量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程

2023年12月8日发(作者：)

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一、波函数的统计解释

在量子力学中，我们用波函数(x,t)来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。

波恩的统计解释：

b

a(x,t)dx在t时刻发现粒子处于a和b之间的几率.2*2

也就是说，(x,t)波函数必须满足

1. 是归一化的

是几率密度，它给出在t时刻粒子处于x处单位体积内的几率。由于这个性质，(x,t)dx1

2（或者说是可归一化的，(x,t)dx 积分为有限值）

22. 满足波函数的标准条件：有限性（不排除在个别点上，和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。）；单值性（应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。

由波函数的统计解释，对处于态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是



2xx(x,t)dx.

这个式子到底意味着什么？它明显不是意味着如果你一次又一次的重复测量这个粒子的位置，

xdx是你所2得到结果的平均值。而是相反：第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰，以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。.

测量引起波函数的坍塌

而x是所有测量都是对处在态的粒子所进行的平均值，这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到态，要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在态，然后测量每个粒子的位置,

x是所有结果的平均值。(你们可以想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在态(相对瓶子的中心)的粒子，每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置，一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。计算平均值,它应该符合x。简短而言，期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。

如果紧接着第一次测量进行第二次测量，能测量到什么结果？粒子还是在C？还是每次都测量到一个完全的不同的新结果？事实是第一次测量完全改变了波函数，所以它现在是尖锐的在C点耸起。我们称之为由于测量产生的波函数的坍塌,在C点生成针状波形(由于波函数遵从薛定鄂方程,这个波将很快弥散开来,所以第二次测量要立即进行)。所以存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。

对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息，那么其他力学量呢？

当体系随时间演化时,x将发生变化(因为是依赖时间的),我们可能对它运动的变化快慢感兴趣。我们计算

dx

dtxtdx2dx

i2m**xdx

xxx利用分部积分公式,上式可以写为

dt**dx

2mxxi(我们利用了x/x1,并丢掉了边界项,因为在()无限大处趋于零。)对第二项再进行一次分部积分,有

dx

dtim*xdx

我们拿这个结果做什么? 注意我们讨论的是x期待值的“速度”，它同粒子的速度不是一回事。在量子力学中速度意味着什么都不是很清楚的：如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前)，那么它也不会有一个明确定义的速度。我们只能问的是得到一个特定值的几率是多少。对我们目前的而言，我们假设速度的期待值等于位置期待值对时间的导数就足够了：

vxdt

这个式子告诉我们如何从计算v。 实际中,习惯使用动量(pmv),而不是速度：

pmdxdtx*idx.

x让我们把x和p的表示式写作更有启发意义的形式：

*xdx,

我们说在量子力学中算符pdx.

ix*x“表示”位置，算符(/i)(/x)“表示”动量；计算期待值时我们把适当的算符放在*和之间，然后积分。

事实上，所有经典力学量都可以表示为坐标和动量的函数（当然还有非经典量，比如自旋，方法一样）。例如，动能是

T

角动量是

12mv2p22m

Lrmvrp

(当然,角动量对一维运动不存在)。要计算任何物理量Q(x,p)的期待值,我们简单地可以用(*一个p，再把得到的算符放在和之间，然后积分。

/i)(/x)取代每

*Q(x,p)Qx,

dx.

ix



当粒子处于态(x,t)时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出，

首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。

Fnnn,

n1,2,3,...分立谱

本征函数满足正交归一条件



*mndxnm

将体系的状态波函数用算苻F的本征函数n展开

cnnn

2则在态中测量力学量F得到结果为n的几率是cn大量相同体系）每一个体系进行测量的平均值为

，在测量后波函数坍塌为n。对一个系综（含有

Fnncn2*Fdx

如果力学量的本征谱为连续谱



F,



本征函数满足函数归一化

d()'*'

同样将体系的状态波函数用算苻F的本征函数展开

cd

如果对体系测量，得到结果在d范围内的几率是c2d，c2是几率密度。测量同样导致波函数的坍塌，坍塌为处的一个尖锐波峰。对一个系综（含有大量相同体系）每一个体系进行测量力学量的平均值为 

Fc2d*Fdx

这样由体系的状态波函数，我们就可以得到粒子的全部信息。

二、薛定鄂方程的一般求解方法

对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。

体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：

itH

其中哈密顿算苻（能量算苻）

H

薛定鄂方程的性质与特点：

1.

p22mV22m2V

方程是线性的，满足态叠加原理，如果1和2都是方程的解，那么它们的线性叠加a1b2也是方程的解。

方程是非相对论的，时间t和坐标xyz地位不等价，t是作为一个参数，而坐标是算符。

如果定义几率流密度

2.

