高中数学竞赛专题讲座---代数极值

2023年12月7日发(作者：)

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代数极值

很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.

一、条件极值问题

例1 设非负实数a1,a2,,an满足a1a2an1,求

a1a21a2an1a1a3anan的最小值.

1a1an1an用常数1代换, 解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将a1a2得1(a1a2a111a2an2a1an)a22,同理,2a11a1a3,则ynan12,……,

2a22.

2annan21,令y1a1an12ani1ai1aiajj1nn222a12a2nn11(2ai)为了利用柯西不等式,注意到(2ai)2nai2n1,则(2n1)

2a2ai1i1i1i1i1iinnn2n22n2n12n,即y.当且仅当

2ain.∴yni12n12n12n12ai1n.

a1a2an时,上式等号成立.从而,y有最小值n2n1评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.

2x2y2例2 设xy1,且xy0.求的最小值.

xyx2y2(xy)22xy(y)22解:由于xy0,可设xyy(y0),则xyxyy当且仅当y22.

2,即xx2y22662,y时等号成立.因此的最小值为22.

xy22评注:引进增量起到了降元的作用.

例3 设a,b,c为正数,且abc1,求解:设a111的最小值.

2a12b12c1xyz111yzx,b,c(x,y,zR),则.

yzx2a12b12c1y2xz2yx2z由柯西不等式得,[y(y2x)z(z2y)x(x2z)]yzxy2xz2yx2z(xyz)2. yzx从而,y2xz2yx2z(xyz)21111,即[y(y2x)z(z2y)x(x2z)]2a12b12c11.当且仅当abc1时去等号.故所求最小值为1.

评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明

12a1a23232323而得到最小值.

abc二、多元函数极值问题

例4 设x,yR,求函数f(x,y)x6y2xy14x6y72的最小值.

22解:f(x,y)(xy7)5(y2)3,故x9,y2时,fmin3.

22评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法.

例5 已知非负实数x1,x2,解:当x1,x2,,xn满足xii1n1,求f(x1,x2,2,xn)(1xi)的最小值.

i1n,xn2,xn1xn都为定值时,由于(1xn1)(1xn)1(xn1xn)xn1xn,

可见,xn1xn越大,上式的值越小.为此,令xixi(i1,2,,n2),xn1xn1xn,xn0, ①

则xn1xnxn1xn,xn1xn0xn1xn.∴(1x1)(1x2)其中x1x2(1xn)(1x1)(1x2)(1xn1)

xnx1x2xn(1x1)(1x2)∴所求最小值为(1xn)1(x1x21.

21.再进行形如①的变换n2次,即可得

211,其中等号当x1,x2x3xn)22xn0时取得.评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数.

再看一个逐步调整法的例子.

例6 给定实数a25.对于满足条件xxii1i1551ia的所有正实数组(x1,x2,x3,x4,x5),试求

maxx1,x2,x3,x4,x5的最值.

minx1,x2,x3,x4,x5解:由对称性,设x1x2x3x4x5,由齐次性,设x11,x5u,x2,x3,x4[1,u],

1111af(x2,x3,x4)(1x2x3x4u)(1)ux2x3x41111u,

u2u1ua3,u(a3)u10,从而ua3a56a.

另一方面,将x3,x4看作常数,af(x2,x3,x4)x2x2(,,0).x20时,f为凸函数,在x21或x2u时取得最大值.同理,f在x3,x41或u时取得最大值.

设f取得最大值时,x2,x3,x4中有k个为u,3k个为1,k0,1,2.

(u1)223(u1)2(u4)(4u1)k1kk此时,f(ku3k1u)(3k1).f为开口uuuuu向下的抛物线,对称轴为k3,故k1或2时,f取得最大值.

2af(x2,x3,x4)1221)1,

(2u3)(3)6(u)136(uuuuu1ua1,u6a1a25.

2622maxx1,x2,x3,x4,x5a1a25a3a56a.

u,minx1,x2,x3,x4,x5226三、无理函数极值问题

例7 求函数f(x)解:由于f(x)x43x26x13x4x21的最大值.

x43x26x13x4x21(x3)2(x22)2x2(x21)2.

22令A(3,2),B(0,1),P(x,x),则f(x)PAPB.于是,问题转化为在抛物线yx上求一点P,使PAPB最大.

yx2因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB和抛物线必相交,交电由方程组y121x030确定,消去y,得3xx30.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,f(x)有最大值AB10.

评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PAPB的最大值为10.

例8 求函数f(x)2x1xx2的最值.

2解:由于f(x)2x1xx2x25115(x)2,可令xsin,[,],

422222则x55151cos1sin(),其中arcsinsin.于是f(x)g()15sin.

22225因为[112,arcsin],从而sin()[,1],

,],故[arcsin2252525即g()[15,],故f(x)min15,f(x)max727.

2评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.

