高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

2023年12月2日发(作者：)

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高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式 高中奥林匹克数学竞赛讲座

三角恒等式和三角不等式

知识、方法、技能

三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.

三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切x割”，将题目转化为一个关于ttan2的代数恒等式的证明问题.

2 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰

T

T

T

当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式2及各公式的来龙去脉和变形形式

相相.

相S2SS

C



C

C

2

S相2万C

积化

2能TS

公3C

23和差

3 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.

此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.

三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.

三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一.

求三角形面积的海伦公式Sp(pa)(pb)(pc)[其中p1(abc)]2，大家往往不甚熟悉，但十分有用.

4 赛题精讲

sin例1：已知sinAsin(),|A|1,求证:tan()cos.

A【思路分析】条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用()或()消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.

【证法1】

sinAsin(),

sin()Asin(),

sin()coscos()sinAsin(),sin()(cosA)sincos(),

|A|1,

【证法2】cosA0,从而cos()0,tan()sin.cosA

sinsinAsinsin()sinsincossin()sincossin()

sin()sincossin()sin[()]sin()sincos()sintan().7

例2：证明：cos7x7cos5x21ocs3x35cosx64cosx.

【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3x、x右 5 边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为sinx、

cosx的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.

3【证明】因为cos3x4cos62x3cosx,所以4cos3xcos3x3cosx,2

从而有16cosxcos3x6cos3xcosx9cosx

6x9

1cos3(cos4xcos2x)(1cos2x)

22

32cos6x1cos6x6cos4x6cos2x99cos2x,64cosx2cos6xcosx12cos4xcosx30cos2xcosx20cosx7

cos7xcos5x6cos5x6cos3x15cos3x15cosx20cosxcos7x7cos5x21cos3x35cosx.

【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令11zcosisin,则2cosz,从而,128cos7(z)7zz，展开即可.

例3：求证：3tan18tan18tan123tan121.

【思路分析】等式左边同时出现tan18tan18tan12

tan12、tan，联想到公式tan()1tan.

tantan6 【证明】

3tan18tan18tan123tan12

3(tan18tan12)tan18tan123tan(1812)(1tan18tan12)tan18tan121【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证(1tan1)(1tan2)(1tan43)



(1tan44)222等.

tan例4：已知12001,求证:sec2tan22001.

1tan【证明】1cos(2)1sin22sec2tan2tan()cos24sin(2)2

1tan1tan2001.

例5：证 明：4sinsin(603)sin(60)sin3.

【证明】sin33sin4sin

34sin(sin2)4314sin(cos2sin2)44314sin[(cos)2(sin)2]224sin(sin60coscos60sin)(sin60coscos60sin)4sinsin(60)sin(60)

【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地， 7 有cos34coscos(60

例.

)cos(60)

tan3tantan(60)tan(60). 利用这几个公式可解下116例6：求证：①cos6cos42cos66cos78

45 ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(1)4 =cos6°cos54°cos66°cos18cos42cos784cos541cos(318)44cos541.16610.

【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°

cos42cos78cos54

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°

)=(1429sin3sin6sin8734

1()303(sin3sin57sin63)(sin6sin54sin66)(sin27sin33sin87)sin30sin604

8 1()403sin9sin18sin8141()403(sin9sin18)(sin18sin72)(sin27sin63)(sin36sin54)sin45

4(1)4232sin18sin36sin5442sin72(14)42322cos72cos54cos36cos18(1)4232cos18cos36cos7242cos54

(134)4222cos18cos36sin18cos54(1)4332sin72cos5442(14)43322cos18sin36又(cos18sin36)21(1cos36)(1cos724)

14(1cos36cos72cos36cos72)1(1cos36cos724)

516即

cos18sin3654.

所以

sin1sin2sin89(14)45610.

例7：证明：对任一自然数nxm2k(k0,1,2,,n,m为任一整数），有

9

及任意实数

111cotx2xsin4xsin2x

【思路分析】本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.

【证明】12cos2xcos2x2cos2xcos2xcotxcot2x,sin2xsin2x2sinxcosxsin2x

同理sin14xcot2xcot4x

……

sin1cot22xnn1xcot2nx

【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.

②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

tantan2tan2tan3tan(n1)tanntannntan.

：tan2tan222tan222ntan2ncot2n1cot2n1.111cos1cot1cos0cos1cos1cos2cos88cos89例8：证sin(sin明nn1)sinsin()sin(2)sin(n)

2 10 1【证明】sinsin[cos()cos()],

2222类似地sin()sin

13[cos()cos()],2222153sin(2)sin[cos()cos()],222212n12n1sin(n)sin[cos()cos()],2222

各项相加得,sin2[sinsin()sin(2)sin(n)]

12n1[cos()cos()]222nn1sin()sin.22

sin(nn1)sin 所以，sinsin()sin(n)

2【评述】①本题也可借助复数获证.

②类似地，有coscos()cos(n)sinn1ncos()

2 利用上述公式可快速证明下列各式：

nn1sincos22coscos2cos3cosnsin2

351coscos.97723571coscoscoscos等.99992cos11



针对性训练题

1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°.

2)sin2．证明：sin(sin2cos().

sin3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.

求证：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.

14．已知(0,),求证:sin1sin2sin30.

235．已知0,且tan3tan,求的最大值.

26．已知、、、(0,),且.求ysinsinsinsin的2最大值.

7．△ABC中，C=2B的充要条件是c2222b2ab.

8．△ABC中，已知sinA、sinB、sinC成等差数列，求证：cotA、cotB、cotC也成等差数列.

9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2bac，求B的最大值.

10．若、(0,),能否以sin、sin、sin()的值为2 12 边长构成一个三角形.

11．求函数y2x83x的值域.

的值域.

x12．求函数y1x22x22

13

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