3.

Ji2m** 可以得到连续性方程

t2J0

这表明空间一体积内几率密度随时间的变化等于从包围这体积面积流入（出）的几率流密度量值。

4. 波函数的归一化性质不随时间改变。（这一点非常关键，如果波函数在t0时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃）

证明：

ddtt(x,t)dx22t*(x,t)dx.

tt*2

薛定鄂方程可以写作

t2*.



及其共轭式

t*i2mx22i*V,

ii2mx2

所以

tV,

*

t222*i*i222mxxx2m**.

xxd

dt(x,t)dx2i*2mxx*.

但是当x趋于()无限大时(x,t)必须趋于零否则波函数是不可归一化的（物理上的波函数必须是可归一化的）这样有

d

dt(x,t)dx0,

2因此积分是一个常数(不依赖时间)；如果在t0时是归一化的，它在以后所有时刻保持归一化。证毕

求解薛定鄂方程的一般方法：

如果势能函数不显含时间（绝大多数是这种情况），通过分立变量，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）



HE

由此解出一组能量本征函数n和能量本征值En，能量本征函数组成正交归一系。

定态解为

薛定鄂方程的一般解为

n(r,t)(r)nexp(iEnt/)

(r,t)cnnn(r)exp(iEnt/) （分离谱）

(r,t)cEEexp(iEt/)dE （连续谱） 叠加系数由t=0时刻的初始条件定。

(r,0)cnnn(r)

利用本征函数的正交归一性

cnn(r,0)dr

为什么如此强调定态解呢？下面讲三个原因，其中两个是从物理上的，另一个是数学上的。

１．它们是定态(stationary states)。尽管波函数本身

*(x,t)(x)e明显和时间有关，但是几率密度

iEt,

iEt2(x,t)2eiEte(x),

却不依赖时间时间因子被相互抵消。计算任何动力学变量的期望值也是同样；

Q(x,p)Q(x,didx)dx.

对定态，任何一个期待值都是不依赖时间的（当然是指算符本身不显含时间）；我们可以完全去掉(t)，简单的用来代替。（的确，通常都称为“波函数”，但是这是粗略的语言，可能引起误解。重要的是要记住真正的波函数总是含有指数时间因子的。）特别是，x是常数，因此p0。定态不发生任何事情。

２．定态是具有确定总能量的态。总能量的期望值是

HHdxE（注意因为是归一化的，所以也是归一化的。）另外，

2dxE. 

所以

H2H(H)H(E)E(H)E,

22H所以H的标准差是

H2H22dxE2222dxE.

22HHEE0.

结论是定态有这样一种性质，总能量的每次测量结果是确定的值E

3. 一般解是定态解的线性迭加。定态薛定谔方程给出一个无限的解集(1(x),2(x),3(x),)，每一个解有相应的能量本征值(E1,E2,E3,)；

由于（含时）薛定谔方程是线性的，多个解的线性迭加仍然是其本身的解。所以一旦得到定态解，便可以立即构造一个一般解，其形式为

(x,t)n1cnn(x)eiEnt.

这样每一个薛定鄂方程（含时的）解都能写成上面的形式而余下的事情就是简单找出满足具体问题初始条件的适当常数(c1,c2,c3,)。所以一旦解出了定态薛定谔方程，就可以从它们得到含时薛定谔方程的一般解，这在原则上是简单明了的。

例题1：一个处于一维无限深势阱粒子的初始波函数为

(x,0)Ax(ax),(0xa),

求(x,t)。

解：首先需要归一化(x,0)求出A： 1所以

a0(x,0)dxA22a0x(ax)dxA222a530，

A=一维无限深势阱的定态解为

n(x,t)30ana5.

2asin(x)ei(n2ma)t222.

所以含时薛定谔方程的最一般的解是定态解的线性迭加：

(x,t)t0时，

cn12nasin(nax)ei(n2ma)t222.

