2023年12月14日发(作者：)
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例谈中考数学命题的五大趋势
2002年河北省中考数学试题，受到了广大师生和社会各界的广泛赞誉. 其命题趋势较好的体现了初中数学改革的新精神，很具有代表性. 下面，就以2002年河北省中考数学试题为例，谈一下当前中考数学命题所呈现出的五大明显趋势.
一、 优化思想方法
数学思想是数学的灵魂，数学方法使数学思想得以具体落实，二者相互依存，成为数学中考永恒的主题. 但是，如果因循守旧，仅用一些传统题型、固定模式进行考查，则往往会产生思维定势，忽视了数学思想方法的本质，所以必须对其优化，力争出新创奇，才能让学生真正体会到数学思想方法的重要性.
例1（第25题）图1表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行使过程的函数图像（分别为正比例函数和一次函数）. 两地间的距离是80千米. 请你根据图像回答或解决下面的问题：
（1） 谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？
（2） 两人在途中行使的速度分别是多少？
（3） 请你分别求出表示自行车和摩托车行使过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4） 指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.
解：（1）由图可以看出：自行车出发较早，早 3个小时；
摩托车到达乙地较早，早3个小时.
（2）对自行车而言：行使的距离是80千米，耗时8个小时，
所以其速度是：80÷8=10（千米/时）；
对摩托车而言：行使的距离是80千米，耗时2个小时，
所以其速度是：80÷2=40（千米/时）.
（3）设表示自行车行使过程的函数解析式为：y=kx，
∵x=8时，y=80，
∴80=8k，解得k=10，
∴表示自行车行使过程的函数解析式为y=10x；
设表示摩托车行使过程的函数解析式为：y=ax+b,
∵x=3时，y=0，而且x=5时，y=80；
∴表示自行车行使过程的函数解析式为y=40x-120.
（5） 在3 自行车行驶在摩托车前面：10x>40-120, 自行车与摩托车相遇：10x=40-120, 自行车行驶在摩托车后面：10x<40x-120. 评注：本题以数形结合的思想方法为主线，涉及到方程与函数等思想方法. 虽然也是主要运用了“以形定数”的思维方式，但是由于实际背景的介入，使得题目新颖别致，不同于一般的通过函数图像求解析式的题目. 二、 突出信息转化 当今社会，信息容量迅速增多，表现形式丰富多彩，被人们称为“信息化时代”. 在日常的生产生活、学习工作中，我们经常需要将各种形式的信息转化整合、分析处理. 鉴于此，对信息转化的突出考查，具有强烈的时代感. 例2（第24题）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图2所示. （1）请填写下表： 平 均数 甲 7 乙 方差 1.2 5.4 （2） 请从以下四个不同的角度对这次测试结果进行分析. ①从平均数和方差相结合看： ②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）： ③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）： ④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）： 解：（1）填得下表. 平方中命中9环以上次数 均数 差 位数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 （2）①∵平均数相同，S甲 ②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些. 22中位数 命中9环以上次数 1 ③∵平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些. ④甲的成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，因此，乙更有潜力. 评注：本题将图形、表格、数据、文字等多种信息形式综合为一体，需要考生对各种不同信息“互译”转化，才能顺利解答. 三、强化应用意识 从河北省近几年的中考命题来看，应用性试题所占的分值比重逐年增多，1998年为30÷140≈21.4%，首次突破20%；2001年为45÷120≈37.5%，又可视为第二次突破，分值比重超过了30%；2002年高达64÷120≈53.3%，又创下了历史新高. 对数学知识应用性的考查，已经成为全国各地中考的普遍趋势，是强化“用数学”意识的必然结果. 例3（第27题）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品. 按市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克. 针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 解：（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为： 500-（55-50）×10=450（千克）. 所以月销售利润为：（55-40）×450=6750（元）. （2）当销售单价为每千克x元时，月销售量为：[500-（x-50）×10]千克， 而每千克的利润为：（x-40）元，所以月销售利润为： y=(x-40)[500-(x-50)×10] 2=(x-40)(1000-10x)=-10x+1400x-40000（元）. 2∴y与x的函数关系式为：y= -10x+1400x-40000. （3）要使月销售利润达到8000元，即y=8000， 2∴ -10x+1400x-40000=8000， 2即：x-140x+4800=0, 解得：x1=60，x2=80. 当销售单价为每千克60元时，月销售量为： [500-（60-50）×10]=400（千克）， 月销售成本为：40×400=16000（元）； 当销售单价为每千克80元时，月销售量为： [500-（80-50）×10]=200（千克）， 月销售成本为：40×200=8000（元）； 由于8000<10000<16000，而月销售成本不超过10000元， 所以销售单价应定为每千克80元. 评注：在市场经济大环境的影响下，用数学知识确定价格，获取预期利润，是中考应用性问题中最常见的一种. 