2023年12月2日发(作者：)
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八年级数学竞赛讲座
因式分解
〖知识点〗
因式分解定义， 提取公因式、 应用公式法、 分组分解法、 二次三项式的因式
（十字相乘法、
求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利
用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力， 在中考试题中， 因式分解出现的频率很高。 重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解， 就是把一个多项式化为几个整式的积． 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
(1) 提公因式法
如多项式 am bm cm
m(a b
c),
m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
其中 m叫做这个多项式各项的公因式，
(2) 运用公式法，即用
a
2
b
2
( a
b)(a
b),
2
2
2
写出结果．
a
2ab
b
( a
b)
,
a
3
b
3
(a
b)(a2
ab
b
2 )
(3) 十字相乘法
对于二次项系数为
px q (x a)( x
l 的二次三项式
x
2
px
q,
ax
2
寻找满足 ab=q， a+b=p 的 a， b，如有，
则
x
2
b);
对于一般的二次三项式
bx
c(a
0),
寻找满足
a1 a2=a，c1c2=c,a
1c2+a2c1=b 的 a1，a2，c1，c2，如有，则
ax2
bx c
( a1 x
c1 )( a2 x c2 ).
(4)
分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“
“- ”号，括到括号里的各项都改变符号
.
+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是
(5) 求根公式法：如果
ax
2
bx c 0(a
0), 有两个根 X1， X2，那么
ax2
bx c a(x x1 )( x x2 ).
考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（
） 学习必备
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1
(A) 1-
4
x2
1
3
2
2
=
4 (x + 2) (x- 2)
–(y- x) = (x
(B)4x
– y) (x
– 2 x
– 2 = - 2(x- 1)
(C) ( x- y )
– y + 1) ( x
– y
– 1)
22
– y
– 1)
(D) x
2 –y2 – x + y = ( x + y) (x
2．下列各等式 (1) a
2－ b
2 = (a + b) (a
– b ),(2) x
,(4 )x
– 3x +2 = x(x
1
–3)+2
1
1
1
( x + y) (x
(3 )
x
2
– y2
从左到是因式分解的个数为（
(A)
1
个
(B) 2
个
－– y )
）
(C) 3
+
x
2
－ 2－（ x －x
)
2
个
(D) 4
个
± 10
3．若 x2＋ mx＋ 25
是一个完全平方式，则
(A)
20
(B)
10
(C)
4．若 x2＋ mx＋ n 能分解成 ( x+2 ) (x
m的值是（
）
,n=
± 20
(D)
– 5)
，则 m=
;
;
5．若二次三项式 2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则
6．若 x2+kx－ 6 有一个因式是 (x － 2) ，则 k 的值是
7．把下列因式因式分解：
(1)a
3－ a2－ 2a
2m=
;
(2)4m
－ 9n2－ 4m+1
(3)3a
2+bc－ 3ac-ab
8．在实数范围内因式分解：
(1)2x
2－ 3x－1
(4)9
－ x2+2xy － y2
(2)
－ 2x2+5xy+2y
2
考点训练：
1. 分解下列因式：
(1).10a(x － y)
2－ 5b(y － x)
(3).x
3(2x － y) － 2x＋ y
(2).a
(4).x(6x
n+1－
4an＋
4an-1
－1) －1
2
1
2
(5).2ax － 10ay＋ 5by＋ 6x
*(7).a
4(6).1
(8).(x
(10).