(x,0)cnnnxsin

aa2

所以第n项的系数（2.37式）是

cna2a0sin(nax)30a5x(ax)dx

215anaxsin(x)dx

30aaa0xsin(2nx)dx

a

215a3anaxna2()sin(x)cos(x)n

ana02aaa2n(nxa)2n2()xsin(x)cos(x)

3na(na)a032215a23(n)23cos(n)acos(n)acos(0)

333a(n)(n)n415(n)3cos(0)cos(n)

如果n为偶数,如果n为奇数.

0，3815/(n)，这样：

(x,t)2230231nint（）sin(x)e3an1,3,5,na2ma2.

例题2： 设Pab(t)是发现粒子处于区间axb内的几率，证明

dPab(t)dtJ(a,t)J(b,t) b证：

Pab(t)a(x,t)dx

2dPabdt

bt(x,t)a*b2dxaix2mb**dxxxi*2mxx

J(a,t)J(b,t)a区间内几率的变化率等于从a端流入的几率流（单位时间流入的几率）减去从b端流出的几率流。

例题3 V(x) is an arbitrary repulsive potential localized at a position along the x-axis as shown below.

V(x)

x

-a a

The solution of the Schroedinger equation must be of the form

AeikxBeψ(x)ikxCeDeikxikx for x  -a for x  a

. Write

CS11BS21S12AS22D

and assume A and B are arbitrary complex numbers. Use conservation of flux to show that

|S11|2 + |S21|2 = |S12|2 + |S22|2 = 1,

and that

S11S12* + S21S22* = 0.

Show that S is a unitary matrix.

解: 粒子流密度定义是

J一维情况

*idd*

J

2dxdxi2*

*左边区域为

Jl右边区域是

JrkC22D

kA22B

由流守恒JlJr

所以我们有

C 由

C*2B2A2D

2B*A**S11D*S12*S21

*S22S12A**AD

S22D*C2B2C*C*BAB**S11D*S12**S21S11*S22S21所以有

*S11

*S12*S21S11*S22S21S121S2200I

1即

SSI

这样我们有

|S11|2 + |S21|2 = |S12|2 + |S22|2 = 1,

S11S12* + S21S22* = 0.

由此有

SSSSISSSI

†††所以SS†1为么正矩阵. 例题3 在一维无限深势阱中一个粒子的初始波函数由前两个定态迭加而成：

(x,0)A1(x)2(x).

（a） 归一化(x,0)

（b） 求(x,t)和(x,t)。

2（c） 计算x的值。注意它是随时间的震荡。角频率是多少？振幅是多少？

（d） 计算p的值。

（e） 如果你测量粒子的能量，可能得到什么值？得到各个值的几率是多少？求出H的期望值。并与E1和E2比较。

解：

（a）

1(x,0)dxA222122*121dx2A*22



A12

iE1t/（b）

(x,t)121(x)e122(x)eiE2t/ (x,t)

22121(x)1222122(x)2121(x)2(x)ei(E2E1)t/ei(E2E1)t/

（c）设



a121(x)2(x)1(x)2(x)cosE2E1t/n(x)nxsin

0xa

aa2xx(x,t)dx0212ax1(x)dx0212a2ax2(x)dxcos(E2E1)t/x1(x)2(x)dx00

利用公式

sinsin121212cos(12122)cos()

16a92

xaacos(E2E1)t/

2x以势阱中心a/2为中心振荡， 振荡幅度16a/9振荡频率为



（d）

a/2

E2E132ma2 ap121aa0(x,t)(i)2aa*x(x,t)dxiE2t/xecosaa2iE1t/2xecosaaiE2t/edx

i

a0xsinaiE1t/2xesinai1a0xx22x2xsincoscosdxsinaaaaaaxcosa2i(E2E1)t/xesinaa2xcosai(E2E1)t/edxi02xsinaa

利用公式

sincos43a12sin(it)sin()

积分得出

pi验证

（e）

eeit83asint

pmdxdtm16a92sint83asint

(x,t)121(x)eiE1t/122(x)eiE2t/

测量得到E1的几率是1/2, 测量得到E2的几率是1/2

哈密顿的期待值

aH

(x,t)H(x,t)dx0*120ae1iE1t/2eiE2t/E1e1iE1t/E22eiE2t/dx

12E112E25/22ma222

E1HE2

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