2023年12月6日发(作者：)
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题目高中数学复习专题讲座数形结合思想
题目高中数学复习专题讲座数形结合思想
高考要求
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征
重难点归纳
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化
（1）集合的运算及韦恩图
（2）函数及其图象
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象
（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线
以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法
以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合
典型题例示范讲解
例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C?B，求实数a的取值范围
命题意图本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目
知识依托解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C进而将C?B用不等式这一数学语言加以转化
错解分析考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论巧妙观察图象将是上策不能漏掉a＜–2这一种特殊情形技巧与方法解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决
解∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数
∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}
作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同
的位置情况如下
①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}
要使C?B,必须且只须2a+3≥4得a≥
2
1
与–2≤a＜0矛盾
②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ?B
图可知
必须且只需≤≤≥+2
04
32a a
解得
2
1
≤a ≤2 ③当a ＞2时，0≤z ≤a 2
，即C ={z ｜0≤z ≤a 2
，由}， 要使C ?B 必须且只需
>+≤2
3
22a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =?此时B =C =?，则C ?B 成立
综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［
2
1
,3］ 例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证
2
22
2
2
c o s
b a
c +=-β
α 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力
知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上
错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二
技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题
证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β, sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图
从而 ｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2 =2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l 的距离2
2|
|b a c d += 由平面几何知识知｜OA ｜2–(
2
1
｜AB ｜)2=d 2即 b
a c d +==---2224)cos(221βα
∴2
22
2
2cos
b a
c +=-β
α 例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围
解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，
y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线
答案 （4
3
,125］
例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围
解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立 ?x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立
考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图两种情况
不等式的成立条件是
(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0?a ∈(–2,1)
(2)
>--<≥?0)1(1
0g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)
解法二 由f (x )＞a ?x 2+2＞a (2x +1) 令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象
如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1)
学生巩固练习 1 方程sin(x –4π)=4
1
x 的实数解的个数是( )
A 2
B 3
C 4
D 以上均不对
2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f
(x )=0的
两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )
A α＜a ＜b ＜β
B α＜a ＜β＜b
C a ＜α＜b ＜β
D a ＜α＜β＜b
3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是
4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A
B
时，则a 的取值范围是
5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β （1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值
6 设A ={(x ,y )｜y =
222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –
3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B ≠?，求a 的最大值与最小值
7 已知A （1，1）为椭圆5
92
2y x +=1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点 求｜PF
1｜+｜P A ｜的最大值和最小值
8 把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm 、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？
参考答案
1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –
4
π
)与y 2=41x 的图象如图
答案 B
中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示
2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系答案 A
3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t ) 点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解
答案
2
2
7 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得
答案 a ＞3
5 解 ①作出y =sin(x +
3
π
)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知
当｜–
2a ｜＜1且–2a ≠2
3
时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)
②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a
相减得tan
3
32
=
+β
α， 故tan(α+β)=3
6 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半
径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆
如
图所示
∵A ∩B ≠?，∴半圆O 和圆O ′有公共点 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小
2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2
当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大
此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2
7 解 由15
92
2=+y x 可知a =3,b =5,c =2，左焦点F 1(–2,0),右焦点F 2(2,0)
由椭圆定义，｜PF 1｜=2a –｜PF 2｜=6–｜PF 2｜,
∴｜PF 1｜+｜P A ｜=6–｜PF 2｜+｜P A ｜=6+｜P A ｜–｜PF
2｜ 如图
由｜｜P A ｜–｜PF 2｜｜≤｜AF 2｜=2)10
()12(2
2=
-+-知
–2≤｜P A ｜–｜PF 2｜≤
当P 在AF 2延长线上的P 2处时，取右“=”号；
当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，取左“=”号
即｜P A ｜–｜PF 2｜的最大、最小值分别为2
于是｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值是6+2,最小值是6
8 解 本题实际上是求正方形窗口边长最小值 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小
如图
y
设AE =x ,BE =y ,
则有AE =AH =CF =CG =x ，BE =BF =DG =DH =y
∴??
===+=+2252105
202
222
22y x y y x x ∴
225210=
+=+=y x AB
课前后备注
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