在上有正的最大值。
例17.设，，，证明
（1）存在； （2）收敛。
例18.若，则
（a）且； （b）且；
（c）且； （d）且；
例19.若存在, 则 b (a) 。 (b) 之去心邻域, 使当时, 。 (c) 之邻域,
使当时, 。
(d) 。
例20.设定义在, 且都在处连续,
若
, 则 d (a) 且
,(b) 且
(c) 且
,(d) 且
例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 a (a) , (b) (c) , (d)
4.
例15. 设与在有定义，在
有间断点，在上连续，且，则
（a）在上必有间断点;
（b）在上必有间断点;
（c）在上必有间断点;
（d）在上必有间断点.
例16.设，且至少存在一点，使，
证明在上有正的最大值。
例17.设，，，证明
（1）存在； （2）收敛。
例18.若，则
（a）且； （b）且；
（c）且； （d）且；
例19.若存在, 则 b (a) 。 (b) 之去心邻域, 使当时, 。 (c) 之邻域,
使当时, 。
(d) 。
例20.设定义在, 且都在处连续, 若
, 则 d (a) 且
,(b) 且
(c) 且
,(d) 且
