2023年12月6日发(作者：)
-
数学竞赛专题讲座十一、截面、射影、折叠和展开
十一、截面、射影、折叠和展开
知识、方法、技能
截面、射影、折叠和展开是立体几何中的几个典型问题，体现空间问题和平面问题互相转化的数学思想方法―化归思想方法．
I ．截面
1．截面
用一个平面去截几何体时，平面和几何体的交线围成的图形，叫做几何体的截面．
2．使面作法
（1）连线法； (2)平行线法； (3)相交线法．
3．截面面积的求法
(l)割补法：将截面割补成若干个三角形或特殊的多边形，然后求出这些面积的和或差；
(2)面积射影定理：cos S S α=?射截，其中α是截面与射影平面所成的二面角．
4．平行于锥体底面的截面
S 原、V 原为原锥体底面积、体积，h 是锥体的高，S 原、V 原、h 截为截得的锥体底面积、孰高．
（1）22S h S h =原截截，（2）3
3V h V h =原截截
． II ．射影
1. 射影
由空间一点向平面（直线）引垂线段，把垂足点叫做这点在平面（直线）上的正射影，简称射影．空间图形中一切点在平面上
射影的集合，叫做这个空间图形在这个平面上的射影．
2.面积射影定理
在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积S 与这个二面角的度数α的余弦的乘积，等于这个多边形在二面角的另一半平面
上射影多边形的面积'S ，即'cos S S α=?． III ．折叠与展开
1．折叠
将一个平面图形沿着该平面内的某条直线折叠成一个空间图形，称为平面图形的折叠．
2．展开
一个几何体如果按照某种规则展开到一个平面，则称其几何体为可展几何体．
3．折叠与展开的方法
要准确画出原来的图形和折叠或展开后的图形，对照平面图形与立体图形元素的位置关系、大小、形状，确定哪些是不变量，
哪些是变量．不变量是解题的基础． 赛题精讲
I.截面
例1. (1989年联赛题) 已知正三棱锥S-ABC 的高3PO =，底面边长为6．过A 点向它所对的侧面作垂线，垂足为'O ，在'AO 上取
点P ，使'8AP PO
=．求经过点P 且平行于底面的截面的面积．
【解】如图，平面SAO 交BC 于D ，则SO ⊥AD ，BC ⊥平面ADS ，所以AO ′在平面ADS 上．
设AO ′∩SO=P ′，∠SDA=α，在△SOD 中，tan αα=60°．
又AP ’=AO/sin α=4,AO ’=ADsin α=9/2．
AP=8AO ′/（8+1）=4=AP ′
故P 与P ′重合，PO=APcos α=2．
设所求截面面积为S 1，则
S 1/S △ABC =（SP/SO ）2=1/9．
．
例2.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.
(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.
(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱
锥所得的截面是矩形.
证明.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，
∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.
∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ， ∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面
上，M
是球心.
(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截
面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.
例3.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,
(1)过BD 1所作的最小截面面积;
(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.
分析.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,
我们可对本题作简单分析:
证明：(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧
面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S
截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离
最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面
间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)
(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +
的最小值就是侧面展开图中的D
1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,面为全等的正方形，故M 为AA
1的中点,同理N 为CC 1的中点此时MB ∥ND 1为所求截面. II.射影
例4.如图1
，一间民房的屋顶有三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3，
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（ ）
A ． P 3＞P 2＞P 1
B ．P 3＞
P 2＝P 1 C ．P 3＝P 2＞P 1 D ．P 3＝P 2＝P 1
图1 分析：设这间民房的地面面积为S 0，则有 αααcos P cos P cos P S 3
210===， 所以 P 3＝P 2＝P 1，故选D.【评析】本题要从屋顶的实际情景中透过日常生活中常见的现象，抽象出斜面在水平面上的射影的本质特征，反映了数学来源
于社会现实，又为社会实践服务的基本事实.
例5.如图2，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中
心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是_________.
① ②
③
（要求：把可能的图的序号都．
填上）
分析
从俯视、正视和侧视三种方式观察平行四边形BFD 1E 在正方体各个面上的投影，可知图②③正确.