(12).2x
(14)3X
－ a － ab－
4
2b
＋ 4
＋ x)(x
2＋ x－3) ＋ 2
(9).x
5y－ 9xy5
(11).4a
－ a5
(13).4y
2
－ 4x2＋3xy ＋ 2y
22
－ 4x＋ 1
＋ 4y－ 5
2－ 7X+2
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解题指导：
1．下列运算 :(1) (a
2
2
－ 3)
2＝ a2－6a＋ 9
(2) x
2
－ 4＝ ( x ＋ 2)(
1
1
2
x － 2)
1
2
2
(3) ax ＋ a xy＋ a＝ a(x ＋ ax) (4)
且运算正确的个数是（
）
（A） 1
（ B）2
16
x －4 x ＋
4
＝ x －4x＋
4＝(x － 2)
其中是因式分解，
（ C）3
2（D） 4
2．不论ａ为何值，代数式－ａ
（A）大于或等于 0
＋ 4ａ－ 5 值（
（ C）大于 0
）
（ B）0
（ D）小于 0
m的值是（
3．若 x2＋ 2（ m－ 3） x＋ 16
是一个完全平方式，则
（A）－ 5
（B）7
（C）－ 1
）
（D）7 或－ 1
6
4． (x
2＋ y2)(x
2－1＋ y2) － 12＝ 0, 则 x2＋ y2 的值是
5．分解下列因式：
(1).8xy(x
2
；
－ y) － 2(y － x)
3
＊ (2).x
－
y6
(3).x
3＋ 2xy －x－ xy
2
2
＊ (4).(x
＋ y)(x ＋ y－ 1) －12
2
(5).4
ａｂ－（ 1－ａ
）（ 1－ｂ ）
＊ 4。已知 a＋ b＝ 1, 求 a3＋ 3ab＋b3 的值
(6).
－ 3m－ 2m＋ 4
5．ａ、ｂ、ｃ为⊿ ABC三边，利用因式分解说明ｂ
2－ａ
2＋
2ａｃ－ｃ
2
的符号
6． 0＜ａ≤ 5，ａ为整数，若
2ｘ
2＋ 3ｘ＋ａ能用十字相乘法分解因式，求符合条件的ａ
独立训练：
2
1．多项式 x2－ y2, x
2－ 2xy ＋ y2, x
3－ y3 的公因式是
2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果：
2
。
2
1
2
(1)9x － ( )
＝(3x ＋ )(
－
5
y), (2).5x
＋ 6xy
－ 8y
＝(x )(
－ 4y).
3．矩形的面积为 6x2＋13x ＋ 5
(x>0),
其中一边长为
2x＋ 1, 则另为
4．把 a2－ a－ 6 分解因式，正确的是
(A)a(a － 1) － 6 (B)(a
22。
( )
－ 2)(a ＋ 3)
(C)(a ＋ 2)(a
－ 3) (D)(a － 1)(a ＋ 6)
2225．多项式 a＋ 4ab＋2b,a
－ 4ab＋16b,a ＋ a＋
,9a
2－ 12ab＋ 4b2 中，能用完全平方公式分解
4
因式的有 (
(A)1 个
1)
(B) 2
个
(C)
3
个
(D)
4 个
6．设 (x ＋ y)(x ＋ 2＋y)
－ 15＝0, 则 x＋y
的值是（
） 学习必备
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(A)-5 或 3
中的（
(A) －8
(B) -3
）
(B)
或 5
(C)3
(D)5
7．关于的二次三项式
x2－ 4x＋ c 能分解成两个整系数的一次的积式，那么
c 可取下面四个值
－ 7
(C)
－ 6
(D)
－ 5
）
8．若 x2－ mx＋ n＝ (x －4)(x ＋ 3) 则 m,n 的值为（
(A) m ＝－ 1, n ＝－ 12 (B)m ＝－ 1,n ＝12 (C) m
2
＝1,n
＝－ 12 (D) m ＝ 1,n
＝ 12.
25
9．代数式
y ＋ my＋
4
是一个完全平方式，则
2
m的值是
x
y
。
2
10．已知 2x － 3xy ＋ y
＝0（ x,y 均不为零），则
y ＋
x
的值为
11．分解因式 :
(1).x
2(y － z) ＋ 81(z －y)
＊(3).ab(c
2。
(2).9m
2－ 6m＋ 2n－ n2
－3a2－ 4
＋d2) ＋ cd(a
2＋ b2)
(4).a
4
＊(5).x
4＋ 4y4
＊(6).a
2＋ 2ab＋ b2－ 2a－ 2b＋ 1
12．实数范围内因式分解
（1）ｘ
2－ 2ｘ－ 4
（ 2） 4ｘ
2＋ 8ｘ－ 1
（ 3） 2ｘ
2＋4ｘｙ＋ｙ
2
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