由此，我们更能理解，运用数学知识是如何避免盲目投资、创造经济效益的. 四、培养创新能力 “创新”是当前最热门、最广泛的话题之一，几何各行各业都在谈论和实践“创新”. 创新能力的培养是一个长期的过程，初中阶段是人生智力发展的黄金时期，从培养创新意识，到传授创新方法，已经成为教育界正在探索的重要研究课题. 中考，自然不能置身世外. 例4（第26题）图形的操作过程（本题中的四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）： ● 在图3-1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）； ● 在图3-2中，将线段A1A2A3 向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）. （1）在图3-3中，请你类似地画出一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： S1=____________，S2=____________，S3=____________； （3）联想与探索 如图3-4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的. 解：画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致），如图3-5. S1=ab-b，S2=ab-b，S3=ab-b. 猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b. 方案：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移1个单位； 3、得到一个新矩形（如图3-6）. 理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b， 其水平方向的长变成了a-1， 所以草地的面积就是b(a-1)=ab-b. 评注：在前面的三个图形所得结论的引导下，很容易类比猜想到草地面积为ab-b的结论；然后对猜想所的结论进行科学合理的论证，进一步说明其正确性. 这些都遵循了人类认识新事物、发现新的科学现象或规律的必然进程，是对创新方法的训练. 在本题的整个探索过程中，前后使用的方法不尽相同，在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形（或分割成多个平行四边形的面积）计算阴影部分的面积，进而求空白部分的面积. 但是当阴影部分的左右边界由折线变为任意曲线时，计算的方法已经不再使用. 因此，考虑图形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地的面积. 五、增加开放程度 开放性题目是近几年中考的热点，几乎成为必考题型. 从大处来看，常见的开放题主要有条件开放型、结论开放型、策略开放性和综合开放型四大类. 河北省在传统的开放性题目的基础上，增大了题目的不确定性，开放程度有所加强，从而给考生提供了更加广阔的思维空间. 例5（第28题）如图4，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米. 点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动. 如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）. 那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 解：对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t. 当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形. 即：6-t=2t，解得：t=2（秒）， 所以，当t=2秒时，△QAP为等腰直角三角形. （2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12， ∴S△QAC=(1/2)QA·DC=(1/2)(6-t)·12=36-6t. 在△APC中，AP=2t，BC=6， ∴S△APC=(1/2)AP·BC=(1/2)2t·6=6t. ∴S△QAPC=S△QAC +S△APC =(36-6t)+6t=36（厘米2）. 由计算结果发现： 在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变. （3）根据题意，可分两种情况来研究. 在矩形ABCD中： ①当QA/AB=AP/BC时，△QAP∽△ABC，那么有： (6-t)/12=2t/6，解得t=6/5=1.2（秒）， 即当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC； ②当QA/BC=AP/AB时，△PAQ∽△ABC，那么有： (6-t)/6=2t/12，解得t=3（秒）， 即当t=3秒时,△PAQ∽△ABC； 所以，当t=1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似. 评注：本题是一道开放性的试题，尤其是第（2）小题，要求“提出一个与计算结果有关的结论”即可，这说明，结论只要“与计算结果有关”即可，不加具体限制，那么结论就不止一个了，比如，“在P、Q两点移动的过程中，两点到对角线AC的距离值和保持不变”，这一结论也是正确的. 这种题目比以往“存在不存在”、“变化不变化”的问法，具有更强的开放性. 以上所举各例，虽然均出自2002年河北省的中考数学试题，但是它所呈现出的命题趋势，在全国各地的中考数学试题中都有所体现. 希望读者能对照当地的中考试题，认真揣摩命题者的真实意图，能更好地把握中考、迎战中考. 附：2002年中考练习题 希望同学们在解题时认真体会中考的命题趋势是如何得以体现的。 1、（吉林）一天，亮亮发烧了，早晨他烧得厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了．下 面各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( ) 2、（滨州）右图是一同学骑自行车出行的图象，从图象中得到的正确的信息是 ( ) 7(A)整个出行过程中的平均速度60为千米/小时 (B)前二十分钟的速度比后半小时的速度慢 (C)前二十分钟的速度比后串小时的速度快 (D)从起点到达终点，该同学共用了50分钟 3、 (广西)甲乙两名射手在相同条件下打靶，射中的环数分别如图1、图2所示： 利用图1、图2提供的信息，解答下列问题： (1)填空，射手甲射中环数的众数是 ，平均数是 ；射手乙射中环数的众数是 ，平均数是 ； (2)如果要从甲、乙两名射手中选一名去参加射击比赛，应选谁去?