例6.正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是
_________.
分析 如图3，设正四面体ABCD 在平面α上的射影构成的图形面积为S ，因为AB//平面α，从运动的观点看，当CD//平面
α时，射影面积最大，此时射影图形为对角线
长是1的正方形，面积最大值为
21；若CD 或其延长线与平面α相交时，则当CD ⊥平面α时，射影面积为最小，最小值为42（证明略），所以]2
1,42[∈S . 例7．如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG 上用AC=3m ，BC=4m ，AB=5m 的角钢焊接成一个简易的遮阳棚
（将AB 放在墙上）。一般认为，
从正西方向射出的太阳光线与地面成75°角时气温最高。要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABC 面与水平面
成多大角度？ 分析 墙面ABHG 在太阳光照射下的射影为HG B A '' ，
由题意可知光线'''CC ,BB ,AA 与地面所成的角为750，设遮阳棚ABC 面与地面所成的角为θ（00≤θ≤900），△ABC 在
地面上的射影为△'''C B A ，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，
即△'''C B A 的面积最大，在'CC 上取一点D ，使D A '//AC ，则易证明面ABC//面D B A ''，且△ABC ≌△D B A ''，在平面D B A ''内作DM ⊥''B A ，垂足为M ，连C /M ，
∵AB ⊥CC /，∴''B A ⊥'CC ，∴C /M ⊥''B A ，则平面D B A ''与地面所成的二面角的大
小为∠DMC /=θ,
又由已知条件可得△D B A ''为直角三角形，DM=
512m ，在△DMC /中，由正弦定理得MC /=)105sin(75
sin 51200θ- ， ∴当)105sin(0θ-=1，即θ=150时，MC /最大，∵''B A 为定值，所以此时△'''C B A 的
面积最大．
例8. (1992年联赛题))设l ，m 是两条异面直线，在l 上
有A ，B ，C 三点，且AB =BC ，过A ，B ，C 分别作m 的垂线
AD ，BE ，CF ，垂足依次是D ，E ，F ，已知AD =15，
BE =2
7CF =10，求l 与m 的距离． 【解】设LM 为直线l 与m 的公垂线， L ∈l , M ∈m .
过m 作平面 P 平行于直线 l ，过 A , B , C ，分别作平
图3 B ′
A ′ 图4
面P 的垂线，AG,BH,CK, 垂足分别为G, H, K ，则点G, H, K 落在与l 平行的直线l '上，连GD ，HE ，KF.
∵AB=BC,AG||BH||CK ,∴CH=HK.
又∵ A D ⊥m,BE ⊥m , CF ⊥m ，由三垂线定理得CD ⊥ m ，HE ⊥m ，KF ⊥m, 故GC|| HE||KF ，且E, H 分别为FD, KC 的中
点．设l 与m 的距离为x ，则 AC = BH = CK=LM=x .
∵GD HE KF ===
又7,2AD BE CF ==
=当点A , B , C 在点 L 的同一侧时，有2HE ＝KF+GD ．
于是=得x =舍去负根，求得直线
z 与 m III.折叠与展开
例9.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1
到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N ．求
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）PC 和NC 的长；
（3）平面NMP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）．
解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为974922=+
②如图1，将侧面BC 1旋转
120使其与侧面AC 1
在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则
MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路
线．
设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，
在2,292)3221==+?x x MAP Rt ＋中，（ 5
4,5211=∴==∴NC A P C P MA MC ． ③连接PP 1
（如图2），则PP 1就是NMP 与平面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结
CH ，由三垂线定理得，1PP CH ⊥．
NHC NMP ABC ∴∠就是平面与平面所成二面角的平面角．
1,602
11=∴=∠=∠?CH PCP PCH PHC Rt 中，在． 5
4tan ==∠?CH NC NHC NCH Rt 中，在． 例10.（江苏卷）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到EF A 1?的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面
角，连结A 1B 、A 1P （如图2）
（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）．
解法一：
ABC 的边长为
3． （
1）在图1D ，连结DF. AE ：EB=CF ：AF=AD=2．
而∠A=600 , AE=DE=1, ∴EF ⊥AD ．
在图2中，A 1E ⊥EF, BE ⊥EF, ∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，A 1E ⊥BE,
又BE EF E = ，∴A 1E ⊥平面BEF,即 A 1E ⊥平面BEP ．
（2）在图2中，A 1E 不垂直A 1B, ∴A 1E 是平面A 1BP 的垂线，
又A 1E ⊥平面BEP ，∴A 1E ⊥BE.
从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1B P 内的射影（三垂线定理的逆定理）．
设A 1E 在平面A 1B P 内的射影为A 1Q,且A 1Q 交BP 于点Q,则∠E 1AQ 就是A 1E 与平面
A 1
B P 所成的角,且BP ⊥A 1Q.在△EBP 中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP 是等边三角形.
