2023年12月12日发(作者：)
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智轩考研数学2011基础班讲义系列
数列极限的6大性质的正确理解
1．唯一性
{xn}收敛，则极限唯一。
如{xn}®¥(n®¥)，在考研数学范畴，视极限不存在，因为¥是个变量，违背极限的唯一性。
极限存在的充要条件是左右极限存在并相等，例如lim[x]=0, lim-[x]=-1，故lim[x]不存在。
+x®0x®0x®0若极限存在，则任意子列极限有相同的极限，但是若极限不存在，则任意子列极限不一定存在，例如
11limsin
x®0xx111xn=®0(n®¥)Þlimsin=lim2npsin2np=0，极限存在。
x®0x2npxx®0111pöæpöæyn=®0(n®¥)Þlimsin=limç2np+÷sinç2np+÷=¥，极限不存在。
x®0xpxx®0è2øè2ø2np+211根据极限唯一性，limsin不存在，但不是无穷大。
x®0xx去掉有限项不影响数列极限的收敛性，去掉无限项影响极限的收敛性。
极限的唯一性是沟通数列极限和函数极限的桥梁，由于函数极限也存在唯一性，故当函数趋向变量取特殊子列形式时求得极限就等于函数的极限，反之亦然，故数列极限往往可以转化为函数极限来求，因为函数极限求法的手段较多，增加了解决问题的方便。
2．有界性
若{xn}存在，则{xn}有界，否则必有子列yn®¥。
3．保号性
保号性含有三层意思：
(1)若limxn=A>0(<0)，则存在正整数N，当n>N，有xn>0(<0)。
n®¥xn=A，则A>0(<0)。
(2)若xn>0(<0)，limn®¥xn=A, limyn=B，则A³B。
(3)若xn³yn，limn®¥n®¥4．夹逼定理
an£bn£cn, liman=limcn=AÞlimbn=A
n®¥n®¥n®¥é2ù如求极限I=limxêú
x®0ëxû〖解〗对于取整函数有以下两个结论：1）x-1<[x]£x； 2）lim[x]=0; lim[x]=-1
x®0+x®0-ìé2ù1)x>0®2-x -1<éù£Þï， íêúxëxûxï2)x<0®2-x>x×é2ù³2êïëxúûîé2ùlim(2-x)=2，利用夹逼定理得：I=limxêú=2。 x®¥x®0ëxû 1 智轩考研数学2011基础班讲义系列 5．单调有界数列必有极限 本定理中，函数有界一般是指既有上界也有下界，但是在单调增加情形下可以只有上界，在单调减少情形下可以只有下界。本定理中的单调也可以是单调不增或单调不减。 例如设1 (n=1,2,L)，求此极限。 〖解〗采用数学归纳法证明liman存在，若果直接求出，这类题型是不能等分的。 n®¥ 为此，先考虑{an}的有界性，再考虑单调性，利用单调有界必有极限结论。 17(a1+7-a1)= 22717假设：an<，则an+1£(an+7-an)=，故{an}有上界。 222 a2=a1(7-a1)£an(7-an)an+17又， ==-1³2-1=1，故{an}单调不减, 所以，liman存在。记liman=A。n®¥n®¥ananan7由极限的唯一性，对an+1=an(7-an)两边同时取极限，得 A=A(7-A)ÞA=0, . 27再由极限的保序性。得A³1，所以liman=。 n®¥26．数列极限的四则运算 若limxn=A，limyn=B，则 x®¥x®¥xnA=(B¹0) x®¥x®¥x®¥yBn上述数列极限的六大性质，函数极限也同样具备。 lim(xn±yn)=A±B; limxnyn=AB; lim对于性质六，读者往往容易犯错误，比如设f(x)在x=0的某个邻域内有定义，limx®0f(x)-f(-x)x存在，则下列解答是错误的。 f(x)-f(-x)f(x)-f(0)f(-x)-f(0)lim=lim+lim=f¢(0)+f¢(0)=2f¢(0) x®0x®0-x®0xx-x因为limx®0f(x)-f(-x)x存在并不能保证limf(x)-f(0)xx®x0的存在，违背了极限的四则运算。 2 -