简述理由． 4、 (安徽)(02安徽省)某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形； 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形． ︵︵︵如图 ，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形； 丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也是正多边形． (1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等． (2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二）是正七边形（不必写已知、求证）. (3)根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明） 5、（北京朝阳）已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF//BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆， AE1时，sinB=22； 当AB23AE1时，sinB=3（提示：3=23）当； AB3224AE14时，sinB=. 当AB45（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当AE1时，sinB的值等于AB5_______________； AE1时（n是大于1的自然数）（2）当，请用含n的代数式表示sinB=__________，ABn并画出图形、写出已知、求证和证明过程。 6、（湛江）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A＝∠BCP． (1)求证：PC是⊙O的切线； ︵ (2)若点C在劣弧AD上运动，其他条件不变，问应再具2备什么条件可使结论BG＝ BF·BO成立?(要求画出示意图并说明理由) 2 (3)在满足问题(2)的条件下，你还能推出哪些形如BG＝BF·BO的正确结论?(要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现2在结论中，不写推理过程，写出不包括BG＝BF·BO的7个结论) 7、(北京东城)某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体2,若提前购票，则给予不同程度的优惠。在五月份内，33团体票每张12元，共售出团体票的;零售票每张16元，共售出零售票的一半;如果在六5票和零售票，其中团体票占总票数的月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？ 8、（江西）甲、乙两同学做“投球进筐”游戏．商定：每人玩5局，每局在指定线外将一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，以此类推，但最多只能投6次，当投进后，该局结束，并记下投球次数；当6次都未投进时，该局也结束，并记为“×”.两人五局投球情况如下： 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 甲 5次 × 4次 × 1次 乙 × 2次 4次 2次 × (1)为了计算得分，双方约定：记“×”的该局得0分，其他局得分的计算方法要满足两个条件： ①投球次数越多，得分越低；②得分为正数．请你按约定的要求，用公式、表格、语言叙述等方式选取其中一种写出一个将其他局的投球次数n换算成得分M的具体方案； (2)请根据上述约定和你写出的方案，计算甲、乙两人的每局得分，填入下面的表格中，并从平均分的角度来判断谁投得更好． 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 甲得分 乙得分 9、（桂林）(02桂林市)某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知封资修旧墙壁的费用为20元/平方米，设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房墙壁的总投入为yA B 元。 求y与x的函数关系式； C D 为了合理利用大厅，要求自变量x必11cm 须满足条件：8≤x≤12，当投入的资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？ 20cm 10、（长沙）(02长沙市)某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现下商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系： x 3 5 9 11 y 18 14 6 2 在所给的直角坐标系①中 根据表中提供的数据描出实数对(x, y)的对应点； 猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，并画出图像。 设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为P元，根据日销售规律： 试求日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式，并求出日销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润。试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出，若无，请说明理由。 在给定的直角坐标系(图2)中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图像的简图。观察图像，写出x与P的取值范围。 y(件) y(件) · · · · · · · · · · 6 · 2 · · ·-6 ·O ·· ·-2 ·O ·6 · · · · · x(元) 2 · · · · · x(元) · -6 · -2 · · · · · · · · · · -