又 A 1E ⊥平面BEP , ∴A 1B=A 1P, ∴Q 为BP 的中点,且EQ =,又 A 1E=1,在Rt △A 1EQ 中，11tan EQ EAQ A E
∠==∴∠EA 1Q=60o , ∴直线A 1E 与平面A 1B P 所成的角为600． 在图3中，过F 作FM ⊥ A 1P 与M ，连结
QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
∴△FCP 是正三角形，∴PF=1.有112
PQ BP ==∴PF=PQ ①, ∵A 1E ⊥平面BEP, EQ EF ==∴A 1E=A 1Q,
∴△A 1FP ≌△A 1QP 从而∠A 1PF=∠A 1PQ ②,
由①②及MP 为公共边知△FMP ≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90o ,且MF=MQ,
从而∠FMQ 为二面角B －A 1P －F 的平面角.在Rt △A 1QP 中,A 1Q=A 1F=2,PQ=1,又∴1A P = ∵ MQ ⊥A 1P ∴115A Q PQ A P MQ ?=
=∴5
MF =在△FCQ 中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得QF ． 在△FMQ 中，222
7cos 28
MF MQ QF FMQ MF MQ +-∠==-?． ∴二面角B －A 1P －F 的大小为7arccos 8
π-． 解法二:（1）作AH ⊥面BCD 于H ,连BH 、
CH 、DH ,则四边形BHCD 是正方形,且1AH =,以D 为原点,以DB 为
x 轴,DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图,
则(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1).B C A (1,1,0),(1,1,1),0,.BC DA BC DA BC AD =-=∴?=⊥ 则 (2)设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则
由1n BC
⊥ A F E C B A 1E F C P B
知:10n BC x y ?=-+= ; 同理由1n CA ⊥ 知:10.n CA x z ?=+= 可取1(1,1,1).n =- 同理,可求得平面ACD 的一个法向量为2(1,0,1).n
=- 由图可以看出,三面角B AC D --的大小应等于<12,n n > 则cos <12,n n
>1212
n n n n ?===
即所求二面角的大小是(3)设(,,)E x y z 是线段AC 上一点,则0,1,x z y ==> 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1),(,1,),n DE x x == 要
使ED 与面BCD 成30?角,由图可知DE 与n 的夹角为60?,
所以1cos ,cos60.2DE n DE n DE n ?===?= <>
则2x =解得
,x =
,
则 == 故线段AC 上存在E 点,且1CE =,时ED 与面BCD 成30?角. 【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象
能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学
必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进
行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立
体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.
例11.（辽宁卷）已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为
(0)θθπ<<.
(I) 证明//BF 平面ADE ;
(II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.
【解析】(I)证明:EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点,
∴EB//FD,且EB=FD,∴四边形EBFD 为平行四边形.∴BF//ED.
,EF AED BF AED ?? 平面而平面∴//BF 平面ADE .
(II)解法1:如右图,点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,
过点A 作AG 垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.
ACD 为正三角形,∴AC=AD ∴CG=GD
G 在CD 的垂直平分线上,∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,
过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平
C D
F C
E
面角.即G AH θ∠=，设原正方体的边长为2a,连结AF.
在折后图的?AEF 中,EF=2AE=2a,即?AEF 为直角三角形,
AG EF AE AF ?=?AG ∴=. 在Rt ?ADE 中, AH DE AE AD ?=?
AH ∴=GH ∴=，1cos 4GH AH θ==. 解法2:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，连结AF,在平面AEF 内过点作AG EF
'⊥,垂足为G '.
ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,AF CD ∴⊥ .
又因EF CD ⊥,所以CD AEF ⊥平面.
AG AEF '? 平面AG CD '∴⊥.
又AG EF '⊥且,,BCDE CD EF F CD BCDE EF ?=??平面平面.
AG BCDE '∴⊥平面G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G.
即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上.
过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角.即G AH θ∠=，设原正方体的边长为
2a,连结AF.
在折后图的?AEF 中,EF=2AE=2a,
即?AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ?=?AG ∴=
. 在Rt ?ADE 中, AH DE AE AD ?=?
AH ∴=GH ∴=1cos 4GH AH θ==. 解法3: 点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上连结AF,在平面AEF 内过点作AG EF '⊥,垂
足为G '.
ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,AF CD ∴⊥ .
又因EF CD ⊥,
所以CD AEF ⊥平面CD BCDE ∴?平面AEF BCDE ∴⊥平面平面.
又AEF =EF,BCDE AG EF '?⊥ 平面平面，AG EF '⊥，
AG BCDE '∴⊥平面G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G.
即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平
面角.即G AH θ∠=.
设原正方体的边长为2a,连结AF ，在折后图的?AEF 中,EF=2AE=2a,
即?AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ?=?AG ∴=
. 在Rt ?ADE 中, AH DE AE AD ?=?
AH ∴=GH ∴=1cos 4GH AH θ==. 【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.
-
