2023年12月14日发(作者：)
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直线上的动态几何专题讲座【学习目标】1．探究直线上的动态几何问题；2．熟练掌握动点形成的等腰三角形的处理方法；【例题精讲】重难点一：直线旋转例1如图，已知点P（2m－1，6m－5）在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴，y轴分别交于A点、B点．（1）求点P的坐标；（2）当∠APB绕着P点旋转时，OA+OB的长是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求其值．例2在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0）、B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABD顺时针旋转，得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β．（1）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；（3）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式．练习：如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=3x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0）则点C的坐标为__________．yADOBCx重难点二：直线上动点所形成的直角三角形例3如图，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是两直线y=2x＋6上的一点，若△APD是等腰直角三角形．（1）求点D的坐标；（2）直线y=2x＋6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为．重难点三：直线上动点所形成的等腰三角形例4在坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）．（1）在坐标轴上是否存在点P使△ABP为等腰三角形？（2）在直线y=2x+3上是否存在点Q使QA=QB？练习：如图，直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C，过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．yAMPx=1NCOBx重难点四：综合探究直线里的动态几何例5（面积问题）如图，一次函数y=－3x+3的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°若在第二象限内有一点P（m，3），使得△APB与△ABC面积相等，求m的值．2yBDOACx例6（动而不变）如图1所示，直线AB交x轴于点A(a，0)，交y轴于点B(0，b)，且a、b满足ab2a42=0．AH交OB于点P，（1）如图1，若C的坐标为(－1，0)，且AH⊥BC于点H，试求点P的坐标．（2）如图2，连接OH，求证∠OHP=45°．（3）如图3，若点D为AB的中点，点M位y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，若改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．练习：如图①l1：y=3x+3与x轴交于B点，与l2交于y轴上一点A，且l2与x轴的交点为C（1，0）．（1）求证：∠ABC=∠ACB．（2）如图②，过x轴上一点D（－3，0）作DE⊥AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标．（3）如图③，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A，C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，求其长度；若变化，确定其变化范围．yyABOC图①xGDBFO图②EAyPCxQBMOCx图③例7在直角坐标系xOy中，一次函数ykxbk0的图像与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，且使得△AOB的面积值等于︱OA︱+︱OB︱+3．（1）用b表示k．（2）求△AOB面积的最小值．练习：y轴交于点A、B，已知一次函数的图像过点P（1，4），且分别与x轴、当△AOB面积最小时，求k、b．例8：如图，已知射线AB与x轴和y轴分别交于点A（－3，0）和点B（0，33）．动点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向右作匀速运动，过点P作PQ⊥AB于Q．设运动时间为t秒，且第一象限内有点N(n，n－2)．（1）当n=3时，若PQ恰好经过点N，求t的值；（2）连接BP，记△BPQ面积为S△BPQ，△ABP面积为S△ABP．1①当S△BPQ≤S△ABP时，求t的取值范围；21②当S△BPQ=S△ABP时，记Q(a，b)，若(a－n)2＋(b－n＋2)2取得最小值时，求直线QN的解3析式．
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