2023年12月6日发(作者：)
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最新全国初中数学竞赛讲座初中第四讲：平行四边形和梯形讲义
初中数学竞赛讲座：平行四边形和梯形
一、基础知识：
1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转 180 度）
2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
3） 梯形：梯形问题 转化、分割、拼接 三角形或者平行四边形问题
二、例题分析
CA 到点 E ，连 接 DE ，恰有 AD=BC=CE=DE ，求∠BAC 的度数。
例 1、如下左图，在等腰△ABC 中，延长边 AB 到点 D ，延长边
例 2、如上右图，在 RT △ABC 中，∠ACB 是直角，CD⊥AB 于 D ，AE 平分∠ ABC ，交 CD 于 K ，F 在 BE 上且 BF=CE ，求证：FK ?AB 。
例 3、如下左图，△ABC 内部一点 P ，满足∠PBA=∠PCA ，作平行四边形 PBQC ，
求证：∠QA B=∠PAC 。
例4、如上右图，已知A、B 是两个定点，C 是位于直线AB 某一侧的一个动点，分别以AC、BC 为边，在△ABCDE 外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C 点
在什么位置上，DE 的中点M 的位置不变。
例5、如下左图，梯形ABCD 中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E 是
BC 上的一个动点，连接并延长EA 到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED 到点G，使得EG:ED=3:2，以EF 和EG 为临边作平行四边形EFHG，连接EH 交AD 于点P，1）求EH 的最小长度；2）求证：P 是定点。
例6、如上右图，四边形ABCD 中，点E、F 分别在边AB、CD
上，连接BF、CE 交于点P，连接AF、DE 交于点Q，若四边形EQFP
是平行四边形，求证：四边形ABCD 是梯形。
例 7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC 与BD 交于点O，M 、N 分别为腰AB 和CD 上的点，且AM=CN，连接MN 分别交BD、AC 于点P、Q，求证：
MP=QN。 三、练习题
ED 的垂线BF
和CG，求证：EF=DG
1、如下左图，在锐角△ABC 中，作高BD 和EC，过B、C 分别作
2、如上右图，在直角梯形ABCD 中，∠A和∠B是直角，AB=2，点P 为AB 的
中点，连接PC、PD，若∠PDC 也是直角，就△PCD 面积的最小值。
3、如下左图，在直角梯形ABCD 中，∠A和∠B是直角，AD=1，AB=2，BC=3，若P 为AB 边上任意一点，延长PD 至点E，使得DE=2PD，再以PE、PC 为边作平行四边形PCQE，求对角线PQ 长的最小值。 4、如上右图，在梯形ABCD 中，AB?CD，BD=BC，CA=CD，∠ADB=30 度，
求证：∠DBC 是直角。
5、如下左图，在梯形ABCD 中，AD?BC，ABFG 和DCHM 都是正方形，NE 垂
直平分AD，求证：GN=MN。
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