例9 求函数y2x23x1x22x的最小值．

解：先求定义域(,0][2,)，注意到两个根号内的函数在(,0]上都递减，在[2,)上都递增，故原函数亦如此．故yminmin{f(0),f(2)}1．当x0时取到最小值．

评注:运用单调性,简单巧妙.

例10 求函数yx22x2x22x2的最小值．

解:（构造法）：y(x1)212(x1)212，表示动点P(x,1)到定点A(1,0),B(1,0)的距离之和，故ymin22．

解法二:yx22x2x22x224(x22x2)(x22x2)24x4422，当x0时，两等号同时成立，故ymin22．

例11 对实数x，求函数f(x)8xx214xx248的最大值．

解：f(x)的定义域为[6，8]，u(x)8xx216(x4)2，当x6时，umax12；当x6时，vmax0，从而当x6时f(x)有最大值1223．

v(x)14xx2481(x7)2，解法二：f(x)定义域为[6，8]，令u(x)8xx2，v(x)14xx248，u2v2486x．

．yuv，uyv代入（1）得：x[6,8],0486x12，

0u2v212……（1）y22vy12，易知y0，v1(x7)20……（2）y2y22vy12，y23，当x6时（1）、（2）同时取等号．故f(x)有最大值1223．

解法三：f(x)的定义域为[6，8]，f(x)8x(xx6)68xxx68x，，1xx6在[6，8]上是减函数，从而当x6时f(x)有最大值1223．

评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若f(x)u(x)v(x)，u(x),v(x)同时在xx0处取得最大值，则f(x)在xx0处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若f(x)在闭区间[a,b]上为单调函数，则f(x)在端点处取得最值”．

四、分式函数极值问题

例12 设x,y,z是不全为零的实数,求xy2yz的最大值.

222xyz解:xy2yz2a1xy222a1bybz

a11a212212a21212xybyzxbyz.令,解得

b22ab22ab22aba5,b25.所以xy2yz552(xy2z2).当且仅当10x25y5z时等号成立.

2故5xy2yz的最大值为.

2222xyz评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数a,b作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.

例13 对所有a,b,cR,求aa8bcb2bb8acc2cc8ab2的最小值.

a2,y,z解:作代换x,则x,y,z(0,).从而,x2,222a8bca8bcb8acc8aba2即18ac18ab18bc1,1.同理,.将以上三式相乘,

y2b2z2c2x21a2得11111122512.若xyz1,则0x1,0y1,0z1.

2xyz22222111(1x)(1y)(1z)[(x)x]故212121

22222xyzxyzxyz[(yz)(2xyz)](2x2y2z2当abc时,所求最小值为1.

yz44x2yz)x2y2z2(84x2y3z3)x2y2z2512.矛盾.所以xyz1.从而,评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在111111512成立的条件下,222xyz求xyz的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.

例14 已知a,b,cR,求ab9c的最小值.

b3c8c4a3a2b解:对分母进行代换,令b3cx,8c4ay,3a2bz,

则a111131111xyz,bxyz,cxyz.

386216461612故ab9c1y4x1z9x14z9y61.由均值不等式得

b3c8c4a3a2b8xy6xz16yz481116147.当且仅当y2x,z3x时等号成立.∴当a10c,b21c时,46128616484847所求最小值为.

48上式评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.

223的最大值.

a21b21c21ac解:设atan,btan,ctan,,,(0,).由abcacb,得b,

21ac例15 设a,b,c为正实数,且abcacb,求p即tantan(),从而.故p2cos2cos()3cos

222cos21cos(22)13cos22sinsin(2)3cos2

2sin3cos233sin22sin即a101.因此,当2,sin,

3232210,b2,c时,pmax.

243评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.小学六年级奥数

圆柱圆锥

圆柱与圆锥

这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

例1 如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）

分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

时桶的容积是

桶的容积是

例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？

分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）

例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？

解：皮球的体积是

水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。

答：水面升高了0.5厘米。

例5 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为

例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。

解：被熔的圆锥形铝块的体积：

被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米3）。

熔成的圆柱形铝块的高：（3600π＋18000π）÷（π×152） =21600π÷225π=96（厘米）。

答：熔铸成的圆柱体高96厘米。

练习

1.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？ 2.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？

3.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？

容器高度的几分之几？

5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。

6.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。

答案与提示 练习

1.一样多。

2.5.4厘米。

3.47.8厘米。

解：（300×100×2）÷（3.14×202）≈47.8（厘米）。

解：设水面高度是容器高度的x倍，则水面半径也是容器底面半径的x倍。根据题意得到

5.表面积2942厘米2，体积11140厘米3。

6.5厘米。

例1 如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）

例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？

例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶

中后，水桶中的水面升高了多少厘米？

例5 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。

1.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？

2.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？

3.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？

容器高度的几分之几？

5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。

6.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。

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